Test inițial pedagogic — clasa a X-a

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Evaluare inițială

Exerciții

Partea I – Recapitulare scurtă (30 de puncte)

Exercițiile 1–6 valorează câte 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Care dintre propozițiile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „Există $x\in \mathbb{N}$ astfel încât $x^2<x$”; b) „Pentru orice $x\in \mathbb{R}$, $x^2+1>0$”; c) „Pentru orice $x\in \mathbb{R}$, $|x|>0$”; d) „Există $x\in \mathbb{R}$ astfel încât $x^2=-4$”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid |2x-1|\le 5\}$. Scrie intervalul de numere reale care conține soluțiile inecuației $|2x-1|\le 5$ și determină numărul elementelor mulțimii $A$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Într-o progresie geometrică $(b_n{)}_{n\ge 1}$ cu termeni reali se cunosc $b_1=2$ și $b_4=54$. Determină rația progresiei și calculează suma primilor patru termeni.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+6$. Determină punctele de intersecție ale graficului funcției $f$ cu axele de coordonate și mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $f(x)\ge 0$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Ecuația $x^2-7x+5=0$ are soluțiile reale $x_1$ și $x_2$. Calculează $x_1^2+x_2^2$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $BC=10$ și $\sin B=\frac{3}{5}$. Calculează lungimile catetelor $AC$ și $AB$ și valoarea lui $\cos (180^{\circ }-B)$.

Partea a II-a – Probleme (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a II-a are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+5$.

a) (5 puncte) Determină coordonatele vârfului parabolei care reprezintă grafic funcția $f$ și valoarea minimă a funcției.

b) (5 puncte) Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația $f(x)\le 0$.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x-3$ și $g(x)=x+1$.

a) (5 puncte) Determină coordonatele punctelor de intersecție ale graficelor celor două funcții.

b) (5 puncte) Determină numărul real $m$ pentru care dreapta de ecuație $y=2x+m$ și graficul funcției $f$ au un singur punct comun, apoi scrie coordonatele acestui punct.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Pentru proiectul de lectură al clasei, Ana citește în prima zi 12 pagini, iar în fiecare zi următoare cu 3 pagini mai mult decât în ziua dinainte.

a) (5 puncte) Câte pagini citește Ana în a zecea zi?

b) (5 puncte) Cartea are 255 de pagini. În câte zile o termină Ana, dacă citește în acest ritm?

Partea a III-a – Sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a III-a are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) În triunghiul $ABC$, punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$, iar $G$ este centrul de greutate al triunghiului. Punctul $D$ se află pe latura $AB$, cu $AD=\frac{1}{3}AB$, iar punctul $E$ se află pe latura $AC$, cu $AE=\frac{1}{3}AC$.

a) (5 puncte) Scrie vectorul $\overrightarrow{AM}$ în funcție de vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$.

b) (5 puncte) Arată că $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

c) (5 puncte) Arată că $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ și deduce că dreptele $DE$ și $BC$ sunt paralele.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=16$, $AC=21$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$.

a) (5 puncte) Calculează lungimea laturii $BC$.

b) (5 puncte) Calculează raza $R$ a cercului circumscris triunghiului $ABC$.

c) (5 puncte) Calculează $\cos B$ și arată că triunghiul $ABC$ are toate unghiurile ascuțite.

Barem și răspunsuri

Mai jos, fiecare exercițiu e rezolvat pe pași, cu punctele pașilor între paranteze; dacă ai ajuns la rezultat pe alt drum, corect, iei aceleași puncte. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar „Verificare” nu are puncte. La sinteză, un rezultat corect lipsit de calcule și de explicații nu ia punctele subpunctului.

Exercițiul 1.

O propoziție cu „pentru orice” este falsă dacă are un singur contraexemplu, iar una cu „există” este adevărată dacă are un singur exemplu (2 p). Pentru orice număr real, $x^2\ge 0$, deci $x^2+1\ge 1>0$: propoziția $\mathbf{b})$ este adevărată (2 p). Celelalte sunt false: pentru $x\in \mathbb{N}$ avem $x^2\ge x$ (la $x=0$ egalitate, la $x\ge 1$ înmulțim $x\ge 1$ cu $x$), deci a) cade; $x=0$ este contraexemplu pentru c); un pătrat nu poate fi negativ, deci d) cade (1 p).

Exercițiul 2.

