Test inițial pedagogic — clasa a XII-a

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Evaluare inițială

Exerciții

Partea I – Recapitulare scurtă (30 de puncte)

Exercițiile 1–6 valorează câte 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

În ${\mathbb{Z}}_8$, calculează $\hat{5}+\hat{6}$ și $\hat{5}\cdot \hat{6}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y+4$. Calculează $(1\ast 2)\ast 3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x+y-5$. Determină elementul neutru al legii „$\circ$”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Care dintre structurile de mai jos este corp?

Variantele: a) $(\mathbb{Z},+,\cdot )$; b) $({\mathbb{Z}}_4,+,\cdot )$; c) $(\mathbb{Q},+,\cdot )$; d) $(\mathbb{N},+,\cdot )$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determină inversul elementului $\hat{3}$ în inelul $({\mathbb{Z}}_7,+,\cdot )$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Care dintre structurile de mai jos este monoid, dar nu este grup?

Variantele: a) $(\mathbb{Z},+)$; b) $(\mathbb{N},+)$; c) $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$; d) $(\mathbb{R},+)$.

Partea a II-a – Probleme (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a II-a are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-43x-43y+1892$.

a) (5 puncte) Arată că $x\ast y=(x-43)(y-43)+43$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $x\ast x=52$.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x+y+7xy$.

a) (5 puncte) Arată că legea „$\circ$” este comutativă și că $e=0$ este elementul ei neutru.

b) (5 puncte) Determină simetricul numărului $3$ față de legea „$\circ$”.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Se lucrează în ${\mathbb{Z}}_5$.

a) (5 puncte) Rezolvă ecuația $\hat{3}x+\hat{4}=\hat{2}$.

b) (5 puncte) Arată că ecuația $x^2=\hat{2}$ nu are soluții în ${\mathbb{Z}}_5$.

Partea a III-a – Sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a III-a are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) Pe mulțimea $G=(48,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-48x-48y+2352$.

a) (5 puncte) Arată că $x\ast y=(x-48)(y-48)+48$ și deduce că $x\ast y\in G$ pentru orice $x,y\in G$.

b) (5 puncte) Arată că legea „$\ast$” este asociativă.

c) (5 puncte) Determină elementul neutru și simetricul lui $50$, apoi arată că $(G,\ast )$ este grup comutativ.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Se consideră inelele $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$ și $({\mathbb{Z}}_5,+,\cdot )$.

a) (5 puncte) În ${\mathbb{Z}}_6$, calculează $\hat{2}\cdot \hat{3}$, $\hat{3}\cdot \hat{4}$ și $\hat{5}\cdot \hat{5}$.

b) (5 puncte) Determină elementele inversabile ale inelului $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$ față de înmulțire.

c) (5 puncte) Arată că $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$ nu este corp, iar $({\mathbb{Z}}_5,+,\cdot )$ este corp.

Barem și răspunsuri

Mai jos, fiecare exercițiu e rezolvat pe pași, cu punctele pașilor între paranteze; dacă ai ajuns la rezultat pe alt drum, corect, iei aceleași puncte. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar „Verificare” nu are puncte. La sinteză, un rezultat corect lipsit de calcule și de explicații nu ia punctele subpunctului.

Exercițiul 1.

În ${\mathbb{Z}}_8$ se păstrează restul împărțirii la 8 (1 p). $5+6=11=8+3$, deci $\hat{5}+\hat{6}=\hat{3}$ (2 p). $5\cdot 6=30=3\cdot 8+6$, deci $\hat{5}\cdot \hat{6}=\hat{6}$ (2 p).

Exercițiul 2.

$1\ast 2=1+2+4=7$ (2 p), iar $(1\ast 2)\ast 3=7\ast 3=7+3+4=14$ (3 p).

Exercițiul 3.

Elementul neutru verifică $x\circ e=x$ pentru orice $x$ real: $x+e-5=x$ (2 p), deci $e=5$ (2 p). Legea este comutativă, deci și $e\circ x=x$ (1 p). Verificare: $7\circ 5=7+5-5=7$.

Exercițiul 4.

Un corp este un inel în care orice element nenul are invers față de înmulțire (2 p). În $\mathbb{Q}$, orice număr nenul $\frac{a}{b}$ are inversul $\frac{b}{a}$, deci $(\mathbb{Q},+,\cdot )$ este corp: varianta $\mathbf{c})$ (2 p). Celelalte nu sunt: în $\mathbb{Z}$, $2$ nu are invers întreg; în ${\mathbb{Z}}_4$, $\hat{2}\cdot \hat{x}$ este doar $\hat{0}$ sau $\hat{2}$, deci $\hat{2}$ nu are invers; $(\mathbb{N},+)$ nu este nici măcar grup, $1$ neavând opus în $\mathbb{N}$ (1 p).

