Test: Cilindrul și conul circular drept

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Corpuri rotunde: cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera

Exerciții

Partea I – Descriere, elemente și desfășurare

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se dă un cilindru circular drept.

Completează, folosind cuvintele: cerc, disc (cerc plin), rază, înălțime, generatoare, axă, egal(ă). a) Cele două baze ale cilindrului sunt două ______ egale. b) Segmentul care unește centrele celor două baze se numește ______ cilindrului. c) Distanța dintre planele celor două baze se numește ______ . d) La cilindrul circular drept, generatoarea este ______ cu înălțimea (ca lungime). e) Segmentul de pe suprafața laterală, perpendicular pe baze, care unește un punct de pe cercul de sus cu unul de pe cel de jos, se numește ______ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Un cilindru circular drept se „taie" pe o generatoare și pe cele două baze, apoi se desfășoară pe un plan.

a) Din ce figuri geometrice este alcătuită desfășurarea suprafeței totale a cilindrului? b) Ce dimensiuni are dreptunghiul care provine din suprafața laterală (exprimă-le în funcție de $R$ și $h$)? c) Un cilindru are $R=4$ cm și $h=9$ cm. Care sunt lungimea și lățimea dreptunghiului din desfășurarea laterală? (lasă lungimea în funcție de $\pi$)

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se dă un con circular drept.

Completează: a) Baza conului circular drept este un ______ . b) Segmentul care unește vârful conului cu un punct de pe cercul bazei se numește ______ . c) Înălțimea, raza bazei și generatoarea unui con formează un triunghi ______ , cu unghiul drept la centrul bazei. d) Din teorema lui Pitagora în acest triunghi rezultă relația $G^2=\underline{}$ . e) Adevărat sau fals: la orice con, generatoarea este mai lungă decât raza bazei. (răspunde A/F)

Exercițiul 4 (5 puncte)

Suprafața laterală a unui con circular drept se desfășoară pe un plan. Conul are raza bazei $R=4$ cm și generatoarea $G=6$ cm.

a) Ce figură geometrică se obține din desfășurarea suprafeței laterale a conului? b) Care este raza acestui sector de cerc? c) Cât este lungimea arcului sectorului? (lasă în funcție de $\pi$) d) Calculează măsura unghiului la centru al sectorului.

Partea a II-a – Arie laterală, arie totală și volum

Exercițiul 5 (6 puncte)

Un cilindru circular drept are raza bazei $R=3$ cm și înălțimea $h=5$ cm. Calculează (lasă rezultatele în funcție de $\pi$): a) aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }$; b) aria totală ${\mathcal{A}}_t$; c) volumul $V$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Un con circular drept are raza bazei $R=5$ cm și înălțimea $h=12$ cm.

a) Calculează generatoarea $G$. b) Calculează aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }$. c) Calculează aria totală ${\mathcal{A}}_t$. d) Calculează volumul $V$. (rezultatele în funcție de $\pi$)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt. a) La cilindrul circular drept, secțiunea axială (secțiunea cu un plan ce trece prin axă) este un dreptunghi. b) La conul circular drept, secțiunea axială este un triunghi isoscel. c) Volumul unui con este egal cu volumul cilindrului care are aceeași bază și aceeași înălțime. d) Dacă dublăm raza bazei unui cilindru, păstrând înălțimea, atunci volumul lui se dublează.

Partea a III-a – Probleme aplicative

Exercițiul 8 (6 puncte)

O conservă are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei $R=4$ cm și înălțimea $h=10$ cm.

a) Eticheta de hârtie acoperă exact suprafața laterală a conservei. Ce arie are eticheta? (lasă în funcție de $\pi$, apoi aproximează cu $\pi \approx 3,14$) b) Câți ${\text{cm}}^3$ de conținut încap în conservă? (în funcție de $\pi$, apoi cu $\pi \approx 3,14$)

Exercițiul 9 (7 puncte)

Un coif de petrecere are forma unui con circular drept, deschis la bază (fără disc de jos), cu raza bazei $R=10$ cm și înălțimea $h=24$ cm.