Inecuația $|2x-1|\le 5$ înseamnă $-5\le 2x-1\le 5$ (2 p), adică $-4\le 2x\le 6$ și $x\in [-2,3]$ (1 p). Numerele întregi din interval sunt $-2,-1,0,1,2,3$, deci $A$ are $6$ elemente (2 p). Verificare: la $x=3$, $|5|=5\le 5$, iar la $x=4$, $|7|=7>5$.

Exercițiul 3.

Termenul al patrulea este $b_4=b_1\cdot q^3$, deci $2q^3=54$ (1 p), $q^3=27$ și rația este $q=3$ (2 p). Suma este $S_4=2\cdot \frac{3^4-1}{3-1}=2\cdot \frac{80}{2}=80$ (2 p). Verificare: $2+6+18+54=80$.

Exercițiul 4.

Pe axa $Ox$ avem $f(x)=0$, adică $-2x+6=0$, $x=3$: punctul $(3,0)$ (1 p). Pe axa $Oy$ avem $x=0$ și $f(0)=6$: punctul $(0,6)$ (1 p). Inecuația $-2x+6\ge 0$ dă $-2x\ge -6$, iar la împărțirea cu $-2$ sensul se schimbă: $x\le 3$ (2 p), deci $x\in (-\infty ,3]$ (1 p). Verificare: funcția are panta $-2<0$, deci e descrescătoare; la stânga lui 3 ia valori pozitive, de exemplu $f(0)=6$.

Exercițiul 5.

Discriminantul este $49-20=29>0$, deci soluțiile sunt reale (1 p). Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=7$ și $x_1{x}_2=5$ (2 p). Atunci $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=49-10=39$ (2 p). Cine scrie $7^2=49$ uită să scadă dublul produsului.

Exercițiul 6.

În triunghiul dreptunghic, $\sin B=\frac{AC}{BC}$, deci $AC=10\cdot \frac{3}{5}=6$ (2 p). Din teorema lui Pitagora, $AB=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ (1 p). Atunci $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}$ și $\cos (180^{\circ }-B)=-\cos B=-\frac{4}{5}$ (2 p). Verificare: ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Abscisa vârfului este $x_V=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3$ (2 p), iar $f(3)=9-18+5=-4$, deci vârful este $\mathbf{V}(3,-4)$ (2 p). Coeficientul lui $x^2$ este $1>0$, deci parabola are ramurile în sus și valoarea minimă a funcției este $-4$ (1 p).

b) (5 p) Ecuația $x^2-6x+5=0$ are soluțiile $x_1=1$ și $x_2=5$ (2 p). Cum $a=1>0$, funcția ia valori negative sau nule între rădăcini (2 p), deci $x\in [1,5]$ (1 p). Verificare: $f(3)=-4\le 0$, iar $f(0)=5>0$, cu $0$ în afara intervalului.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Abscisele punctelor comune sunt soluțiile ecuației $f(x)=g(x)$, adică $x^2-2x-3=x+1$ (1 p), deci $x^2-3x-4=0$, cu soluțiile $x=-1$ și $x=4$ (2 p). Ordonatele sunt $g(-1)=0$ și $g(4)=5$, deci punctele sunt $(-1,0)$ și $(4,5)$ (2 p). Verificare: $f(4)=16-8-3=5$ și $f(-1)=1+2-3=0$.

b) (5 p) Ecuația $x^2-2x-3=2x+m$ devine $x^2-4x-3-m=0$ (1 p). Dreapta și parabola au un singur punct comun când discriminantul este zero: $16+4(3+m)=0$ (1 p), adică $28+4m=0$ și $m=-7$ (2 p). Atunci ecuația este $x^2-4x+4=0$, cu soluția dublă $x=2$, iar punctul comun este $(2,-3)$ (1 p). Verificare: $f(2)=4-4-3=-3$ și $2\cdot 2-7=-3$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Numerele de pagini formează o progresie aritmetică cu $a_1=12$ și rația $r=3$ (2 p). În a zecea zi, $a_{10}=12+9\cdot 3=39$ de pagini (3 p).

b) (5 p) În primele $n$ zile Ana citește $S_n=\frac{n\left(2\cdot 12+(n-1)\cdot 3\right)}{2}=\frac{n(3n+21)}{2}$ pagini (2 p). Din $\frac{n(3n+21)}{2}=255$ rezultă $n^2+7n-170=0$ (1 p), cu discriminantul $49+680=729=27^2$ și soluția naturală $n=\frac{-7+27}{2}=10$ zile (2 p). Verificare: $S_{10}=\frac{10(12+39)}{2}=255$.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Din regula paralelogramului, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$, fiindcă $M$ este mijlocul diagonalei $BC$ a paralelogramului construit pe $AB$ și $AC$ (3 p). Deci $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{AC}}$ (2 p).

