Test: Ecuații incomplete de gradul al II-lea

Exerciții

Exercițiul 1 (5 puncte)

Folosind principiul produsului nul, rezolvă în $R$ ecuațiile deja scrise ca produs de factori:

a) $x (x - 4) = 0$ ; \qquad b) $(x - 2) (x + 7) = 0$ ; \qquad c) $(2 x - 6) (x + 1) = 0$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dau ecuațiile de mai jos. Pentru fiecare, precizează dacă este o ecuație incompletă de gradul al II-lea de forma $a x^{2} + b x = 0$ , o ecuație incompletă de forma $a x^{2} + c = 0$ sau o ecuație completă $a x^{2} + b x + c = 0$ :

$E_{1} : x^{2} - 9 x = 0, E_{2} : 4 x^{2} - 25 = 0, E_{3} : x^{2} - 3 x - 10 = 0, E_{4} : 2 x^{2} + 8 x = 0, E_{5} : x^{2} + 5 = 0.$

Exercițiul 3 (6 puncte)

Rezolvă în $R$ , prin scoaterea factorului comun, ecuațiile de forma $a x^{2} + b x = 0$ :

a) $x^{2} - 7 x = 0$ ; \qquad b) $2 x^{2} + 10 x = 0$ ; \qquad c) $3 x^{2} - x = 0$ .

Exercițiul 4 (6 puncte)

Rezolvă în $R$ , prin extragerea radicalului, ecuațiile de forma $a x^{2} + c = 0$ :

a) $x^{2} - 49 = 0$ ; \qquad b) $3 x^{2} - 27 = 0$ ; \qquad c) $x^{2} + 16 = 0$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Rezolvă în $R$ , folosind diferența de pătrate $a x^{2} - b^{2} = 0$ :

a) $4 x^{2} - 25 = 0$ ; \qquad b) $9 x^{2} - 16 = 0$ .

(Indicație: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică răspunsul (câte 2 puncte):

a) Ecuația $x^{2} + 7 = 0$ nu are soluții reale. b) Ecuația $5 x^{2} = 0$ are două soluții reale distincte. c) Ecuația $x^{2} - 6 x = 0$ are soluțiile $0$ și $6$ .

Exercițiul 7 (4 puncte)

Se dă ecuația $x^{2} = 6 x$ .

a) Adu ecuația la forma $a x^{2} + b x = 0$ și rezolv-o prin scoaterea factorului comun. b) Explică de ce nu este corect să împărțim de la început ambii membri cu $x$ .

Exercițiul 8 (5 puncte)

Rezolvă în $R$ ecuațiile de mai jos (soluțiile pot fi numere iraționale) și verifică o soluție de la punctul a):

a) $x^{2} - 5 = 0$ ; \qquad b) $2 x^{2} - 14 = 0$ .

Exercițiul 9 (5 puncte)

Dublul pătratului unui număr natural este egal cu $50$ .

a) Notează numărul cu $x$ și scrie ecuația care modelează problema. b) Rezolvă ecuația și precizează numărul căutat.

Exercițiul 10 (6 puncte)

Un pătrat are aria de $81 cm^{2}$ .

a) Notând latura cu $x$ , scrie ecuația care leagă latura de arie. b) Rezolvă ecuația și află lungimea laturii, eliminând soluția fără sens geometric.

Exercițiul 11 (5 puncte)

În triunghiul dreptunghic $A B C$ (cu unghiul drept în $B$ ), o catetă are $6 cm$ , iar ipotenuza are $10 cm$ . Cealaltă catetă se notează cu $x$ .

Folosind teorema lui Pitagora, scrie o ecuație de forma $x^{2} + c = 0$ (după mutarea termenilor) și află $x$ .

Exercițiul 12 (4 puncte)

Un dreptunghi are lungimea de două ori mai mare decât lățimea, iar aria de $72 m^{2}$ . Notând lățimea cu $x$ , scrie ecuația și află dimensiunile dreptunghiului.

Exercițiul 13 (6 puncte)

Se consideră ecuația $x^{2} - m = 0$ , unde $m$ este un număr real.

a) Determină valoarea lui $m$ pentru care $x = 3$ este soluție a ecuației. b) Pentru valoarea găsită, rezolvă complet ecuația.

Exercițiul 14 (4 puncte)

Un elev rezolvă ecuația $x^{2} - 16 = 0$ astfel: „ $x^{2} = 16$ , deci $x = 4$ ”. Este rezolvarea completă? Explică ce lipsește și scrie toate soluțiile ecuației.