a) Calculează generatoarea $G$ a coifului. b) De câtă hârtie (arie) este nevoie pentru a confecționa coiful? (coiful este doar suprafața laterală; lasă în funcție de $\pi$) c) Calculează volumul de aer cuprins în coif. (în funcție de $\pi$)

Exercițiul 10 (7 puncte)

O găleată are forma unui trunchi de con circular drept, deschisă la partea de sus. Găleata stă cu deschiderea largă în sus: raza de sus (baza mare) este $R=15$ cm, iar raza de jos (fundul, baza mică) este $r=9$ cm. Înălțimea găleții este $h=8$ cm.

a) Calculează generatoarea $G$ a trunchiului de con. b) Cât material (tablă) este necesar pentru găleată, dacă aceasta are suprafața laterală și fundul (baza mică), fără capac? (lasă în funcție de $\pi$) c) Calculează volumul găleții (capacitatea, în funcție de $\pi$).

Exercițiul 11 (6 puncte)

O minge are forma unei sfere cu raza $R=6$ cm.

a) Calculează aria suprafeței mingii. (în funcție de $\pi$) b) Calculează volumul mingii. (în funcție de $\pi$)

Partea a IV-a – Raționament și sinteză

Exercițiul 12 (6 puncte)

Un cilindru și un con au aceeași bază (rază $R=5$ cm) și aceeași înălțime ($h=9$ cm).

a) Calculează volumul cilindrului. (în funcție de $\pi$) b) Calculează volumul conului. (în funcție de $\pi$) c) De câte ori este volumul cilindrului mai mare decât volumul conului? Justifică pornind de la formule.

Exercițiul 13 (6 puncte)

Un rezervor cilindric are volumul $V=200\pi {\text{cm}}^3$ și raza bazei $R=5$ cm. a) Determină înălțimea $h$ a rezervorului. b) Calculează aria laterală a rezervorului. (în funcție de $\pi$)

Exercițiul 14 (7 puncte)

Un con circular drept are aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }=136\pi {\text{cm}}^2$ și raza bazei $R=8$ cm.

a) Determină generatoarea $G$. b) Determină înălțimea $h$ a conului (folosește $G^2=R^2+h^2$). c) Calculează volumul conului. (în funcție de $\pi$)

Exercițiul 15 (7 puncte)

O machetă de rachetă este formată dintr-un cilindru de rază $R=3$ cm și înălțime $h_1=10$ cm, peste care este așezat un con cu aceeași rază $R=3$ cm și înălțimea $h_2=4$ cm (baza conului coincide cu fața de sus a cilindrului).

a) Calculează generatoarea $G$ a conului. b) Calculează volumul total al machetei. (în funcție de $\pi$) c) Calculează aria suprafeței exterioare a machetei (fața laterală a cilindrului + baza de jos a cilindrului + fața laterală a conului; fața de sus a cilindrului este acoperită de con și nu se socotește). (în funcție de $\pi$)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 5 puncte — câte 1 p pentru fiecare completare. a) cercuri (discuri egale); b) axă; c) înălțime; d) egală (generatoarea = înălțimea la cilindrul drept); e) generatoare.

Exercițiul 2 · 5 puncte a) Desfășurarea suprafeței totale: un dreptunghi (suprafața laterală) + două cercuri (bazele) (2 p). b) Dreptunghiul are lungimea egală cu circumferința bazei, $2\pi R$, și lățimea egală cu înălțimea $h$ (1 p). c) Pentru $R=4$, $h=9$: lungime $=2\pi \cdot 4=8\pi$ cm, lățime $=9$ cm (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte — câte 1 p. a) cerc (disc); b) generatoare; c) triunghi dreptunghic; d) $G^2={\mathbf{R}}^2+{\mathbf{h}}^2$; e) A (Adevărat — $G$ este ipotenuza, iar $R$ o catetă, deci $G>R$).

Exercițiul 4 · 5 puncte — $R=4$, $G=6$. a) Un sector de cerc (sector de disc) (1 p). b) Raza sectorului este egală cu generatoarea: $6$ cm (1 p). c) Lungimea arcului = circumferința bazei $=2\pi R=2\pi \cdot 4=8\pi$ cm (1 p). d) Din $\text{arc}=\frac{u}{360^{\circ }}\cdot 2\pi G$: $8\pi =\frac{u}{360^{\circ }}\cdot 2\pi \cdot 6=\frac{u}{360^{\circ }}\cdot 12\pi$, deci $\frac{u}{360^{\circ }}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$, de unde $u=240^{\circ }$ (2 p).

