Test inițial pedagogic — clasa a XI-a

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Evaluare inițială

Exerciții

Partea I – Recapitulare scurtă (30 de puncte)

Exercițiile 1–6 valorează câte 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculează $8^{\frac{2}{3}} + 50 \cdot 2 - 3 - 27$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculează $lo g_{2} 48 - lo g_{2} 3 + l g 0, 01$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Determină cel mai mare număr natural $n$ pentru care $n < 35$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $x + 6 = x$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

O clasă are 10 elevi care se oferă să organizeze serbarea școlii. În câte moduri poate alege învățătoarea un grup de 3 dintre ei, dacă ordinea în care sunt aleși nu contează?

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculează probabilitatea ca numărul ales să fie multiplu de 14.

Partea a II-a – Probleme (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a II-a are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

a) (5 puncte) Un joc educativ costă 150 de lei. Prețul lui crește cu $20%$ , apoi noul preț scade cu $20%$ . Calculează prețul final și arată cu ce procent s-a modificat față de prețul inițial.

b) (5 puncte) Pentru excursia clasei, un părinte depune la bancă 2 500 de lei, cu o dobândă de $8%$ pe an, adăugată la sumă la sfârșitul fiecărui an. Ce sumă va avea în cont după 2 ani, dacă nu retrage nimic?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ .

a) (5 puncte) Calculează $f (- 1) + f (2)$ și precizează dacă funcția $f$ este crescătoare sau descrescătoare.

b) (5 puncte) Determină numărul real $x$ pentru care $f (x) = 8$ .

Exercițiul 9 (10 puncte)

Notele obținute de cei 20 de elevi ai unei clase la un test sunt trecute în tabelul de mai jos.

Nota	5	6	7	8	9	10
Numărul de elevi	2	3	5	6	3	1

a) (5 puncte) Câți elevi au obținut cel puțin nota 8 și ce procent din clasă reprezintă ei?

b) (5 puncte) Se alege la întâmplare un elev al clasei. Calculează probabilitatea ca el să fi obținut cel puțin nota 9.

Partea a III-a – Sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a III-a are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 2)$ , $B (5, 4)$ și $C (3, 8)$ .

a) (5 puncte) Arată că triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = B C$ .

b) (5 puncte) Scrie ecuația dreptei $A B$ și arată că dreptele $A B$ și $B C$ sunt perpendiculare.

c) (5 puncte) Determină coordonatele punctului $D$ pentru care $A B C D$ este paralelogram și calculează aria patrulaterului $A B C D$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Se consideră ecuația $4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0$ , unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arată că, notând $t = 2^{x}$ , ecuația devine $t^{2} - 9 t + 8 = 0$ , și rezolvă această ecuație.

b) (5 puncte) Determină soluțiile reale ale ecuației $4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0$ .

c) (5 puncte) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{2} x + lo g_{2} (x + 6) = 4$ .

Barem și răspunsuri

Mai jos, fiecare exercițiu e rezolvat pe pași, cu punctele pașilor între paranteze; dacă ai ajuns la rezultat pe alt drum, corect, iei aceleași puncte. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar „Verificare” nu are puncte. La sinteză, un rezultat corect lipsit de calcule și de explicații nu ia punctele subpunctului.

Exercițiul 1.

$8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 2^{2} = 4$ (2 p); $50 \cdot 2 = 100 = 10$ (1 p); $3 - 27 = - 3$ , deci se adună $3$ (1 p). Rezultatul este $4 + 10 + 3 = 17$ (1 p). Cine scrie $3 - 27$ ca număr pozitiv obține greșit $11$ .

Exercițiul 2.

$lo g_{2} 48 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{48}{3} = lo g_{2} 16 = 4$ (3 p), iar $l g 0, 01 = l g 1 0^{- 2} = - 2$ (1 p). Rezultatul este $4 - 2 = 2$ (1 p).

Exercițiul 3.

$35 = 9 \cdot 5 = 45$ (2 p). Cum $36 < 45 < 49$ , avem $6 < 45 < 7$ (2 p), deci cel mai mare număr natural mai mic decât $35$ este $n = 6$ (1 p). Verificare: $35 \approx 3 \cdot 2, 236 = 6, 708$ .

Exercițiul 4.

Radicalul de ordinul 2 este nenegativ, deci soluția trebuie să verifice $x \geq 0$ (1 p). Ridicând la pătrat, $x + 6 = x^{2}$ , adică $x^{2} - x - 6 = 0$ , cu soluțiile $x = 3$ și $x = - 2$ (2 p). Numai $x = 3$ verifică $x \geq 0$ , deci soluția este $x = 3$ (2 p). Verificare: $9 = 3$ ; pentru $x = - 2$ , $4 = 2 \neq = - 2$ .

Exercițiul 5.

