Test pedagogic: legea în formă factorizată

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Structuri algebrice: legi de compoziție, monoid, grup, inel, corp

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Pe $R$ se consideră legea de compoziție $x \circ y = x y - 36 x - 36 y + 1332$ . Care dintre expresiile de mai jos este egală cu $x \circ y$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ ?

Variantele: a) „ $(x + 36) (y + 36) - 36$ ”; b) „ $(x - 36) (y - 36) + 36$ ”; c) „ $(x - 36) (y - 36) + 1332$ ”; d) „ $(x - 36) (y - 36) - 36$ ”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M_pedagogic.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = x y + 13 x + 13 y + 156$ . Calculați $(- 20) * (- 19) * (- 18) * \dots * (- 1)$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M_pedagogic.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 3 x y - 30 x - 30 y + 310$ . Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = 37$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Pe $R$ se definește legea $x * y = \frac{x y}{2} + x + y$ . Scrie legea sub forma $\frac{1}{2} (x + 2) (y + 2) - 2$ și determină numărul real $x$ pentru care $x * 4 = 10$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Pe $R$ se definește legea $x \circ y = - x y + 6 x + 6 y - 30$ , care se scrie $x \circ y = - (x - 6) (y - 6) + 6$ . Rezolvă inecuația $x \circ x \geq 2$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M_pedagogic.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 2 x y - 32 x - 32 y + 528$ . Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x} \circ 2^{x} = 528$ .

Partea a II-a – O situație și două aplicații (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Doi colegi caută greșelile de tipar dintr-o broșură a clasei: primul găsește $x %$ dintre ele, apoi al doilea găsește $y %$ dintre cele rămase, cu $x, y \in [0; 100]$ . Împreună găsesc $x \circ y = x + y - \frac{x y}{100}$ procente din greșeli.

a) (5 puncte) Calculează $15 \circ 40$ și arată că $x \circ y = 100 - \frac{( 100 - x ) ( 100 - y )}{100}$ , pentru orice $x$ și $y$ .

b) (5 puncte) Ce procent $y$ trebuie să găsească al doilea, după ce primul a găsit $25%$ , ca împreună să găsească $40%$ din greșeli? Arată că $100 \circ y = 100$ pentru orice $y$ și explică ce înseamnă.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Pe $R$ se definește legea $x \circ y = x y - 22 x - 22 y + 506$ .

a) (5 puncte) Determină perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $m \circ n = 25$ .

b) (5 puncte) Arată că, dacă $m$ și $n$ sunt numere naturale impare, atunci $m \circ n$ este un număr impar.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Pe $R$ se definește legea $x * y = \frac{1}{3} x y - 2 x - 2 y + 18$ , care se scrie $x * y = \frac{1}{3} (x - 6) (y - 6) + 6$ .

a) (5 puncte) Arată că $e = 9$ este elementul neutru al legii și determină simetricul lui 7.

b) (5 puncte) Rezolvă în $(0; + \infty)$ ecuația $(lo g_{2} x) * (lo g_{2} x) = 9$ .

Partea a III-a – Probleme de tip examen și o sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M_pedagogic.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = 2 x y + 8 x + 8 y + 28$ .

a) (5 puncte) Demonstrați că $x \circ y = 2 (x + 4) (y + 4) - 4$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

b) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $x \circ (x + 1) \leq - 4$ .

c) (5 puncte) Calculați $(- 10) \circ (- 9) \circ (- 8) \circ \dots \circ (- 1)$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Pe $R$ se consideră legea asociativă și comutativă $x * y = \frac{1}{4} x y - 2 x - 2 y + 24$ , care se scrie $x * y = \frac{1}{4} (x - 8) (y - 8) + 8$ .

a) (5 puncte) Arată că $e = 12$ este elementul neutru al legii și că 8 nu are simetric.

b) (5 puncte) Arată că $x * x * x = \frac{( x - 8 ) ^{3}}{16} + 8$ și rezolvă ecuația $x * x * x = 4$ .

c) (5 puncte) Determină perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $m * n = 9$ .

Barem și răspunsuri

Punctele fiecărui pas sunt trecute între paranteze, iar o rezolvare corectă pe alt drum primește aceleași puncte. La Partea a III-a, fără calcul și fără justificare subpunctul nu ia punctele, chiar dacă rezultatul este corect. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar propoziția „Verificare” nu poartă puncte.

Exercițiul 1.

Desfaci parantezele fiecărei variante: a) dă $x y + 36 x + 36 y + 1260$ , cu semne greșite la $x$ și $y$ ; c) dă $x y - 36 x - 36 y + 2628$ , iar d) dă $x y - 36 x - 36 y + 1260$ , cu termenul liber greșit (3 p). La b), $(x - 36) (y - 36) + 36 = x y - 36 x - 36 y + 1296 + 36 = x y - 36 x - 36 y + 1332$ : răspunsul este $b)$ (2 p). Verificare: pentru $x = 1$ și $y = 2$ , $2 - 36 - 72 + 1332 = 1226$ și $(- 35) \cdot (- 34) + 36 = 1226$ . Cine adună 1332 la produs, ca la c), numără de două ori pe 1296.

Exercițiul 2.

$x * y = (x + 13) (y + 13) - 13$ , fiindcă $169 - 13 = 156$ ; de aici $(- 13) * x = x * (- 13) = 0 \cdot (x + 13) - 13 = - 13$ , pentru orice $x$ (2 p). Lanțul conține pe $- 13$ , iar legea este asociativă, deci grupezi tot ce este înainte de $- 13$ și tot ce este după: $(\dots) * (- 13) * (\dots) = - 13$ ; rezultatul este $- 13$ (3 p). Verificare: $(- 20) * (- 13) = (- 7) \cdot 0 - 13 = - 13$ , iar $(- 13) * (- 1) = 0 \cdot 12 - 13 = - 13$ . Cine caută un tipar în primii termeni, fără să observe pe $- 13$ , face 19 compuneri inutile.

