Test: Graficul unei funcții

Exerciții

Exercițiul 1 (5 puncte)

În sistemul de axe de mai jos sunt marcate cinci puncte.

Scrieți coordonatele fiecărui punct sub forma $A (x, y)$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dau punctele: $M (- 5, 2), N (3, - 4), P (- 2, - 3), Q (0, 4), R (6, 1) .$ Precizați, pentru fiecare punct, în ce cadran se află sau pe ce axă este situat.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , definită prin $f (x) = 2 x - 1$ .

Scrieți graficul funcției $G_{f}$ ca mulțime de perechi ordonate $(x, f (x))$ .

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 4$ .

Stabiliți, prin calcul, care dintre punctele următoare aparțin graficului funcției $f$ : $A (2, 2), B (- 1, - 8), C (0, - 4), D (3, 5) .$

Exercițiul 5 (6 puncte)

Stabiliți valoarea de adevăr (A / F) a fiecărei afirmații și justificați pe scurt:

a) Graficul unei funcții definite pe o mulțime cu 4 elemente este format din 4 puncte. (2 p) b) Punctul $(0, 0)$ aparține graficului funcției $f (x) = 2 x$ . (2 p) c) Dacă $f (3) = 5$ , atunci punctul $(5, 3)$ aparține graficului funcției $f$ . (2 p)

Exercițiul 6 (5 puncte)

O funcție $f : {1, 2, 3, 4} \to R$ este dată prin diagrama cu săgeți de mai jos.

Scrieți graficul funcției $G_{f}$ ca mulțime de perechi ordonate.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Într-o parcare, costul staționării este de 3 lei pe oră, plus o taxă fixă de intrare de 2 lei. Costul (în lei) pentru $x$ ore de staționare este dat de funcția $f : {1, 2, 3, 4, 5} \to R$ , $f (x) = 3 x + 2$ .

a) Scrieți graficul funcției $G_{f}$ ca mulțime de perechi ordonate. (4 p) b) Cât plătește o persoană care staționează 4 ore? (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

În figura de mai jos este reprezentat geometric graficul unei funcții $f : R \to R$ ; graficul trece prin punctele marcate $(- 2, - 3)$ , $(0, 1)$ și $(2, 5)$ .

Citind graficul, determinați: a) $f (0)$ ; (2 p) b) $f (2)$ ; (2 p) c) valoarea lui $x$ pentru care $f (x) = 3$ . (2 p)

Exercițiul 9 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = m x + 1$ , unde $m$ este un număr real.

Determinați valoarea lui $m$ știind că punctul $P (2, 7)$ aparține graficului funcției $f$ .

Exercițiul 10 (6 puncte)

O funcție $f$ este dată prin tabelul de valori:

$x$	1	2	3	4
$f (x)$	4	7	10	13

a) Precizați domeniul funcției. (2 p) b) Care este valoarea $f (3)$ ? (2 p) c) Aparține punctul $(2, 7)$ graficului funcției? Justificați. (2 p)

Exercițiul 11 (5 puncte)

În figura de mai jos este reprezentat graficul unei funcții $f : R \to R$ , care taie axele sistemului în două puncte marcate.

Citind graficul, scrieți coordonatele: a) punctului în care graficul taie axa $O x$ ; (2,5 p) b) punctului în care graficul taie axa $O y$ . (2,5 p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

Graficul unei funcții $f$ este mulțimea: $G_{f} = {(- 2, 5), (- 1, 3), (0, 1), (1, - 1), (2, - 3)} .$

a) Completați tabelul de valori al funcției. (2 p)

$x$	-2	-1	0	1	2
$f (x)$

b) Care este valoarea $f (0)$ ? (2 p) c) Pentru ce valoare a lui $x$ avem $f (x) = 3$ ? (2 p)

Exercițiul 13 (6 puncte)

O lumânare are, la aprindere, lungimea de 20 cm și se scurtează cu 2 cm în fiecare oră. Lungimea lumânării (în cm) după $t$ ore este dată de funcția $l : {0, 1, 2, 3, 4, 5} \to R$ , $l (t) = 20 - 2 t$ .

a) Scrieți graficul funcției $l$ ca mulțime de perechi ordonate. (2 p) b) Aparține punctul $(3, 14)$ graficului funcției? Justificați. (2 p) c) După câte ore lungimea lumânării este de 12 cm? (2 p)

Exercițiul 14 (5 puncte)

Poate graficul unei funcții să conțină, în același timp, punctele $(2, 3)$ și $(2, 5)$ ? Justificați răspunsul folosind definiția funcției.

