Test pedagogic: determinanți, coliniaritate și arie

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Matrice inversabile, ecuații matriceale și sisteme liniare

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculează determinantul matricei $(139 - 6 - 5)$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculează determinantul matricei $231 - 1 05 4 - 2 1$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

O matrice $A$ de ordinul doi are $det A = - 6$ . Cât este $det (3 A)$ ?

Variantele: a) „ $- 18$ ”; b) „ $- 54$ ”; c) „ $18$ ”; d) „ $- 2$ ”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $det (x + 1 2 6 x) = 18$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 2)$ , $B (3, 7)$ și $C (m, 17)$ . Determină numărul real $m$ pentru care punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculează, cu ajutorul unui determinant, aria triunghiului cu vârfurile $A (- 2, 1)$ , $B (4, 3)$ și $C (1, 7)$ .

Partea a II-a – Situații din școală și din grădiniță (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Pe planul curții unei școli, desenat într-un reper cartezian cu unitatea de 1 m, o alee dreaptă trece prin punctele $A (2, 3)$ și $B (10, 9)$ .

a) (5 puncte) Scrie ecuația dreptei $A B$ cu ajutorul unui determinant și adu-o la forma $p x + q y + r = 0$ , cu $p$ , $q$ , $r$ numere întregi fără divizor comun și $p > 0$ .

b) (5 puncte) Pe alee se pune o bancă, în punctul $C (6, k)$ . Află $k$ . Se află fântâna din punctul $D (18, 14)$ pe aceeași alee?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Grădina de flori a unei grădinițe are forma patrulaterului convex $A B C D$ , cu vârfurile $A (0, 0)$ , $B (12, 2)$ , $C (10, 9)$ și $D (2, 8)$ , coordonatele fiind în metri. Diagonala $A C$ împarte grădina în triunghiurile $A B C$ și $A C D$ .

a) (5 puncte) Calculează, cu ajutorul unui determinant, aria triunghiului $A B C$ .

b) (5 puncte) Calculează aria triunghiului $A C D$ și aria grădinii. Educatoarele seamănă flori folosind un plic de semințe pentru fiecare $3$ m². Câte plicuri le trebuie?

Exercițiul 9 (10 puncte)

Pentru o întrecere, elevii unei clase pregătitoare așază trei jaloane în punctele $A (- 1, 4)$ , $B (2, 2)$ și $C (8, - 2)$ ale terenului de sport, coordonatele fiind în metri. Învățătoarea vrea ca jaloanele să fie pe aceeași linie dreaptă.

a) (5 puncte) Arată, cu ajutorul unui determinant, că punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare.

b) (5 puncte) Un copil mută jalonul $C$ în punctul $C^{'} (8, 1)$ . Calculează aria triunghiului $A B C^{'}$ și explică de ce această arie arată că jaloanele nu mai sunt în linie dreaptă.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pentru fiecare număr real $m$ se consideră matricea $A (m) = m 12 131 2 m 1$ .

a) (5 puncte) Calculați $det (A (0))$ .

b) (5 puncte) Arătați că $det (A (m)) = - m^{2} + 5 m - 11$ , pentru orice număr real $m$ .

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $det (A (m)) = m - 11$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Se consideră matricele $A = (31 - 2 3)$ , $I_{2} = (1001)$ și $B (x) = A + x I_{2}$ , unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $det A = 11$ .

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (B (x)) = 18$ .

c) (5 puncte) Demonstrați că $det (B (x)) \geq 2$ , pentru orice număr real $x$ .

Barem și răspunsuri

În barem, rezolvările sunt scrise pas cu pas, iar punctul fiecărui pas apare între paranteze; o rezolvare corectă, dar diferită, e tratată la fel, iar rezultatele finale sunt îngroșate. Se acordă 10 puncte din oficiu. La Partea a III-a, un răspuns corect, dar fără drumul spre el, nu ia punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Determinantul este produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară: $13 \cdot (- 5) - (- 6) \cdot 9$ (2 p). Produsele sunt $- 65$ și $- 54$ , iar $- 65 - (- 54) = - 65 + 54$ (2 p), adică $- 11$ (1 p). Verificare: cine uită că scade un număr negativ calculează $- 65 - 54 = - 119$ .

Exercițiul 2.

