Test pedagogic: clase de resturi, inel și corp

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Structuri algebrice: legi de compoziție, monoid, grup, inel, corp

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

În ${\mathbb{Z}}_8$, determină opusul lui $\hat{5}$ și calculează $\hat{5}+\hat{7}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determină inversul lui $\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_9$, în raport cu înmulțirea.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Care dintre clasele de mai jos este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_{12}$, în raport cu înmulțirea?

Variantele: a) „$\hat{4}$”; b) „$\hat{6}$”; c) „$\hat{9}$”; d) „$\hat{7}$”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_7$ ecuația $\hat{3}\hat{x}+\hat{5}=\hat{2}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Care dintre următoarele este corp?

Variantele: a) „$(\mathbb{Z},+,\cdot )$”; b) „$({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$”; c) „$(\mathbb{Q},+,\cdot )$”; d) „$(\mathbb{N},+,\cdot )$”.

Exercițiul 6 (5 puncte)

O clasă $\hat{a}\ne \hat{0}$ din ${\mathbb{Z}}_{10}$ este divizor al lui zero dacă există $\hat{b}\ne \hat{0}$ cu $\hat{a}\cdot \hat{b}=\hat{0}$. Câte elemente nenule din ${\mathbb{Z}}_{10}$ sunt divizori ai lui zero?

Partea a II-a – Situații de la grădiniță și de la școală (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

La grădiniță, zilele săptămânii sunt numerotate ca elemente ale lui ${\mathbb{Z}}_7$: luni $=\hat{0}$, marți $=\hat{1}$, miercuri $=\hat{2}$, joi $=\hat{3}$, vineri $=\hat{4}$, sâmbătă $=\hat{5}$, duminică $=\hat{6}$. La $k$ zile după ziua $\hat{d}$ este ziua $\hat{d}+\hat{k}$.

a) (5 puncte) Serbarea de iarnă este joi. În ce zi a săptămânii cade o vizită programată la 100 de zile după serbare? Scrie calculul în ${\mathbb{Z}}_7$.

b) (5 puncte) Ședința cu părinții a avut loc cu 45 de zile înaintea serbării. Ce clasă din ${\mathbb{Z}}_7$ aduni la $\hat{3}$ ca să mergi 45 de zile înapoi? În ce zi a săptămânii a fost ședința?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Ceasul din clasă are 12 ore pe cadran. Notăm ora 12 cu $\hat{0}$, deci orele sunt elementele lui ${\mathbb{Z}}_{12}$, iar după $k$ ore ceasul care arăta $\hat{h}$ arată $\hat{h}+\hat{k}$.

a) (5 puncte) O activitate începe când ceasul arată 9. Ce arată ceasul după 7 ore? Câte ore mai trebuie să treacă de atunci până când ceasul arată din nou 9?

b) (5 puncte) În ${\mathbb{Z}}_{12}$, calculează $\hat{3}\cdot \hat{4}$ și $\hat{5}\cdot \hat{5}$. Explică de ce $({\mathbb{Z}}_{12},+,\cdot )$ nu este corp.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Cinci copii stau în cerc, pe locurile $0$, $1$, $2$, $3$, $4$. Mingea pleacă de la locul $0$ și, la fiecare aruncare, merge două locuri spre dreapta, sărind peste un copil. După $k$ aruncări, mingea este pe locul $\hat{2}\cdot \hat{k}$ din ${\mathbb{Z}}_5$.

a) (5 puncte) Scrie linia lui $\hat{2}$ din tabla înmulțirii în ${\mathbb{Z}}_5$ și află pe ce loc este mingea după 7 aruncări.

b) (5 puncte) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_5$ ecuația $\hat{2}\cdot \hat{k}=\hat{3}$ și spune după câte aruncări (cel mai mic număr nenul) ajunge mingea prima dată pe locul 3. Explică de ce, mergând așa, mingea ajunge la fiecare copil.