b) (5 p) Centrul de greutate se află pe mediana $AM$, la două treimi de vârf: $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ (3 p). Atunci $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ (2 p).

c) (5 p) Avem $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ (1 p), deci $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ (2 p). Vectorii $\overrightarrow{DE}$ și $\overrightarrow{BC}$ sunt coliniari, iar $D$ nu se află pe dreapta $BC$, deci $DE\parallel BC$ (1 p), cu $DE=\frac{1}{3}\mathbf{BC}$ (1 p). Verificare: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$, exact condiția din reciproca teoremei lui Thales.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Teorema cosinusului: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }$ (2 p), adică $B{C}^2=256+441-2\cdot 16\cdot 21\cdot \frac{1}{2}=361$ (2 p), deci $BC=19$ (1 p).

b) (5 p) Teorema sinusurilor: $\frac{BC}{\sin A}=2R$ (2 p), deci $2R=\frac{19}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{38}{\sqrt{3}}$ (1 p) și $R=\frac{19}{\sqrt{3}}=\frac{19\sqrt{3}}{3}$ (2 p). Cine se oprește la $\frac{38}{\sqrt{3}}$ a calculat diametrul, nu raza.

c) (5 p) Din teorema cosinusului, $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{256+361-441}{608}=\frac{11}{38}$ (2 p). Cea mai lungă latură este $AC=21$, deci cel mai mare unghi este $B$, opus ei (1 p). Cum $\cos B>0$, unghiul $B$ este ascuțit; fiind cel mai mare unghi al triunghiului, toate cele trei unghiuri sunt ascuțite (2 p). Verificare: $\cos C=\frac{441+361-256}{2\cdot 21\cdot 19}=\frac{546}{798}=\frac{13}{19}>0$, iar $m(\angle A)=60^{\circ }$.

Pentru părinți și profesori

La începutul clasei a X-a, acest test arată ce își mai amintește elevul de la profilul pedagogic din materia clasei a IX-a: mulțimi și logică, progresii, funcția de gradul I și cea de gradul al II-lea, vectori și trigonometrie în triunghi. Nu se trece în catalog. Fiecare exercițiu arată ce conținut din programa clasei a IX-a mai e sigur și ce unitate din traseul clasei a IX-a merită reluată înainte de lecțiile noi.

• Punctaj: exercițiile adună 90 de puncte, la care mai vin 10 puncte din oficiu, pentru un maxim de 100.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se lucrează: singur, pe foaie, cu calculatorul închis. La sinteză (Partea a III-a) scrii și calculele intermediare, nu numai rezultatul final. Ghidajul tratează fiecare exercițiu în etape: întâi o întrebare cu patru răspunsuri despre metodă, apoi numere de calculat, iar răspunsul greșit își primește explicația. Îl deschizi numai la exercițiile care nu ies.
• La 90–100 de puncte: începi direct cu lecțiile clasei a X-a.
• La 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul pornit, exercițiile cu puncte pierdute, înainte de lecția lor.
• La 60–74 de puncte: pentru exercițiile cu mai puțin de jumătate din puncte reiei unitatea din tabel și refaci exercițiul după o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi unitățile din tabel în ordinea exercițiilor și lucrezi testul cu ghidajul pornit de la primul exercițiu; abia apoi treci la clasa a X-a.
• Formule de reținut: la o progresie aritmetică, $a_n=a_1+(n-1)r$ și $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$; la o progresie geometrică cu rația $q\ne 1$, $S_n=b_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$; pentru ecuația $x^2+bx+c=0$, relațiile lui Viète sunt $x_1+x_2=-b$ și $x_1{x}_2=c$; vârful parabolei $y=a{x}^2+bx+c$ are abscisa $-\frac{b}{2a}$; centrul de greutate $G$ al triunghiului $ABC$ verifică $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$; teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$; teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=2R$; $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$ și $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$.

Programa și examenul. Toate exercițiile sunt din programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014, Anexa 2) pentru clasa a IX-a; codul din tabel (P-IX-…) arată conținutul din programă pe care îl verifică exercițiul. Programa M_pedagogic este cea a probei de matematică de la Bacalaureat pentru profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, la promoțiile 2027, 2028 și 2029. Elevii care au început clasa a IX-a în 2026–2027 sau după aceea învață după programa nouă de trunchi comun (OMEC 6930/2025, Anexa 3) și dau Bacalaureatul din 2030 încolo, după alte reguli.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.