Test: Evaluare — semestrul al II-lea

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Subiectul I – răspuns scurt / grilă (30 de puncte)

Se trece pe foaie doar litera răspunsului corect (sau rezultatul cerut). Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$. Valoarea $f(2)$ este:

A. $1$ B. $7$ C. $-1$ D. $4$

Exercițiul 2 (5 puncte)

Media aritmetică a numerelor $6,7,9,10$ este:

A. $7$ B. $8$ C. $8,5$ D. $9$

Exercițiul 3 (5 puncte)

Un cub are muchia de $4$ cm. Volumul cubului este:

A. $12{\text{cm}}^3$ B. $16{\text{cm}}^3$ C. $48{\text{cm}}^3$ D. $64{\text{cm}}^3$

Exercițiul 4 (5 puncte)

O sferă are raza de $3$ cm. Aria sferei este:

A. $12\pi {\text{cm}}^2$ B. $36\pi {\text{cm}}^2$ C. $9\pi {\text{cm}}^2$ D. $27\pi {\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 (5 puncte)

În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, muchiile $AB$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sunt:

A. concurente B. paralele C. necoplanare D. perpendiculare

Exercițiul 6 (5 puncte)

Un con circular drept are raza bazei de $3$ cm și înălțimea de $4$ cm. Volumul conului este:

A. $12\pi {\text{cm}}^3$ B. $36\pi {\text{cm}}^3$ C. $48\pi {\text{cm}}^3$ D. $9\pi {\text{cm}}^3$

Subiectul al II-lea – rezolvare completă (30 de puncte)

Se scriu toți pașii. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (5 puncte)

Se dă funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+4$. a) Calculați $f(0)$ și $f(3)$. b) Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele $Ox$ și $Oy$.

Exercițiul 8 (5 puncte)

Notele obținute de $10$ elevi la un test au fost: $$7,8,9,7,10,8,9,7,8,7.$$ Calculați: a) media notelor; b) mediana; c) modul și amplitudinea seriei.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de $6$ cm, $4$ cm și $3$ cm. a) Calculați volumul. b) Calculați aria totală.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Un cilindru circular drept are raza bazei de $5$ cm și înălțimea de $10$ cm. a) Calculați aria laterală. b) Calculați volumul.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Se dă funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. a) Completați tabelul de valori pentru $x\in \{0,2\}$. b) Reprezentați grafic funcția într-un sistem de axe ortogonale.

Exercițiul 12 (5 puncte)

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de $6$ cm și apotema piramidei de $5$ cm. a) Calculați aria laterală. b) Calculați aria totală.

Subiectul al III-lea – probleme ample (30 de puncte)

Se scriu raționamentul complet, justificările și figurile. Fiecare problemă valorează 10 puncte.

Exercițiul 13 (10 puncte)

Graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, trece prin punctele $A(0,3)$ și $B(2,-1)$. a) (3 p) Determinați numerele $a$ și $b$. b) (3 p) Reprezentați grafic funcția obținută. c) (4 p) Graficul funcției, împreună cu axele $Ox$ și $Oy$, determină un triunghi. Calculați aria acestui triunghi.

Exercițiul 14 (10 puncte)

Notele celor $20$ de elevi ai unei clase la teza de matematică sunt date în tabelul de frecvențe:

a) (3 p) Câți elevi au obținut cel puțin nota $8$? b) (4 p) Calculați media notelor pe clasă. c) (3 p) Determinați mediana notelor.

Exercițiul 15 (10 puncte)

O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB=8$ cm și înălțimea $VO=3$ cm (unde $O$ este centrul bazei).

a) (3 p) Calculați apotema piramidei (segmentul $VM$). b) (4 p) Calculați aria totală a piramidei. c) (3 p) Calculați volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Subiectul I (30 p — câte 5 p/item; se acordă punctajul integral doar pentru răspunsul corect)

Exercițiul 1 · 5 puncte — A. $f(2)=2\cdot 2-3=4-3=1$.