Partea a III-a – Ecuații în ${\mathbb{Z}}_n$ și o sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

În inelul $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$:

a) (5 puncte) Rezolvă ecuația $\hat{2}\hat{x}=\hat{4}$.

b) (5 puncte) Rezolvă ecuația $\hat{5}\hat{x}+\hat{1}=\hat{3}$.

c) (5 puncte) Determină elementele inversabile ale lui ${\mathbb{Z}}_6$ și arată că $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$ nu este corp.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Structuri pe mulțimile de numere din programă.

a) (5 puncte) Arată că $(\mathbb{N},+)$ este monoid, dar nu este grup, iar $(\mathbb{Z},+)$ este grup.

b) (5 puncte) Arată că $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ este inel, dar nu este corp, și determină inversul lui $\frac{3}{7}$ în corpul $(\mathbb{Q},+,\cdot )$.

c) (5 puncte) Arată că $({\mathbb{Z}}_{11},+,\cdot )$ este corp, găsind inversul fiecărui element nenul, apoi rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{11}$ ecuația $\hat{7}\hat{x}=\hat{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctele fiecărui pas sunt trecute între paranteze, iar o rezolvare corectă pe alt drum primește aceleași puncte. La Partea a III-a, fără calcul și fără justificare subpunctul nu ia punctele, chiar dacă rezultatul este corect. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar propoziția „Verificare” nu poartă puncte.

Exercițiul 1.

Opusul lui $\hat{5}$ este clasa care adunată cu $\hat{5}$ dă $\hat{0}$: $\hat{5}+\hat{3}=\hat{8}=\hat{0}$, deci opusul este $\hat{3}$ (2 p). $\hat{5}+\hat{7}=\widehat{12}=\hat{4}$, fiindcă $12=8+4$ (3 p). Verificare: $\hat{4}-\hat{7}=\widehat{-3}=\hat{5}$. Cine scrie opusul $\widehat{-5}$ și se oprește acolo nu dă reprezentantul dintre $0$ și $7$; $-5+8=3$.

Exercițiul 2.

Cauți $\hat{b}$ cu $\hat{4}\cdot \hat{b}=\hat{1}$: $\hat{4}\cdot \hat{7}=\widehat{28}=\hat{1}$, fiindcă $28=3\cdot 9+1$ (3 p). Inversul lui $\hat{4}$ este $\hat{7}$ (2 p). Verificare: produsele $4\cdot 1,4\cdot 2,\dots ,4\cdot 8$ dau resturile $4,8,3,7,2,6,1,5$, iar restul 1 apare doar la factorul 7. Cine confundă inversul cu opusul scrie $\hat{5}$; dar $\hat{4}\cdot \hat{5}=\widehat{20}=\hat{2}$.

Exercițiul 3.

$\hat{4}\cdot \hat{3}=\hat{0}$, $\hat{6}\cdot \hat{2}=\hat{0}$ și $\hat{9}\cdot \hat{4}=\widehat{36}=\hat{0}$: fiecare dintre ele este divizor al lui zero, deci nu este inversabilă (dacă $\hat{a}$ ar avea invers și $\hat{a}\hat{b}=\hat{0}$, înmulțind cu inversul ar rezulta $\hat{b}=\hat{0}$) (3 p). $\hat{7}\cdot \hat{7}=\widehat{49}=\hat{1}$, fiindcă $49=4\cdot 12+1$, deci $\hat{7}$ este inversabilă, chiar propriul invers: $\mathbf{d})$ (2 p). Verificare: 7 și 12 nu au divizori comuni în afară de 1, pe când 4, 6 și 9 au cu 12 divizorii comuni 4, 6 și 3. Cine caută doar clase „mari” sau „mici” ghicește; criteriul este divizorul comun cu 12.

Exercițiul 4.

Aduni opusul lui $\hat{5}$, adică $\hat{2}$: $\hat{3}\hat{x}=\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}$ (2 p). Inversul lui $\hat{3}$ este $\hat{5}$, fiindcă $\widehat{15}=\hat{1}$; înmulțind cu $\hat{5}$, $\hat{x}=\widehat{20}=\hat{6}$ (3 p). Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{6}+\hat{5}=\widehat{23}=\hat{2}$, fiindcă $23=3\cdot 7+2$. Cine scade $5-2$ în loc de $2-5$ ajunge la $\hat{3}\hat{x}=\hat{3}$ și la $\hat{x}=\hat{1}$, dar $\hat{3}+\hat{5}=\hat{1}\ne \hat{2}$.

Exercițiul 5.