Exercițiul 5 · 6 puncte — $R=3$, $h=5$. a) ${\mathcal{A}}_{\ell }=2\pi Rh=2\pi \cdot 3\cdot 5=30\pi {\text{cm}}^2$ (2 p). b) ${\mathcal{A}}_t=2\pi R(R+h)=2\pi \cdot 3\cdot (3+5)=6\pi \cdot 8=48\pi {\text{cm}}^2$ (sau $30\pi +2\cdot 9\pi =48\pi$) (2 p). c) $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 9\cdot 5=45\pi {\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 6 · 6 puncte — $R=5$, $h=12$. a) $G=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm (1,5 p). b) ${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi RG=\pi \cdot 5\cdot 13=65\pi {\text{cm}}^2$ (1,5 p). c) ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{\ell }+\pi R^2=65\pi +25\pi =90\pi {\text{cm}}^2$ (1,5 p). d) $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 25\cdot 12}{3}=100\pi {\text{cm}}^3$ (1,5 p).

Exercițiul 7 · 6 puncte — câte 1,5 p (valoare + justificare). a) A. Secțiunea axială a cilindrului trece prin ambele generatoare diametral opuse și are laturile $2R$ (diametrul) și $h$ — un dreptunghi. b) A. Secțiunea axială a conului este triunghiul cu baza $2R$ și cele două laturi egale cu $G$ — triunghi isoscel. c) F. Volumul conului este o treime din al cilindrului cu aceeași bază și înălțime: $V_{con}=\frac{1}{3}{V}_{cil}$. d) F. Volumul depinde de $R^2$: dacă $R$ se dublează, $V=\pi R^{2}h$ devine de 4 ori mai mare, nu de 2 ori.

Exercițiul 8 · 6 puncte — $R=4$, $h=10$. a) Eticheta = suprafața laterală: ${\mathcal{A}}_{\ell }=2\pi Rh=2\pi \cdot 4\cdot 10=80\pi {\text{cm}}^2\approx 80\cdot 3,14=251,2{\text{cm}}^2$ (3 p). b) $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 16\cdot 10=160\pi {\text{cm}}^3\approx 160\cdot 3,14=502,4{\text{cm}}^3$ (≈ $0,5$ litri) (3 p).

Exercițiul 9 · 7 puncte — $R=10$, $h=24$. a) $G=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$ cm (2 p). b) Hârtia = suprafața laterală (coiful e deschis la bază): ${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi RG=\pi \cdot 10\cdot 26=260\pi {\text{cm}}^2$ (3 p). c) $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 100\cdot 24}{3}=800\pi {\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 10 · 7 puncte — trunchi de con: raze $R=15$ (sus), $r=9$ (jos), $h=8$. a) $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}=\sqrt{8^2+(15-9{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm (2 p). b) Material = suprafața laterală + fundul (baza mică $r=9$): ${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi G(R+r)=\pi \cdot 10\cdot (15+9)=\pi \cdot 10\cdot 24=240\pi$; fundul $=\pi r^2=81\pi$. Total $=240\pi +81\pi =321\pi {\text{cm}}^2$ (3 p). (Doar suprafața laterală: $240\pi {\text{cm}}^2$ — se acordă 2 p din 3 dacă a omis fundul.) c) $V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)=\frac{\pi \cdot 8}{3}\left(225+135+81\right)=\frac{8\pi }{3}\cdot 441=8\pi \cdot 147=1176\pi {\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 11 · 6 puncte — sferă, $R=6$. a) $\mathcal{A}=4\pi R^2=4\pi \cdot 36=144\pi {\text{cm}}^2$ (3 p). b) $V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 216}{3}=4\pi \cdot 72=288\pi {\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 12 · 6 puncte — $R=5$, $h=9$. a) $V_{cil}=\pi R^{2}h=\pi \cdot 25\cdot 9=225\pi {\text{cm}}^3$ (2 p). b) $V_{con}=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{225\pi }{3}=75\pi {\text{cm}}^3$ (2 p). c) $\frac{V_{cil}}{V_{con}}=\frac{225\pi }{75\pi }=3$ — de 3 ori. Justificare din formule: $V_{cil}=\pi R^{2}h$ și $V_{con}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$, deci $V_{cil}=3V_{con}$ pentru orice bază și înălțime comune (2 p).