Exercițiul 2 · 5 puncte — B. $\frac{6+7+9+10}{4}=\frac{32}{4}=8$.

Exercițiul 3 · 5 puncte — D. $V_{\text{cub}}={\ell }^3=4^3=64{\text{cm}}^3$.

Exercițiul 4 · 5 puncte — B. $A_{\text{sfera˘}}=4\pi r^2=4\pi \cdot 3^2=36\pi {\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte — B. Fața $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este un pătrat, iar în el $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ (laturi opuse). Cele două muchii sunt paralele (coplanare, fără punct comun).

Exercițiul 6 · 5 puncte — A. $V_{\text{con}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2\cdot 4=\frac{1}{3}\pi \cdot 36=12\pi {\text{cm}}^3$.

Subiectul al II-lea (30 p)

Exercițiul 7 · 5 puncte a) $f(0)=-2\cdot 0+4=4$ (1 p); $f(3)=-2\cdot 3+4=-6+4=-2$ (1 p). b) Intersecția cu $Oy$: $x=0\Rightarrow y=f(0)=4$, deci punctul $(0,4)$ (1,5 p). Intersecția cu $Ox$: $f(x)=0\Rightarrow -2x+4=0\Rightarrow x=2$, deci punctul $(2,0)$ (1,5 p).

Exercițiul 8 · 5 puncte Ordonăm datele: $7,7,7,7,8,8,8,9,9,10$ (sunt $10$ valori). a) Media $=\frac{4\cdot 7+3\cdot 8+2\cdot 9+1\cdot 10}{10}=\frac{28+24+18+10}{10}=\frac{80}{10}=8$ (2 p). b) Mediana: media valorilor de pe locurile $5$ și $6$: $\frac{8+8}{2}=8$ (1,5 p). c) Modul $=7$ (apare de $4$ ori, cel mai des); amplitudinea $=10-7=3$ (1,5 p).

Exercițiul 9 · 5 puncte a) $V=L\cdot l\cdot h=6\cdot 4\cdot 3=72{\text{cm}}^3$ (2 p). b) $A_t=2(L\cdot l+L\cdot h+l\cdot h)=2(6\cdot 4+6\cdot 3+4\cdot 3)=2(24+18+12)=2\cdot 54=108{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 10 · 5 puncte a) $A_{\ell }=2\pi rG=2\pi \cdot 5\cdot 10=100\pi {\text{cm}}^2$ (2 p) (la cilindru, $G=h$). b) $V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 5^2\cdot 10=\pi \cdot 25\cdot 10=250\pi {\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 11 · 5 puncte a) Tabel (2 p): $f(0)=0-2=-2$ și $f(2)=2-2=0$.

b) Graficul este dreapta care trece prin $A(0,-2)$ și $B(2,0)$ (3 p).

Exercițiul 12 · 5 puncte a) $A_{\ell }=\frac{P_{\text{baza˘}}\cdot a_p}{2}=\frac{(4\cdot 6)\cdot 5}{2}=\frac{24\cdot 5}{2}=\frac{120}{2}=60{\text{cm}}^2$ (3 p) ($a_p=$ apotema piramidei). b) $A_{\text{baza˘}}=6^2=36{\text{cm}}^2$; $A_t=A_{\ell }+A_{\text{baza˘}}=60+36=96{\text{cm}}^2$ (2 p).

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 13 · 10 puncte a) (3 p) Din $A(0,3)$: $f(0)=b=3\Rightarrow b=3$ (1 p). Din $B(2,-1)$: $2a+b=-1\Rightarrow 2a+3=-1\Rightarrow 2a=-4\Rightarrow a=-2$ (2 p). Deci $f(x)=-2x+3$. b) (3 p) Graficul este dreapta prin $A(0,3)$ și $B(2,-1)$; ea taie $Oy$ în $3$ și $Ox$ în punctul unde $-2x+3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$.

c) (4 p) Triunghiul are vârfurile $O(0,0)$, $P\left(\frac{3}{2},0\right)$ (pe $Ox$) și $Q(0,3)$ (pe $Oy$). Catetele sunt $OP=\frac{3}{2}$ și $OQ=3$ (2 p), deci $$\mathcal{A}=\frac{OP\cdot OQ}{2}=\frac{\frac{3}{2}\cdot 3}{2}=\frac{\frac{9}{2}}{2}=\frac{9}{4}=2,25\text{(unita˘ți de arie)}$$ (2 p).