La a), 2 nu are invers în $\mathbb{Z}$, fiindcă $\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$; la b), $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_6$, deci $\hat{2}$ nu are invers; la d), 1 nu are opus în $\mathbb{N}$, deci $(\mathbb{N},+)$ nu este grup și $(\mathbb{N},+,\cdot )$ nu este nici măcar inel (3 p). La c), $(\mathbb{Q},+,\cdot )$ este inel, iar orice număr rațional nenul $\frac{p}{q}$ are inversul $\frac{q}{p}\in \mathbb{Q}$: răspunsul este $\mathbf{c})$ (2 p). Verificare: $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$. Cine alege $\mathbb{Z}$ uită că un corp cere invers pentru orice element nenul, nu doar pentru 1 și $-1$.

Exercițiul 6.

$\hat{2}\cdot \hat{5}=\hat{4}\cdot \hat{5}=\hat{6}\cdot \hat{5}=\hat{8}\cdot \hat{5}=\hat{0}$ și $\hat{5}\cdot \hat{2}=\hat{0}$, deci $\hat{2}$, $\hat{4}$, $\hat{5}$, $\hat{6}$, $\hat{8}$ sunt divizori ai lui zero (3 p). Celelalte clase nenule, $\hat{1}$, $\hat{3}$, $\hat{7}$, $\hat{9}$, sunt inversabile ($\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{1}$, $\hat{9}\cdot \hat{9}=\widehat{81}=\hat{1}$), deci nu sunt divizori ai lui zero; răspunsul este $5$ (2 p). Verificare: $4\cdot 5=20$ și $6\cdot 5=30$ se divid cu 10. Cine socotește și pe $\hat{0}$ obține 6, dar definiția cere $\hat{a}\ne \hat{0}$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) $100=14\cdot 7+2$, deci $\widehat{100}=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_7$ (2 p). $\hat{3}+\hat{2}=\hat{5}$, adică sâmbătă (3 p).

b) (5 p) $45=6\cdot 7+3$, deci $\widehat{45}=\hat{3}$, iar mersul înapoi cu 45 de zile înseamnă adunarea opusului, $\hat{4}$ (2 p). $\hat{3}+\hat{4}=\hat{7}=\hat{0}$, adică luni (3 p).

Verificare: a) după 98 de zile, adică 14 săptămâni, este tot joi; încă 2 zile duc la sâmbătă. b) cu 42 de zile, adică 6 săptămâni, înainte era tot joi; încă 3 zile înapoi duc la luni. Cine adună 45 în loc să-l scadă găsește $\hat{3}+\hat{3}=\hat{6}$, duminică, o zi de după serbare.

Exercițiul 8.

a) (5 p) $\hat{9}+\hat{7}=\widehat{16}=\hat{4}$, deci ceasul arată $4$ (2 p). Din $\hat{4}+\hat{x}=\hat{9}$ rezultă $\hat{x}=\hat{5}$: mai trec $5$ ore (3 p).

b) (5 p) $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{0}$ (2 p) și $\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{1}$, deci $\hat{5}$ este propriul invers (1 p). Dacă $\hat{3}$ ar avea un invers $\hat{a}$, din $\hat{3}\cdot \hat{a}=\hat{1}$, înmulțind cu $\hat{4}$, ar rezulta $\hat{0}=\hat{4}$, fals; deci $\hat{3}\ne \hat{0}$ nu are invers și ${\mathbb{Z}}_{12}$ nu este corp (2 p).

Verificare: a) de la 9 la 4 sunt 7 ore, iar de la 4 la 9 încă 5; $7+5=12$, o tură completă a cadranului. b) $25=2\cdot 12+1$. Cine scrie $\hat{9}+\hat{7}=\widehat{16}$ și se oprește acolo nu citește ora de pe cadran: 16 nu este pe cadran.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Linia lui $\hat{2}$: $\hat{2}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$, $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$, $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{1}$, $\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{3}$ (2 p). După 7 aruncări, $\hat{7}=\hat{2}$, iar $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$: mingea este pe locul $4$ (3 p).

b) (5 p) Inversul lui $\hat{2}$ este $\hat{3}$, fiindcă $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{1}$ (1 p). Înmulțind ecuația cu $\hat{3}$: $\hat{k}=\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{4}$, deci mingea ajunge prima dată pe locul 3 după $4$ aruncări (2 p). Orice clasă nenulă din ${\mathbb{Z}}_5$ are invers, deci ecuația $\hat{2}\cdot \hat{k}=\hat{c}$ are soluție pentru orice loc $\hat{c}$: mingea ajunge la fiecare copil (2 p).