Exercițiul 15 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : {- 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = x + 2$ .

a) Calculați valorile funcției și scrieți graficul $G_{f}$ ca mulțime de perechi. (3 p) b) Reprezentați geometric aceste puncte într-un sistem de axe $x O y$ . (2 p) c) Sunt punctele coliniare? Justificați. (1 p)

Exercițiul 16 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ .

a) Punctul $A (a, 5)$ aparține graficului funcției. Determinați valoarea lui $a$ . (3 p) b) Punctul $B (- 1, b)$ aparține graficului funcției. Determinați valoarea lui $b$ . (3 p)

Barem și răspunsuri

Se acordă 10 puncte din oficiu. Total: 100 de puncte.

Exercițiul 1 (5 p)

$A (4, 3)$ , $B (- 3, 2)$ , $C (- 2, - 4)$ , $D (0, 3)$ , $E (5, 0)$ . Câte 1 p pentru fiecare punct corect. Reamintim: prima coordonată (abscisa) se citește pe orizontală, a doua (ordonata) pe verticală; punctele de pe axa $O y$ au abscisa 0, iar cele de pe $O x$ au ordonata 0.

Exercițiul 2 (5 p)

$M (- 5, 2)$ : cadranul II ( $x < 0$ , $y > 0$ ).
$N (3, - 4)$ : cadranul IV ( $x > 0$ , $y < 0$ ).
$P (- 2, - 3)$ : cadranul III ( $x < 0$ , $y < 0$ ).
$Q (0, 4)$ : pe axa $O y$ (abscisa este 0).
$R (6, 1)$ : cadranul I ( $x > 0$ , $y > 0$ ). Câte 1 p pentru fiecare.

Exercițiul 3 (6 p)

Calculăm valorile: $f (- 2) = - 5$ , $f (- 1) = - 3$ , $f (0) = - 1$ , $f (1) = 1$ , $f (2) = 3$ . $G_{f} = {(- 2, - 5), (- 1, - 3), (0, - 1), (1, 1), (2, 3)} .$ Câte 1 p pentru fiecare pereche corectă (5 p) + 1 p pentru scrierea corectă ca mulțime de perechi ordonate; se scade acest punct dacă lipsesc acoladele sau forma de mulțime.

Exercițiul 4 (6 p)

Un punct $(x_{0}, y_{0})$ aparține graficului dacă $f (x_{0}) = y_{0}$ .

$A (2, 2)$ : $f (2) = 3 \cdot 2 - 4 = 2$ ⟹ aparține.
$B (- 1, - 8)$ : $f (- 1) = 3 \cdot (- 1) - 4 = - 7 \neq = - 8$ ⟹ nu aparține.
$C (0, - 4)$ : $f (0) = - 4$ ⟹ aparține.
$D (3, 5)$ : $f (3) = 3 \cdot 3 - 4 = 5$ ⟹ aparține. Câte 1,5 p pentru fiecare punct verificat corect prin calcul.

Exercițiul 5 (6 p)

a) A (Adevărat). Fiecărui element din domeniu îi corespunde exact o valoare, deci exact o pereche; 4 elemente ⟹ 4 puncte distincte pe grafic. (2 p) b) A (Adevărat). $f (0) = 2 \cdot 0 = 0$ , deci $(0, 0) \in G_{f}$ . (2 p) c) F (Fals). Din $f (3) = 5$ rezultă că punctul $(3, 5)$ aparține graficului, nu $(5, 3)$ ; ordinea coordonatelor este $(x, f (x))$ . (2 p) Fără justificare corectă: cel mult 1 p pe subpunct.

Exercițiul 6 (5 p)

$G_{f} = {(1, 3), (2, 5), (3, 3), (4, 7)} .$ Câte 1 p pentru fiecare pereche + 1 p pentru scrierea corectă ca mulțime. Observație: valoarea 3 apare de două ori (pentru $x = 1$ și $x = 3$ ) — este permis, o funcție poate lua aceeași valoare pentru argumente diferite.

Exercițiul 7 (6 p)

a) $f (1) = 5$ , $f (2) = 8$ , $f (3) = 11$ , $f (4) = 14$ , $f (5) = 17$ . $G_{f} = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14), (5, 17)} . (4 p)$ b) Pentru 4 ore: $f (4) = 3 \cdot 4 + 2 = 14$ lei. (2 p)

Exercițiul 8 (6 p)

a) $f (0) = 1$ (ordonata punctului de pe grafic cu abscisa 0). (2 p) b) $f (2) = 5$ . (2 p) c) $f (x) = 3$ pentru $x = 1$ (punctul $(1, 3)$ se află pe grafic, între $(0, 1)$ și $(2, 5)$ ). (2 p) Se acceptă citirea directă de pe grafic.