Produsele cu plus sunt $2 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ , $(- 1) \cdot (- 2) \cdot 1 = 2$ și $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ (2 p). Produsele cu minus sunt $4 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ , $2 \cdot (- 2) \cdot 5 = - 20$ și $(- 1) \cdot 3 \cdot 1 = - 3$ (2 p). Determinantul este $0 + 2 + 60 - (0 - 20 - 3) = 62 + 23 = 85$ (1 p). Verificare: dezvoltând după a doua linie, care are un zero, $- 3 \cdot ((- 1) \cdot 1 - 4 \cdot 5) - (- 2) \cdot (2 \cdot 5 - (- 1) \cdot 1) = - 3 \cdot (- 21) + 2 \cdot 11 = 63 + 22 = 85$ .

Exercițiul 3.

Matricea $3 A$ are fiecare element de 3 ori mai mare decât $A$ , deci fiecare dintre cele două produse ale determinantului se înmulțește cu $3 \cdot 3 = 9$ (2 p). Așadar $det (3 A) = 3^{2} \cdot det A = 9 \cdot (- 6)$ (2 p), adică $- 54$ ; răspunsul este $b)$ (1 p). Verificare: pentru $A = (21 4 - 1)$ , cu $det A = - 2 - 4 = - 6$ , avem $3 A = (63 12 - 3)$ și $det (3 A) = - 18 - 36 = - 54$ ; varianta $- 18$ apare când se înmulțește cu 3 o singură dată.

Exercițiul 4.

$det (x + 1 2 6 x) = (x + 1) x - 6 \cdot 2 = x^{2} + x - 12$ (2 p). Ecuația devine $x^{2} + x - 12 = 18$ , adică $x^{2} + x - 30 = 0$ , cu $Δ = 1 + 120 = 121$ (2 p). Soluțiile sunt $x = \frac{- 1 \pm 11}{2}$ , adică $x_{1} = - 6$ și $x_{2} = 5$ (1 p). Verificare: pentru $x = 5$ , $6 \cdot 5 - 12 = 18$ .

Exercițiul 5.

Punctele sunt coliniare dacă $det 13 m 2717111 = 0$ (2 p). Dezvoltând după prima linie, determinantul este $1 \cdot (7 - 17) - 2 \cdot (3 - m) + 1 \cdot (51 - 7 m) = - 10 - 6 + 2 m + 51 - 7 m = 35 - 5 m$ (2 p). Din $35 - 5 m = 0$ rezultă $m = 7$ (1 p). Verificare: de la $A$ la $B$ , $x$ crește cu 2, iar $y$ cu 5; de la $A$ la $C (7, 17)$ , $x$ crește cu 6, iar $y$ cu 15, adică de 3 ori mai mult, deci punctele sunt pe aceeași dreaptă.

Exercițiul 6.

$Δ = det - 2 41 137111$ (1 p). Dezvoltând după prima linie, $Δ = - 2 \cdot (3 - 7) - 1 \cdot (4 - 1) + 1 \cdot (28 - 3) = 8 - 3 + 25 = 30$ (2 p). Aria este $\frac{1}{2} \cdot ∣ 30 ∣ = 15$ (2 p). Verificare: triunghiul se află în dreptunghiul cu colțurile $(- 2, 1)$ și $(4, 7)$ , de arie $6 \cdot 6 = 36$ ; scăzând cele trei triunghiuri dreptunghice din colțuri, de arii $6$ , $9$ și $6$ , rămâne $36 - 21 = 15$ .

Exercițiul 7.

a) (5 p) Un punct $M (x, y)$ este pe dreapta $A B$ dacă $det x 210 y 39 111 = 0$ (2 p). Dezvoltând după prima linie, $x \cdot (3 - 9) - y \cdot (2 - 10) + (18 - 30) = - 6 x + 8 y - 12$ (2 p), iar ecuația $- 6 x + 8 y - 12 = 0$ , împărțită la $- 2$ , devine $3x - 4y + 6 = 0$ (1 p).

b) (5 p) Banca este pe alee, deci $3 \cdot 6 - 4 k + 6 = 0$ , adică $24 - 4 k = 0$ și $k = 6$ (2 p). Pentru fântână, $3 \cdot 18 - 4 \cdot 14 + 6 = 54 - 56 + 6 = 4$ (2 p). Cum $4 \neq = 0$ , fântâna $nu$ se află pe alee (1 p). Verificare: pe alee, la $x = 18$ ar trebui ca $4 y = 54 + 6 = 60$ , adică $y = 15$ , nu $14$ .