Verificare: a) locurile după 1, 2, …, 7 aruncări sunt $2,4,1,3,0,2,4$. b) după 4 aruncări, $\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{8}=\hat{3}$. Cine împarte $3:2=1,5$ uită că în ${\mathbb{Z}}_5$ nu există fracții; „împărțirea” înseamnă înmulțirea cu inversul.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Pentru $\hat{x}=\hat{0},\hat{1},\dots ,\hat{5}$, $\hat{2}\hat{x}$ ia valorile $\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{0},\hat{2},\hat{4}$ (3 p). Valoarea $\hat{4}$ apare la $\hat{x}=\hat{2}$ și $\hat{x}=\hat{5}$, deci $\hat{x}\in \{\hat{2};\hat{5}\}$ (2 p).

b) (5 p) $\hat{5}\hat{x}=\hat{3}-\hat{1}=\hat{2}$ (1 p). $\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{1}$, deci inversul lui $\hat{5}$ este $\hat{5}$ (2 p). Înmulțind cu $\hat{5}$: $\hat{x}=\widehat{10}=\hat{4}$ (2 p).

c) (5 p) $\hat{1}\cdot \hat{1}=\hat{1}$ și $\hat{5}\cdot \hat{5}=\hat{1}$, deci $\hat{1}$ și $\hat{5}$ sunt inversabile (2 p). Produsele cu $\hat{2}$ sunt doar $\hat{0},\hat{2},\hat{4}$, cele cu $\hat{3}$ doar $\hat{0},\hat{3}$, iar cele cu $\hat{4}$ doar $\hat{0},\hat{4},\hat{2}$, deci $\hat{2}$, $\hat{3}$, $\hat{4}$ nu au invers (2 p). Elementele inversabile sunt $\hat{1}$ și $\hat{5}$; existând clase nenule fără invers, ${\mathbb{Z}}_6$ nu este corp (1 p).

Verificare: a) $\hat{2}\cdot \hat{5}=\widehat{10}=\hat{4}$. b) $\hat{5}\cdot \hat{4}+\hat{1}=\widehat{21}=\hat{3}$. c) $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$ arată direct că $\hat{2}$ și $\hat{3}$ sunt divizori ai lui zero. Cine „împarte” la a) ecuația la $\hat{2}$ găsește doar $\hat{x}=\hat{2}$ și pierde soluția $\hat{5}$: $\hat{2}$ nu are invers în ${\mathbb{Z}}_6$.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Adunarea este lege pe $\mathbb{N}$, este asociativă și are neutrul 0, deci $(\mathbb{N},+)$ este monoid (2 p). Simetricul lui 3 ar fi $-3\notin \mathbb{N}$, deci $(\mathbb{N},+)$ nu este grup (1 p). În $\mathbb{Z}$, fiecare număr $n$ are opusul $-n\in \mathbb{Z}$, deci $(\mathbb{Z},+)$ este grup (comutativ) (2 p).

b) (5 p) $(\mathbb{Z},+)$ este grup comutativ, înmulțirea pe $\mathbb{Z}$ este asociativă, cu neutrul 1, și este distributivă față de adunare, deci $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ este inel (2 p). Numărul 2 nu are invers în $\mathbb{Z}$, deci inelul nu este corp (1 p). În $\mathbb{Q}$, inversul lui $\frac{3}{7}$ este $\frac{7}{3}$, fiindcă $\frac{3}{7}\cdot \frac{7}{3}=1$ (2 p).

c) (5 p) În ${\mathbb{Z}}_{11}$: $\hat{1}\cdot \hat{1}=\hat{1}$, $\hat{2}\cdot \hat{6}=\hat{1}$, $\hat{3}\cdot \hat{4}=\hat{1}$, $\hat{5}\cdot \hat{9}=\hat{1}$, $\hat{7}\cdot \hat{8}=\hat{1}$ și $\widehat{10}\cdot \widehat{10}=\hat{1}$, deci orice element nenul are invers și ${\mathbb{Z}}_{11}$ este corp (3 p). Înmulțind $\hat{7}\hat{x}=\hat{3}$ cu $\hat{8}$: $\hat{x}=\widehat{24}=\hat{2}$ (2 p).