Exercițiul 14 · 10 puncte Numărul total de elevi: $2+3+5+4+4+2=20$. a) (3 p) Cel puțin $8$ înseamnă notele $8,9,10$: $4+4+2=10$ elevi. b) (4 p) $$\text{media}=\frac{5\cdot 2+6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 4+9\cdot 4+10\cdot 2}{20}=\frac{10+18+35+32+36+20}{20}=\frac{151}{20}=7,55.$$ c) (3 p) Pentru $20$ de valori, mediana este media valorilor de pe locurile $10$ și $11$. Ordonate crescător, până la nota $7$ avem $2+3+5=10$ valori (locul $10$ = nota $7$), iar locul $11$ = nota $8$. Mediana $=\frac{7+8}{2}=7,5$.

Exercițiul 15 · 10 puncte Fie $M$ mijlocul laturii $BC$ și $O$ centrul bazei. Apotema bazei este $OM=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$ cm. a) (3 p) În triunghiul dreptunghic $VOM$ (dreptunghic în $O$), cu teorema lui Pitagora: $$VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{cm}(\text{apotema piramidei}).$$ b) (4 p) $A_{\ell }=\frac{P_{\text{baza˘}}\cdot a_p}{2}=\frac{(4\cdot 8)\cdot 5}{2}=\frac{160}{2}=80{\text{cm}}^2$ (2 p); $A_{\text{baza˘}}=8^2=64{\text{cm}}^2$; deci $$A_t=A_{\ell }+A_{\text{baza˘}}=80+64=144{\text{cm}}^2$$ (2 p). c) (3 p) $V=\frac{1}{3}\cdot A_{\text{baza˘}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 3=64{\text{cm}}^3$.

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017). Ariile și volumele corpurilor geometrice se calculează cu formulele studiate în clasa a VIII-a; la corpurile rotunde rezultatele se lasă în funcție de $\pi$.

Pentru părinți și profesori

Acest test este o evaluare de final de semestru al II-lea și, în același timp, o simulare a structurii de la Evaluarea Națională. El acoperă principalele teme parcurse în al doilea semestru al clasei a VIII-a:

• funcții: funcția liniară $f(x)=ax+b$, tabel de valori, reprezentare grafică, intersecția graficului cu axele;
• statistică: media aritmetică, mediana, modul, amplitudinea, citirea unui tabel de frecvențe;
• geometrie în spațiu: poziții relative ale dreptelor și planelor;
• corpuri geometrice — arii și volume: cub, paralelipiped dreptunghic, prismă, piramidă regulată, cilindru, con, sferă.

Testul este structurat ca la examen, în trei subiecte:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi cu răspuns scurt / grilă; se cere doar rezultatul.

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi cu rezolvare completă; se punctează pașii.

• Subiectul al III-lea (30 p) – 3 probleme ample, cu subpuncte și justificări.

• Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu.

• Timp recomandat: 100 de minute.

• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie separată; la Subiectele al II-lea și al III-lea se scriu toți pașii de rezolvare și se realizează figurile cerute. La final, comparați cu Baremul și răspunsurile.

• Interpretare orientativă: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea temelor de semestrul al II-lea.

• De reținut: la corpurile rotunde se lucrează cu $\pi$ simbolic (rezultatele rămân de forma „$\dots \pi$"), dacă nu se cere altfel.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura sau graficul care însoțește itemul; elevul le poate schița după descriere.