Exercițiul 8.

a) (5 p) $Δ_{1} = det 01210029111$ (1 p). Dezvoltând după prima linie, care are două zerouri, $Δ_{1} = 1 \cdot (12 \cdot 9 - 2 \cdot 10) = 108 - 20 = 88$ (2 p). Aria triunghiului $A B C$ este $\frac{1}{2} \cdot 88 = 44$ m² (2 p).

b) (5 p) $Δ_{2} = det 0102098111 = 10 \cdot 8 - 9 \cdot 2 = 80 - 18 = 62$ , deci aria triunghiului $A C D$ este $31$ m² (2 p). Aria grădinii este $44 + 31 = 75$ m² (1 p). Sunt necesare $75 : 3 = 25$ de plicuri (2 p). Verificare: grădina se află în dreptunghiul cu colțurile $(0, 0)$ și $(12, 9)$ , de arie 108; în afara grădinii rămân patru triunghiuri dreptunghice, cu ariile $12$ , $7$ , $4$ și $8$ , și un dreptunghi de 2 m pe 1 m în colțul $(0, 9)$ , iar $108 - 31 - 2 = 75$ .

Exercițiul 9.

a) (5 p) $Δ = det - 1 28 42 - 2 111$ (1 p). Dezvoltând după prima linie, $Δ = - 1 \cdot (2 + 2) - 4 \cdot (2 - 8) + 1 \cdot (- 4 - 16) = - 4 + 24 - 20 = 0$ (3 p). Determinantul este nul, deci punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare (1 p).

b) (5 p) $Δ^{'} = det - 1 28 421111 = - 1 \cdot (2 - 1) - 4 \cdot (2 - 8) + 1 \cdot (2 - 16) = - 1 + 24 - 14 = 9$ (2 p). Aria triunghiului $A B C^{'}$ este $\frac{1}{2} \cdot 9 = 4, 5$ m² (2 p). Trei puncte coliniare nu formează un triunghi, iar determinantul lor este $0$ ; o arie diferită de zero arată că jaloanele nu mai sunt pe aceeași dreaptă (1 p).

Exercițiul 10.

a) (5 p) $A (0) = 012131201$ (1 p). Produsele cu plus sunt $0 \cdot 3 \cdot 1 = 0$ , $1 \cdot 0 \cdot 2 = 0$ și $2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ , iar cele cu minus sunt $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ , $0 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ și $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ (2 p), deci $det (A (0)) = 2 - 13 = - 11$ (2 p).

b) (5 p) Produsele cu plus sunt $m \cdot 3 \cdot 1 = 3 m$ , $1 \cdot m \cdot 2 = 2 m$ și $2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ (2 p). Produsele cu minus sunt $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ , $m \cdot m \cdot 1 = m^{2}$ și $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ (2 p). Atunci $det (A (m)) = 3 m + 2 m + 2 - 12 - m^{2} - 1 = - m^{2} + 5 m - 11$ (1 p).

c) (5 p) Ecuația devine $- m^{2} + 5 m - 11 = m - 11$ , adică $- m^{2} + 4 m = 0$ (2 p). Din $m (4 - m) = 0$ rezultă $m = 0$ sau $m = 4$ (3 p). Verificare: $det (A (4)) = - 16 + 20 - 11 = - 7 = 4 - 11$ , iar pentru $m = 0$ se regăsește rezultatul de la a), $- 11 = 0 - 11$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) $det A = 3 \cdot 3 - (- 2) \cdot 1$ (3 p), adică $9 + 2 = 11$ (2 p).

b) (5 p) $B (x) = (3 + x 1 - 2 3 + x)$ , iar $det (B (x)) = (3 + x) (3 + x) - (- 2) \cdot 1 = x^{2} + 6 x + 11$ (2 p). Ecuația $x^{2} + 6 x + 11 = 18$ devine $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ , adică $(x + 7) (x - 1) = 0$ (2 p), deci $x = - 7$ sau $x = 1$ (1 p).

c) (5 p) $det (B (x)) = x^{2} + 6 x + 11 = (x + 3)^{2} + 2$ (3 p). Cum $(x + 3)^{2} \geq 0$ pentru orice număr real $x$ , rezultă $det (B (x)) \geq 2$ (2 p). Verificare: valoarea 2 se atinge pentru $x = - 3$ , când $B (- 3) = (01 - 2 0)$ și $0 \cdot 0 - (- 2) \cdot 1 = 2$ .

Pentru părinți și profesori

Testul verifică determinanții de ordinul doi și trei la clasa a XII-a, profilul pedagogic, împreună cu aplicațiile lor geometrice: ecuația dreptei prin două puncte, coliniaritatea a trei puncte și aria unui triunghi. Se sprijină pe opt lecții din traseul clasei: „Determinantul de ordinul al doilea”, „Determinantul de ordinul al treilea: regula lui Sarrus și regula triunghiului”, „Dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană”, „Proprietățile determinanților, la lucru (M2, științe ale naturii)”, „Ecuația dreptei determinate de două puncte. Forma cu determinant”, „Condiția de coliniaritate a trei puncte”, „Aria triunghiului calculată cu un determinant (M2, științe ale naturii)” și „Sarrus la tehnologic: determinant 3×3 pe tablou”. Operațiile cu matrice sunt verificate de testul anterior, iar inversa și sistemele, de testele următoare.