Ordinea nu contează, deci se numără submulțimi de 3 elemente dintr-o mulțime cu 10 elemente: combinări (2 p). $C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3}$ (1 p) $= 120$ de moduri (2 p). Cine calculează $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ numără aranjamente, adică ține cont de ordine.

Exercițiul 6.

Numerele naturale de două cifre sunt $10, 11, \dots, 99$ , adică 90 de cazuri posibile (2 p). Multiplii de 14 dintre ele sunt $14, 28, 42, 56, 70, 84, 98$ , adică 7 cazuri favorabile (2 p). Probabilitatea este $\frac{7}{90}$ (1 p).

Exercițiul 7.

a) (5 p) După scumpire prețul este $150 \cdot 1, 2 = 180$ de lei (1 p), iar după ieftinire $180 \cdot 0, 8 = 144$ de lei (2 p). Față de prețul inițial, prețul a scăzut cu $6$ lei, iar $\frac{6}{150} = \frac{4}{100}$ , adică a scăzut cu $4%$ (2 p). Cine crede că prețul revine la 150 de lei uită că a doua modificare se calculează din prețul de 180 de lei.

b) (5 p) După primul an suma este $2500 \cdot 1, 08 = 2700$ de lei (2 p). După al doilea an dobânda se calculează din 2 700 de lei: $2700 \cdot 1, 08 = 2916$ de lei (3 p). Verificare: $2500 \cdot 1, 0 8^{2} = 2500 \cdot 1, 1664 = 2916$ .

Exercițiul 8.

a) (5 p) $f (- 1) = (\frac{1}{2})^{- 1} = 2$ și $f (2) = \frac{1}{4}$ (2 p), deci $f (- 1) + f (2) = \frac{9}{4}$ (1 p). Baza $\frac{1}{2}$ este în intervalul $(0, 1)$ , deci funcția este descrescătoare (2 p); se vede și din valori: $- 1 < 2$ , dar $f (- 1) > f (2)$ .

b) (5 p) $(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ și $8 = 2^{3}$ (2 p), deci $2^{- x} = 2^{3}$ și, fiindcă funcția exponențială este injectivă, $- x = 3$ (2 p), adică $x = - 3$ (1 p). Verificare: $(\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3} = 8$ .

Exercițiul 9.

a) (5 p) Cel puțin nota 8 au obținut $6 + 3 + 1 = 10$ elevi (2 p), adică $\frac{10}{20} = \frac{50}{100}$ din clasă (1 p), deci $50%$ (2 p).

b) (5 p) Cazurile posibile sunt cei 20 de elevi (1 p); cazurile favorabile sunt elevii cu nota 9 sau 10, adică $3 + 1 = 4$ (2 p). Probabilitatea este $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ (2 p).

Exercițiul 10.

a) (5 p) $A B = (5 - 1)^{2} + (4 - 2)^{2} = 20 = 25$ (2 p) și $B C = (3 - 5)^{2} + (8 - 4)^{2} = 20 = 25$ (2 p). Laturile $A B$ și $B C$ sunt egale, deci triunghiul $A B C$ este isoscel (1 p).

b) (5 p) Panta dreptei $A B$ este $m_{A B} = \frac{4 - 2}{5 - 1} = \frac{1}{2}$ , iar ecuația ei este $y - 2 = \frac{1}{2} (x - 1)$ , adică $x - 2y + 3 = 0$ (2 p). Panta dreptei $B C$ este $m_{B C} = \frac{8 - 4}{3 - 5} = - 2$ (1 p). Cum $m_{A B} \cdot m_{B C} = \frac{1}{2} \cdot (- 2) = - 1$ , dreptele $A B$ și $B C$ sunt perpendiculare (2 p).

c) (5 p) Într-un paralelogram $A B C D$ diagonalele $A C$ și $B D$ au același mijloc, deci $x_{D} = x_{A} + x_{C} - x_{B} = - 1$ și $y_{D} = y_{A} + y_{C} - y_{B} = 6$ : $D (- 1, 6)$ (2 p). Paralelogramul are un unghi drept în $B$ și laturile alăturate $A B = B C$ , deci este pătrat (1 p), cu aria $A B^{2} = 20$ (2 p). Verificare: $A D = (- 1 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 20$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ , deci ecuația devine $t^{2} - 9 t + 8 = 0$ (2 p). Discriminantul este $81 - 32 = 49$ , iar soluțiile sunt $t = 1$ și $t = 8$ (3 p).

b) (5 p) Din $2^{x} = 1 = 2^{0}$ rezultă $x = 0$ (2 p), iar din $2^{x} = 8 = 2^{3}$ rezultă $x = 3$ (2 p). Soluțiile sunt $x \in {0, 3}$ (1 p). Verificare: $1 - 9 + 8 = 0$ și $64 - 72 + 8 = 0$ .

c) (5 p) Ecuația are sens pentru $x > 0$ și $x + 6 > 0$ , adică pentru $x > 0$ (1 p). Atunci $lo g_{2} (x (x + 6)) = 4$ , deci $x (x + 6) = 2^{4} = 16$ (2 p), adică $x^{2} + 6 x - 16 = 0$ , cu soluțiile $2$ și $- 8$ ; numai $x = 2$ verifică $x > 0$ (2 p). Verificare: $lo g_{2} 2 + lo g_{2} 8 = 1 + 3 = 4$ .