Exercițiul 5.

Căutăm $\hat{x}$ cu $\hat{3}\cdot \hat{x}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_7$ (2 p). Încercând, $3\cdot 5=15=2\cdot 7+1$ (2 p), deci inversul este $\hat{5}$ (1 p).

Exercițiul 6.

Un monoid are lege asociativă și element neutru; un grup cere, în plus, simetric pentru fiecare element (2 p). $(\mathbb{N},+)$ este monoid, cu elementul neutru $0$, dar $1$ nu are simetric în $\mathbb{N}$ (ar trebui $-1$), deci nu este grup: varianta $\mathbf{b})$ (2 p). Celelalte trei sunt grupuri (1 p).

Exercițiul 7.

a) (5 p) $(x-43)(y-43)+43=xy-43x-43y+1849+43$ (3 p) $=xy-43x-43y+1892=x\ast y$ (2 p).

b) (5 p) $x\ast x=(x-43{)}^2+43$, deci ecuația devine $(x-43{)}^2+43=52$, adică $(x-43{)}^2=9$ (2 p). Atunci $x-43=3$ sau $x-43=-3$ (1 p), deci $x\in \{40,46\}$ (2 p). Verificare: $46\ast 46=2116-3956+1892=52$ și $40\ast 40=1600-3440+1892=52$.

Exercițiul 8.

a) (5 p) $x\circ y=x+y+7xy=y+x+7yx=y\circ x$, deoarece adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative (2 p). $x\circ 0=x+0+7x\cdot 0=x$ pentru orice $x$ real, iar prin comutativitate și $0\circ x=x$, deci $e=0$ este elementul neutru (3 p).

b) (5 p) Căutăm $x^{\prime }$ cu $3\circ x^{\prime }=0$: $3+x^{\prime }+21x^{\prime }=0$ (2 p), adică $22x^{\prime }=-3$ și $x^{\prime }=-\frac{3}{22}$ (3 p). Verificare: $3+\left(-\frac{3}{22}\right)+21\cdot \left(-\frac{3}{22}\right)=3-\frac{3}{22}-\frac{63}{22}=0$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Adunăm opusul lui $\hat{4}$, care este $\hat{1}$: $\hat{3}x=\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}$ (2 p). Inversul lui $\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_5$ este $\hat{2}$, fiindcă $3\cdot 2=6=5+1$, deci $x=\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{1}$ (3 p). Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{1}+\hat{4}=\hat{7}=\hat{2}$.

b) (5 p) Calculăm pătratele tuturor elementelor: ${\hat{0}}^2=\hat{0}$, ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{4}$, ${\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{1}$ (3 p). Pătratele sunt doar $\hat{0}$, $\hat{1}$ și $\hat{4}$, deci niciun element nu are pătratul $\hat{2}$: ecuația nu are soluții (2 p).

Exercițiul 10.

a) (5 p) $(x-48)(y-48)+48=xy-48x-48y+2304+48=xy-48x-48y+2352=x\ast y$ (2 p). Pentru $x,y>48$, factorii $x-48$ și $y-48$ sunt pozitivi, deci $(x-48)(y-48)>0$ (2 p) și $x\ast y>48$, adică $x\ast y\in G$ (1 p).

b) (5 p) $(x\ast y)\ast z=\left((x-48)(y-48)+48-48\right)(z-48)+48=(x-48)(y-48)(z-48)+48$ (2 p). La fel, $x\ast (y\ast z)=(x-48)\left((y-48)(z-48)+48-48\right)+48=(x-48)(y-48)(z-48)+48$ (2 p). Cele două expresii sunt egale pentru orice $x,y,z\in G$, deci legea este asociativă (1 p).

c) (5 p) Din $x\ast e=(x-48)(e-48)+48=x$ pentru orice $x\in G$ rezultă $e-48=1$, deci $e=49\in G$ (1 p). Simetricul lui $50$: $(50-48)(x^{\prime }-48)+48=49$, deci $x^{\prime }-48=\frac{1}{2}$ și $x^{\prime }=\frac{97}{2}\in G$ (1 p). În general, $(x-48)(x^{\prime }-48)=1$ dă $x^{\prime }=48+\frac{1}{x-48}$, care este mai mare decât $48$ pentru $x>48$, deci orice element are simetric în $G$ (1 p). Legea este comutativă, fiindcă $(x-48)(y-48)=(y-48)(x-48)$ (1 p). Cu a) și b), $(G,\ast )$ este grup comutativ (1 p).