Verificare: a) $3+(-3)=0$ în $\mathbb{Z}$. b) $\frac{7}{3}\in \mathbb{Q}$, dar $\frac{7}{3}\notin \mathbb{Z}$. c) $12=11+1$, $45=4\cdot 11+1$, $56=5\cdot 11+1$, $100=9\cdot 11+1$; $\hat{7}\cdot \hat{2}=\widehat{14}=\hat{3}$. Cine ia inversul lui $\hat{7}$ egal cu $\hat{4}$, opusul lui, găsește $\hat{7}\cdot \hat{4}=\widehat{28}=\hat{6}$, nu $\hat{1}$.

Pentru părinți și profesori

Testul acoperă a doua jumătate a capitolului „Structuri algebrice” al clasei a XI-a, profilul pedagogic: clasele de resturi ${\mathbb{Z}}_n$, cu adunarea și înmulțirea lor, opusul și inversul unei clase, ecuațiile simple în ${\mathbb{Z}}_n$, apoi structurile din programă, monoidul, grupul, inelul și corpul, pe exemplele $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, ${\mathbb{Z}}_n$ și $\mathbb{Q}$ (pe $\mathbb{R}$ lucrează celelalte teste ale capitolului). Legile date prin formule sunt în celelalte teste ale capitolului.

• Punctaj: din exerciții iei cel mult 90 de puncte; la ele se adaugă 10 puncte din oficiu, deci lucrarea are maximum 100 de puncte.
• Timp de lucru: 50 de minute.
• Cum se lucrează: pe foaie, fără calculator, fiecare exercițiu cu calculele lui; la Partea a III-a nu ajunge rezultatul, trebuie arătat și drumul până la el. Ghidajul desparte exercițiul în pași mici: întâi o întrebare cu patru răspunsuri, apoi un număr de aflat, iar o variantă greșită vine cu explicația ei. Îl pornești numai când exercițiul nu iese singur. Un rezultat din ${\mathbb{Z}}_n$ se scrie în ghidaj prin reprezentantul lui dintre $0,1,\dots ,n-1$.
• 90–100 de puncte: clasele de resturi și structurile sunt stăpânite; treci la testul recapitulativ.
• 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul, doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
• 60–74 de puncte: pentru fiecare exercițiu cu mai puțin de jumătate din puncte citești lecția din tabel, apoi lucrezi din nou testul peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi lecțiile din tabel, una după alta, apoi lucrezi testul de la început, cu ghidajul alături.
• Formule de reținut: în ${\mathbb{Z}}_n$, $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$ și $\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab}$, apoi se ia restul la $n$; opusul lui $\hat{k}$ este $\widehat{n-k}$; $\hat{a}$ este inversabil când există $\hat{b}$ cu $\hat{a}\cdot \hat{b}=\hat{1}$, ceea ce se întâmplă exact când $a$ și $n$ nu au divizori comuni în afară de 1; o clasă nenulă $\hat{a}$ cu $\hat{a}\cdot \hat{b}=\hat{0}$ pentru un $\hat{b}\ne \hat{0}$ este divizor al lui zero și nu este inversabilă; ecuația $\hat{a}\hat{x}=\hat{c}$ cu $\hat{a}$ inversabil se rezolvă înmulțind cu inversul lui $\hat{a}$; un monoid are lege asociativă cu neutru, un grup are în plus simetric pentru fiecare element, un inel are adunare de grup comutativ, înmulțire asociativă cu neutru și distributivitate, iar un corp este un inel în care orice element nenul are invers.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M_pedagogic din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006), la „Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp. Exemple: mulțimile ℕ, ℤ, ℤₙ, ℚ, ℝ”. În cele 60 de probe oficiale din 2013–2026, Subiectul al II-lea a lucrat de fiecare dată cu o lege de compoziție pe mulțimi de numere reale; clasele de resturi, monoidul, grupul, inelul și corpul nu au apărut în aceste probe. Fiind în programă, pot fi cerute. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 au alt plan-cadru: la profilul pedagogic, disciplina Matematică nu mai are ore în clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 4152/2026; la specializarea pedagogia învățământului primar rămâne, separat, disciplina „Aritmetică” (curriculum de specialitate), o oră pe săptămână în clasele a XI-a și a XII-a), iar la Bacalaureat ea poate fi doar o probă aleasă, pe materia claselor a IX-a și a X-a (OMEC 4138/2026); testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.