Pentru părinți și profesori

La începutul clasei a XI-a, acest test arată ce își mai amintește elevul de la profilul pedagogic din materia clasei a X-a: puteri, radicali și logaritmi, funcții și ecuații, numărare, calcul financiar, date statistice și probabilități, geometrie analitică. Nu se trece în catalog. Fiecare exercițiu arată ce conținut din programa clasei a X-a mai e sigur și ce unitate din traseul clasei a X-a merită reluată; materia nouă a clasei a XI-a, structurile algebrice, se sprijină mai ales pe calculul cu numere reale și pe rezolvarea ecuațiilor.

Punctaj: exercițiile adună 90 de puncte, la care mai vin 10 puncte din oficiu, pentru un maxim de 100.
Timp: 50 de minute.
Cum se lucrează: singur, pe foaie, cu calculatorul închis. La sinteză (Partea a III-a) scrii și calculele intermediare, nu numai rezultatul final. Ghidajul tratează fiecare exercițiu în etape: întâi o întrebare cu patru răspunsuri despre metodă, apoi numere de calculat, iar răspunsul greșit își primește explicația. Îl deschizi numai la exercițiile care nu ies.
La 90–100 de puncte: începi direct cu lecțiile clasei a XI-a.
La 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul pornit, exercițiile cu puncte pierdute, înainte de lecția lor.
La 60–74 de puncte: pentru exercițiile cu mai puțin de jumătate din puncte reiei unitatea din tabel și refaci exercițiul după o săptămână.
Sub 60 de puncte: parcurgi unitățile din tabel în ordinea exercițiilor și lucrezi testul cu ghidajul pornit de la primul exercițiu; abia apoi treci la clasa a XI-a.
Formule de reținut: $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ pentru $a > 0$ ; $lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} \frac{x}{y}$ și $lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)$ , pentru $x, y > 0$ ; $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ ; probabilitatea unui eveniment este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile; o creștere cu $p %$ înseamnă înmulțirea cu $1 + \frac{p}{100}$ ; distanța dintre punctele $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ este $(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ ; panta dreptei $A B$ este $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , iar două drepte cu pantele $m_{1}$ și $m_{2}$ sunt perpendiculare dacă $m_{1} m_{2} = - 1$ .

Exercițiile	Ce verifică exercițiul	Programa M_pedagogic, clasa a X-a	Unitatea de reluat din traseul clasei a X-a
1	puteri cu exponent rațional și radicali	P-X-1.1a, P-X-1.2	Numere reale: puteri, radicali, logaritmi
2	calcule cu logaritmi	P-X-1.3	Numere reale: puteri, radicali, logaritmi
3	aproximarea unui număr irațional	P-X-1.1b	Numere reale: puteri, radicali, logaritmi
4	ecuație cu radical de ordinul 2	P-X-2.3	Funcții și ecuații
8	funcția exponențială: valori, monotonie, ecuație	P-X-2.2, P-X-2.5	Funcții și ecuații
11	ecuații exponențiale prin substituție și ecuații logaritmice	P-X-2.4	Funcții și ecuații
5	combinări	P-X-3.1	Matematici financiare, numărare, statistică și probabilități
7	procente și dobânzi	P-X-3.2	Matematici financiare, numărare, statistică și probabilități
9 a)	prelucrarea datelor statistice dintr-un tabel	P-X-3.3	Matematici financiare, numărare, statistică și probabilități
6, 9 b)	probabilitatea unui eveniment	P-X-3.4	Matematici financiare, numărare, statistică și probabilități
10	distanța dintre două puncte, panta, perpendicularitatea, aria	P-X-4.1, P-X-4.2, P-X-4.3	Geometrie analitică

Programa și examenul. Toate exercițiile sunt din programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014, Anexa 2) pentru clasa a X-a; codul din tabel (P-X-…) arată conținutul din programă pe care îl verifică exercițiul. Programa M_pedagogic este cea a probei de matematică de la Bacalaureat pentru profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, la promoțiile 2027, 2028 și 2029. Elevii care au început clasa a IX-a în 2026–2027 sau după aceea învață după programa nouă de trunchi comun (OMEC 6930/2025, Anexa 3) și dau Bacalaureatul din 2030 încolo, după alte reguli.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.