Exercițiul 11.

a) (5 p) $2\cdot 3=6$, deci $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$ (2 p); $3\cdot 4=12$, deci $\hat{3}\cdot \hat{4}=\hat{0}$ (1 p); $5\cdot 5=25=4\cdot 6+1$, deci $\hat{5}\cdot \hat{5}=\hat{1}$ (2 p).

b) (5 p) $\hat{1}$ este inversabil ($\hat{1}\cdot \hat{1}=\hat{1}$), iar $\hat{5}$ este inversabil, fiind propriul invers (de la a)) (2 p). $\hat{2}$, $\hat{3}$ și $\hat{4}$ nu sunt: înmulțite cu orice element dau numai resturi pare, respectiv numai $\hat{0}$ și $\hat{3}$, niciodată $\hat{1}$; $\hat{0}$ nu are invers (2 p). Elementele inversabile sunt $\hat{1}$ și $\hat{5}$ (1 p).

c) (5 p) $\hat{2}\ne \hat{0}$ nu este inversabil în ${\mathbb{Z}}_6$ (de la b)), deci $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$ nu este corp (2 p). În ${\mathbb{Z}}_5$ toate elementele nenule sunt inversabile: $\hat{1}\cdot \hat{1}=\hat{1}$, $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{1}$, $\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}=\hat{1}$ (2 p), deci $({\mathbb{Z}}_5,+,\cdot )$ este corp (1 p).

Pentru părinți și profesori

La începutul clasei a XII-a, acest test arată ce își mai amintește elevul de la profilul pedagogic din materia clasei a XI-a, structurile algebrice: legi de compoziție și proprietățile lor, monoid, grup, inel, corp, cu exemplele din programă — mulțimile $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, ${\mathbb{Z}}_n$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$. Este și materia Subiectului al II-lea de la Bacalaureatul M_pedagogic. Nu se trece în catalog. Fiecare exercițiu arată ce conținut mai e sigur și ce merită reluat înainte de matricele și sistemele clasei a XII-a.

• Punctaj: exercițiile adună 90 de puncte, la care mai vin 10 puncte din oficiu, pentru un maxim de 100.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se lucrează: singur, pe foaie, cu calculatorul închis. În ${\mathbb{Z}}_n$, clasa de resturi a lui $a$ se scrie $\hat{a}$; în ghidaj scrii doar numărul (de exemplu 3 pentru $\hat{3}$). La sinteză (Partea a III-a) scrii și calculele intermediare, nu numai rezultatul final. Ghidajul tratează fiecare exercițiu în etape: întâi o întrebare cu patru răspunsuri despre metodă, apoi numere de calculat, iar răspunsul greșit își primește explicația. Îl deschizi numai la exercițiile care nu ies.
• La 90–100 de puncte: începi direct cu lecțiile clasei a XII-a.
• La 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul pornit, exercițiile cu puncte pierdute, înainte de lecția lor.
• La 60–74 de puncte: pentru exercițiile cu mai puțin de jumătate din puncte reiei lecțiile de structuri algebrice ale clasei a XI-a și refaci exercițiul după o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi unitatea de structuri algebrice a clasei a XI-a și lucrezi testul cu ghidajul pornit de la primul exercițiu; abia apoi treci la clasa a XII-a.
• Formule de reținut: elementul neutru $e$ al legii „$\ast$” verifică $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$; simetricul $x^{\prime }$ al lui $x$ verifică $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$; un monoid are lege asociativă și element neutru, iar un grup este un monoid în care orice element are simetric; un corp este un inel în care orice element nenul este inversabil față de înmulțire; în ${\mathbb{Z}}_n$, $\hat{a}+\hat{b}$ și $\hat{a}\cdot \hat{b}$ sunt resturile împărțirii lui $a+b$, respectiv $ab$, la $n$; dacă $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, legea este comutativă și asociativă, cu elementul neutru $a+1$.

Toate exercițiile țin de unitatea „Structuri algebrice: legi de compoziție, monoid, grup, inel, corp” din traseul clasei a XI-a.

Programa și examenul. Toate exercițiile sunt din programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014, Anexa 2) pentru clasa a XI-a; codul din tabel (P-XI-…) arată conținutul din programă pe care îl verifică exercițiul. Grafurile, predate la școală în clasa a XI-a, nu sunt în programa de examen și nu apar în test. Programa M_pedagogic este cea a probei de matematică de la Bacalaureat pentru profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, la promoțiile 2027, 2028 și 2029. Elevii care au început clasa a IX-a în 2026–2027 sau după aceea învață după programa nouă de trunchi comun (OMEC 6930/2025, Anexa 3) și dau Bacalaureatul din 2030 încolo, după alte reguli.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.