Exercițiul 13 · 6 puncte — $V=200\pi$, $R=5$. a) Din $V=\pi R^{2}h$: $200\pi =\pi \cdot 25\cdot h\Rightarrow h=\frac{200\pi }{25\pi }=8$ cm (3 p). b) ${\mathcal{A}}_{\ell }=2\pi Rh=2\pi \cdot 5\cdot 8=80\pi {\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 14 · 7 puncte — ${\mathcal{A}}_{\ell }=136\pi$, $R=8$. a) Din ${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi RG$: $136\pi =\pi \cdot 8\cdot G\Rightarrow G=\frac{136\pi }{8\pi }=17$ cm (2,5 p). b) $h=\sqrt{G^2-R^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ cm (2,5 p). c) $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 64\cdot 15}{3}=\pi \cdot 64\cdot 5=320\pi {\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 15 · 7 puncte — cilindru $R=3$, $h_1=10$; con $R=3$, $h_2=4$. a) $G=\sqrt{R^2+h_2^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ cm (2 p). b) $V=V_{cil}+V_{con}=\pi R^2{h}_1+\frac{\pi R^2{h}_2}{3}=\pi \cdot 9\cdot 10+\frac{\pi \cdot 9\cdot 4}{3}=90\pi +12\pi =102\pi {\text{cm}}^3$ (2,5 p). c) Suprafața exterioară $=\underset{\text{lat. cilindru}}{\underbrace{2\pi R{h}_1}}+\underset{\text{baza jos}}{\underbrace{\pi R^2}}+\underset{\text{lat. con}}{\underbrace{\pi RG}}=2\pi \cdot 3\cdot 10+\pi \cdot 9+\pi \cdot 3\cdot 5=60\pi +9\pi +15\pi =84\pi {\text{cm}}^2$ (2,5 p).

Recomandare: dacă elevul greșește la itemii cu conul (4, 6, 9, 14), reia mai întâi triunghiul dreptunghic al conului și relația $G^2=R^2+h^2$ — generatoarea $G$ este întotdeauna ipotenuza, deci cea mai lungă. Nu confunda aria laterală (fața curbă) cu aria totală (fața curbă + baza/bazele): la coifuri, pălării și găleți deschise se adună doar fețele care există fizic. Reține și legătura de aur dintre corpuri: conul are exact o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește corpurile rotunde studiate în clasa a VIII-a: descrierea, elementele și desfășurarea cilindrului și conului circular drept, precum și calculul ariei laterale, ariei totale și al volumului, cu folosirea corectă a relației dintre generatoare, rază și înălțime la con, $G^2=R^2+h^2$. Testul atinge și trunchiul de con și sfera, cu probleme aplicative în contexte reale (conserve, coifuri, găleți, mingi, machete). Este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion, riglă și compas pentru schițe. Rezultatele se pot lăsa în funcție de $\pi$ (formă exactă) sau se pot aproxima cu $\pi \approx 3,14$ acolo unde se cere. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
• Formule de reținut:
  • Cilindru (rază $R$, înălțime $h$): ${\mathcal{A}}_{\ell }=2\pi Rh$; ${\mathcal{A}}_t=2\pi R(R+h)$; $V=\pi R^{2}h$.
  • Con (rază $R$, înălțime $h$, generatoare $G$): $G^2=R^2+h^2$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi RG$; ${\mathcal{A}}_t=\pi R(R+G)$; $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}$.
  • Trunchi de con (raze $R>r$, înălțime $h$, generatoare $G$): $G^2=h^2+(R-r{)}^2$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\pi G(R+r)$; $V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$.
  • Sferă (rază $R$): $\mathcal{A}=4\pi R^2$; $V=\frac{4\pi R^3}{3}$.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura care însoțește itemul; elevul o poate reface după descriere.