Exercițiul 9 (5 p)

$P (2, 7) \in G_{f} \Rightarrow f (2) = 7 \Rightarrow m \cdot 2 + 1 = 7 \Rightarrow 2 m = 6 \Rightarrow m = 3$ . 2 p punerea condiției $f (2) = 7$ ; 2 p rezolvarea ecuației; 1 p răspunsul.

Exercițiul 10 (6 p)

a) Domeniul: ${1, 2, 3, 4}$ . (2 p) b) $f (3) = 10$ (citit din tabel). (2 p) c) Da, aparține: din tabel $f (2) = 7$ , deci $(2, 7) \in G_{f}$ . (2 p)

Exercițiul 11 (5 p)

a) Graficul taie axa $O x$ în punctul $(1, 0)$ (punctele de pe $O x$ au ordonata 0). (2,5 p) b) Graficul taie axa $O y$ în punctul $(0, - 2)$ (punctele de pe $O y$ au abscisa 0). (2,5 p)

Exercițiul 12 (6 p)

a) Tabelul completat: (2 p)

$x$	-2	-1	0	1	2
$f (x)$	5	3	1	-1	-3

b) $f (0) = 1$ (perechea $(0, 1) \in G_{f}$ ). (2 p) c) $f (x) = 3$ pentru $x = - 1$ (perechea $(- 1, 3) \in G_{f}$ ). (2 p)

Exercițiul 13 (6 p)

a) $l (0) = 20$ , $l (1) = 18$ , $l (2) = 16$ , $l (3) = 14$ , $l (4) = 12$ , $l (5) = 10$ . $G_{l} = {(0, 20), (1, 18), (2, 16), (3, 14), (4, 12), (5, 10)} . (2 p)$ b) Da: $l (3) = 20 - 2 \cdot 3 = 14$ , deci $(3, 14) \in G_{l}$ . (2 p) c) $l (t) = 12 \Rightarrow 20 - 2 t = 12 \Rightarrow 2 t = 8 \Rightarrow t = 4$ ore. (2 p)

Exercițiul 14 (5 p)

Nu. Prin definiție, o funcție asociază fiecărui element din domeniu o singură valoare. Dacă graficul ar conține și $(2, 3)$ și $(2, 5)$ , ar însemna $f (2) = 3$ și $f (2) = 5$ în același timp, ceea ce este imposibil pentru o funcție. Deci abscisa 2 nu poate avea două imagini. 3 p pentru „Nu” cu ideea unicității imaginii; 2 p pentru explicația completă.

Exercițiul 15 (6 p)

a) $f (- 1) = 1$ , $f (0) = 2$ , $f (1) = 3$ , $f (2) = 4$ . $G_{f} = {(- 1, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4)} . (3 p)$ b) Se marchează cele patru puncte în sistemul de axe $x O y$ . (2 p — axe corecte + puncte corect poziționate) c) Da, punctele sunt coliniare: se află toate pe dreapta de ecuație $y = x + 2$ (funcția este liniară, deci reprezentarea geometrică a punctelor se află pe o dreaptă). (1 p)

Exercițiul 16 (6 p)

a) $A (a, 5) \in G_{f} \Rightarrow f (a) = 5 \Rightarrow 2 a - 3 = 5 \Rightarrow 2 a = 8 \Rightarrow a = 4$ . (3 p) b) $B (- 1, b) \in G_{f} \Rightarrow b = f (- 1) = 2 \cdot (- 1) - 3 = - 5 \Rightarrow b = - 5$ . (3 p)

Punctaj total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test evaluează, la nivel de clasa a VIII-a (programa OMEN 3393/2017, an de Evaluare Națională), unitatea „Funcții. Noțiunea de funcție și graficul”. Verifică felul în care elevul lucrează cu sistemul de axe și cu coordonatele punctelor în plan, scrie graficul unei funcții ca mulțime de perechi $(x, f (x))$ , realizează reprezentarea geometrică a graficului și verifică apartenența unui punct la grafic.

Cum se aplică:

Timp recomandat: 50 de minute, individual, cu hârtie milimetrică sau caiet de matematică pentru sistemul de axe.
Se lucrează cu creion, riglă și, unde este cerut, se desenează sistemul de axe $x O y$ .
Nu este permis calculatorul; toate calculele sunt simple, cu numere întregi.

Punctaj: Total 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Fiecare item are punctajul trecut în dreptul lui. Notă finală: împărțiți punctajul obținut la 10 (ex.: 87 p → nota 8,70).

Recomandare de corectare: la itemii de justificare și adevărat/fals, răspunsul fără motivare corectă primește cel mult jumătate din punctaj. La reprezentarea geometrică se punctează și trasarea corectă a axelor și marcarea unităților.