Punctaj: 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu, cu un maximum de 100 de puncte.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: testul se lucrează individual, pe foaie, fără calculator; toate rezultatele ies exacte. Coordonatele sunt în metri, iar ariile, în metri pătrați. La Partea a III-a contează și calculul scris, nu doar răspunsul. Ghidajul desparte fiecare exercițiu în etape mici: întâi o întrebare cu variante, apoi câte un număr de aflat, iar fiecare variantă greșită spune unde a apărut greșeala.
La 90–100 de puncte: unitatea e stăpânită, poți trece la matricele inversabile.
La 75–89 de puncte: refă cu ghidajul doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
La 60–74 de puncte: revezi lecțiile din ultima coloană a tabelului pentru exercițiile la care ai strâns mai puțin de jumătate dintre puncte, apoi repeți testul peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: reia cele opt lecții, în ordinea de mai sus, și lucrează testul din nou, cu ghidajul pornit de la primul pas.
Formule de reținut: $det (a c b d) = a d - b c$ ; pentru ordinul trei, regula lui Sarrus adună cele trei produse de pe diagonala principală și paralelele ei și scade cele trei produse de pe diagonala secundară și paralelele ei, sau se folosește dezvoltarea după o linie (de preferat, după linia cu cele mai multe zerouri); pentru o matrice $A$ de ordinul doi, $det (k A) = k^{2} det A$ ; punctele $A (x_{A}, y_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B})$ , $C (x_{C}, y_{C})$ sunt coliniare dacă și numai dacă $Δ = det x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111 = 0$ , iar aria triunghiului $A B C$ este $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ ; ecuația dreptei $A B$ se obține scriind în prima linie a lui $Δ$ coordonatele $x$ , $y$ ale unui punct oarecare al dreptei.

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 4, 11	determinantul de ordinul doi, ecuații cu determinanți	Determinantul de ordinul al doilea
2, 10	determinantul de ordinul trei	Determinantul de ordinul al treilea: regula lui Sarrus și regula triunghiului (pentru 10, și lecția „Sarrus la tehnologic: determinant 3×3 pe tablou”)
5, 6, 7, 8, 9	determinanții de ordinul trei din geometrie, calculați în barem prin dezvoltarea după o linie	Dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană
3	o proprietate a determinanților: $det (k A)$	Proprietățile determinanților, la lucru (M2, științe ale naturii)
7	ecuația dreptei prin două puncte	Ecuația dreptei determinate de două puncte. Forma cu determinant
5, 9	coliniaritatea a trei puncte	Condiția de coliniaritate a trei puncte
6, 8	aria unui triunghi din coordonate	Aria triunghiului calculată cu un determinant (M2, științe ale naturii)

Exercițiile 10 și 11 au marcajul „tip Bacalaureat M4” și sunt scrise pe conținutul Subiectului al III-lea: exercițiul 10 are forma probelor din 2013 și a modelului din 2014 (o matrice de ordinul trei cu parametru), iar exercițiul 11, forma probelor din iunie 2014 încoace (o matrice de ordinul doi); cerințele sunt de tipul celor din probe, dar cu alte matrice și alte numere decât în probele oficiale. La examen, Subiectul al III-lea este o singură problemă cu șase cerințe de câte 5 puncte (forma din testul recapitulativ al clasei); aici sunt două probleme mai scurte, cu câte trei subpuncte.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen M_pedagogic pentru Bacalaureatul din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 4: OMEC 5959/2006). Determinanții se cer la Subiectul al III-lea. În cele 60 de probe oficiale M_pedagogic din 2013–2026, un determinant a apărut în toate cele 60; determinantul de ordinul trei a apărut în patru probe (cele trei din 2013 și modelul din 2014), iar după modelul din 2014 Subiectul al III-lea nu a mai folosit matrice de ordinul trei. Ecuația dreptei prin două puncte, aria triunghiului și coliniaritatea, scrise cu determinanți, nu au apărut în aceste 60 de probe; fiind în programa de examen, pot fi cerute. Pentru elevii care dau Bacalaureatul din 2030, planul-cadru nou (OMEC 4152/2026) dă profilului pedagogic matematică în trunchiul comun numai la clasele a IX-a și a X-a, iar matematica rămâne o probă la alegere (OMEC 4138/2026); testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.