Exercițiul 15 (6 puncte)

Aria totală a unui cub este de $54 cm^{2}$ . Se știe că aria totală a unui cub cu muchia $x$ este $6 x^{2}$ .

a) Scrie ecuația și află lungimea muchiei $x$ . b) Calculează volumul cubului.

Exercițiul 16 (5 puncte)

Rezolvă ecuațiile și scrie, pentru fiecare, mulțimea soluțiilor $S$ :

a) $x^{2} - 100 = 0$ ; \qquad b) $7 x^{2} + 3 x = 0$ .

Exercițiul 17 (5 puncte)

O piatră este aruncată în sus. Înălțimea ei față de sol (în metri), după $t$ secunde, este dată de $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ .

a) Scrie ecuația $h (t) = 0$ și rezolv-o prin scoaterea factorului comun. b) După câte secunde atinge piatra din nou solul? Explică de ce soluția $t = 0$ nu este răspunsul căutat.

Exercițiul 18 (2 puncte)

Explică pe scurt de ce o ecuație de forma $a x^{2} + c = 0$ , cu $a > 0$ și $c > 0$ , nu poate avea soluții reale.

Barem și răspunsuri

Se acordă 10 puncte din oficiu. Punctajul de mai jos însumează 90 de puncte pe cei 18 itemi; total 100 de puncte. Se acordă punctaj parțial pentru etape de rezolvare corecte.

Exercițiul 1. (5p) (a: 1p; b: 2p; c: 2p) a) $x = 0$ sau $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ . Soluții: $x \in {0, 4}$ . b) $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ sau $x + 7 = 0 \Rightarrow x = - 7$ . Soluții: $x \in {- 7, 2}$ . c) $2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ sau $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$ . Soluții: $x \in {- 1, 3}$ .

Exercițiul 2. (5p) (câte 1p) $E_{1} : a x^{2} + b x = 0$ (lipsește $c$ ); $E_{2} : a x^{2} + c = 0$ (lipsește $b$ ; este și de tip $a x^{2} - b^{2}$ ); $E_{3} :$ completă; $E_{4} : a x^{2} + b x = 0$ ; $E_{5} : a x^{2} + c = 0$ .

Exercițiul 3. (6p) (câte 2p) a) $x^{2} - 7 x = 0 \Rightarrow x (x - 7) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 7$ . b) $2 x^{2} + 10 x = 0 \Rightarrow 2 x (x + 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = - 5$ . c) $3 x^{2} - x = 0 \Rightarrow x (3 x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $3 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ .

Exercițiul 4. (6p) (câte 2p) a) $x^{2} - 49 = 0 \Rightarrow x^{2} = 49 \Rightarrow x = \pm 7$ . b) $3 x^{2} - 27 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ . c) $x^{2} + 16 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 16$ ; un pătrat nu poate fi negativ $\Rightarrow$ nu are soluții reale ( $S = \emptyset$ ).

Exercițiul 5. (5p) (câte 2,5p) a) $4 x^{2} - 25 = 0 \Rightarrow (2 x - 5) (2 x + 5) = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$ sau $x = - \frac{5}{2}$ . b) $9 x^{2} - 16 = 0 \Rightarrow (3 x - 4) (3 x + 4) = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$ sau $x = - \frac{4}{3}$ .

Exercițiul 6. (6p) (câte 2p: 1p răspuns + 1p justificare) a) A — $x^{2} + 7 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 7$ , imposibil deoarece $x^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ real. b) F — $5 x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ ; ecuația are o singură soluție (dublă), nu două distincte. c) A — $x^{2} - 6 x = 0 \Rightarrow x (x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 6$ .

Exercițiul 7. (4p) a) $x^{2} = 6 x \Rightarrow x^{2} - 6 x = 0 \Rightarrow x (x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 6$ . (2p) b) Prin împărțirea cu $x$ am presupune $x \neq = 0$ și am pierde soluția $x = 0$ ; nu avem voie să împărțim cu o expresie care poate fi nulă. (2p)

Exercițiul 8. (5p) a) $x^{2} - 5 = 0 \Rightarrow x^{2} = 5 \Rightarrow x = \pm 5$ . (2p) Verificare: $(5)^{2} - 5 = 5 - 5 = 0$ ✓. (1p) b) $2 x^{2} - 14 = 0 \Rightarrow x^{2} = 7 \Rightarrow x = \pm 7$ . (2p)

Exercițiul 9. (5p) a) $2 x^{2} = 50$ . (2p) b) $x^{2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5$ ; cum $x$ este număr natural, $x = 5$ (se elimină $- 5$ ). (3p)

Exercițiul 10. (6p) a) $x^{2} = 81$ . (2p) b) $x = \pm 9$ ; latura este pozitivă, deci $x = 9 cm$ (se elimină $- 9$ ). (4p)

Exercițiul 11. (5p) Teorema lui Pitagora: $x^{2} + 6^{2} = 1 0^{2} \Rightarrow x^{2} + 36 = 100$ , adică $x^{2} - 64 = 0$ . (3p) Rezultă $x^{2} = 64 \Rightarrow x = \pm 8$ ; cum $x > 0$ , cateta este $x = 8 cm$ . (2p)

Exercițiul 12. (4p) Lățime $x$ , lungime $2 x$ ; aria: $2 x \cdot x = 2 x^{2} = 72 \Rightarrow x^{2} = 36 \Rightarrow x = 6$ (pozitiv). (3p) Deci lățimea $= 6 m$ , lungimea $= 12 m$ . (1p)

Exercițiul 13. (6p) a) $x = 3$ soluție $\Rightarrow 3^{2} - m = 0 \Rightarrow 9 - m = 0 \Rightarrow m = 9$ . (3p) b) Ecuația devine $x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ . (3p)

Exercițiul 14. (4p) Rezolvarea este incompletă: din $x^{2} = 16$ rezultă $x = \pm 4$ , deci lipsește soluția $x = - 4$ (elevul a luat doar rădăcina pozitivă). (2p) Soluțiile corecte: $x \in {- 4, 4}$ . (2p)

Exercițiul 15. (6p) a) $6 x^{2} = 54 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ ; muchia este pozitivă, deci $x = 3 cm$ . (4p) b) Volumul: $V = x^{3} = 3^{3} = 27 cm^{3}$ . (2p)

Exercițiul 16. (5p) (câte 2,5p) a) $x^{2} - 100 = 0 \Rightarrow x^{2} = 100 \Rightarrow x = \pm 10$ , deci $S = {- 10, 10}$ . b) $7 x^{2} + 3 x = 0 \Rightarrow x (7 x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $7 x + 3 = 0 \Rightarrow x = - \frac{3}{7}$ , deci $S = {- \frac{3}{7}, 0}$ .

Exercițiul 17. (5p) a) $20 t - 5 t^{2} = 0 \Rightarrow 5 t (4 - t) = 0 \Rightarrow t = 0$ sau $4 - t = 0 \Rightarrow t = 4$ . (3p) b) $t = 0$ este momentul lansării (piatra pleacă de la sol), deci răspunsul căutat este $t = 4$ secunde — momentul în care revine la sol. (2p)

Exercițiul 18. (2p) Din $a x^{2} + c = 0$ rezultă $x^{2} = - \frac{c}{a}$ . Cum $a > 0$ și $c > 0$ , membrul drept $- \frac{c}{a}$ este negativ, iar un pătrat $x^{2}$ nu poate fi negativ; prin urmare ecuația nu are soluții reale. (2p pentru orice justificare corectă bazată pe $x^{2} \geq 0$ )

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică, într-un format apropiat de Evaluarea Națională, dacă elevul stăpânește rezolvarea ecuațiilor incomplete de gradul al II-lea din unitatea „Ecuații de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ ”: ecuațiile de tip $a x^{2} + b x = 0$ (rezolvate prin scoaterea factorului comun), ecuațiile de tip $a x^{2} + c = 0$ (rezolvate prin extragerea radicalului) și ecuațiile de tip $a x^{2} - b^{2} = 0$ (rezolvate prin diferența de pătrate), toate sprijinite pe principiul produsului nul: un produs de factori este $0$ dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este $0$ .

Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu ciornă și instrument de scris, fără calculator. Fiecare item cere scrierea etapelor de rezolvare, nu doar rezultatul final. Soluțiile fără sens în context (de exemplu o lungime negativă) trebuie eliminate cu justificare.
Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 90 de puncte se distribuie pe cei 18 itemi (punctajul e trecut lângă fiecare cerință), iar 10 puncte se acordă din oficiu.
Timp recomandat: 50 de minute.
Grile de reușită orientative: peste 45 p — noțiuni de bază însușite; peste 70 p — foarte bine; peste 85 p — nivel de excelență.

Baremul complet, cu explicații scurte, se află la finalul testului. Recomandăm ca elevul să rezolve întâi tot testul și abia apoi să verifice răspunsurile.