Exercițiul 3.

$x \circ y = 3 (x - 10) (y - 10) + 10$ , fiindcă $3 \cdot 100 + 10 = 310$ , deci $x \circ x = 3 (x - 10)^{2} + 10$ (2 p). Ecuația devine $3 (x - 10)^{2} = 27$ , adică $(x - 10)^{2} = 9$ , deci $x - 10 = \pm 3$ și $x \in {7; 13}$ (3 p). Verificare: $7 \circ 7 = 147 - 210 - 210 + 310 = 37$ și $13 \circ 13 = 507 - 390 - 390 + 310 = 37$ . Cine păstrează doar $x - 10 = 3$ pierde soluția $x = 7$ .

Exercițiul 4.

$\frac{1}{2} (x + 2) (y + 2) - 2 = \frac{1}{2} (x y + 2 x + 2 y + 4) - 2 = \frac{x y}{2} + x + y$ (2 p). Atunci $x * 4 = \frac{1}{2} (x + 2) \cdot 6 - 2 = 3 x + 4$ , iar $3 x + 4 = 10$ dă $x = 2$ (3 p). Verificare: $2 * 4 = 4 + 2 + 4 = 10$ . Cine uită pe $- 2$ de la sfârșit scrie $3 x + 6 = 10$ și obține $x = \frac{4}{3}$ .

Exercițiul 5.

$x \circ x = - (x - 6)^{2} + 6$ , iar inecuația devine $- (x - 6)^{2} + 6 \geq 2$ , adică $(x - 6)^{2} \leq 4$ (2 p). Deci $- 2 \leq x - 6 \leq 2$ și $x \in [4; 8]$ (3 p). Verificare: $4 \circ 4 = - 16 + 24 + 24 - 30 = 2$ , iar pentru $x = 9$ , $x \circ x = - (3)^{2} + 6 = - 3 < 2$ . Cine nu schimbă sensul inegalității la înmulțirea cu $- 1$ obține $(x - 6)^{2} \geq 4$ , adică exact numerele care nu sunt soluții (plus capetele).

Exercițiul 6.

$x \circ y = 2 (x - 16) (y - 16) + 16$ , fiindcă $2 \cdot 256 + 16 = 528$ ; ecuația devine $2 (2^{x} - 16)^{2} + 16 = 528$ , adică $(2^{x} - 16)^{2} = 256$ (2 p). Atunci $2^{x} - 16 = 16$ , deci $2^{x} = 32$ și $x = 5$ ; varianta $2^{x} - 16 = - 16$ ar cere $2^{x} = 0$ , imposibil (3 p). Verificare: $32 \circ 32 = 2 \cdot 16 \cdot 16 + 16 = 528$ . Cine nu verifică semnul lui $2^{x}$ caută o a doua soluție care nu există.

Exercițiul 7.

a) (5 p) $15 \circ 40 = 55 - \frac{600}{100} = 49$ , adică împreună găsesc $49%$ din greșeli (2 p). $\frac{( 100 - x ) ( 100 - y )}{100} = \frac{10000 - 100 x - 100 y + x y}{100} = 100 - x - y + \frac{x y}{100}$ , deci $100 - \frac{( 100 - x ) ( 100 - y )}{100} = x + y - \frac{x y}{100} = x \circ y$ (3 p).

b) (5 p) $25 \circ y = 100 - \frac{75 ( 100 - y )}{100} = 40$ dă $100 - y = 80$ , deci $y = 20$ (3 p). $100 \circ y = 100 - \frac{0 \cdot ( 100 - y )}{100} = 100$ : dacă primul găsește toate greșelile, nu mai rămâne nimic de găsit, iar împreună găsesc $100%$ , oricât ar găsi al doilea (2 p).

Verificare: a) dintr-o broșură cu 100 de greșeli, primul găsește 15 și rămân 85; al doilea găsește $40%$ din 85, adică 34; împreună găsesc $15 + 34 = 49$ , adică $49%$ . b) după ce primul găsește 25, rămân 75; $20%$ din 75 înseamnă 15, iar $25 + 15 = 40$ . Cine adună procentele, $15 + 40 = 55$ , nu ține seama că al doilea caută doar printre greșelile rămase.

Exercițiul 8.

a) (5 p) $x \circ y = (x - 22) (y - 22) + 22$ , fiindcă $484 + 22 = 506$ , deci $m \circ n = 25$ înseamnă $(m - 22) (n - 22) = 3$ (2 p). Factorii sunt întregi: $(1, 3)$ , $(3, 1)$ , $(- 1, - 3)$ sau $(- 3, - 1)$ , de unde $(m, n) \in {(23, 25); (25, 23); (21, 19); (19, 21)}$ , toate naturale (3 p).

b) (5 p) Dacă $m$ și $n$ sunt impare, $m - 22$ și $n - 22$ sunt impare, fiindcă scăzând un număr par paritatea nu se schimbă (2 p). Produsul a două numere impare este impar (2 p), iar un număr impar plus 22 este impar, deci $m \circ n$ este impar (1 p).

Verificare: a) $21 \circ 19 = 399 - 462 - 418 + 506 = 25$ și $23 \circ 25 = 575 - 506 - 550 + 506 = 25$ . b) $3 \circ 5 = (- 19) \cdot (- 17) + 22 = 345$ , impar, iar $1 \circ 41 = (- 21) \cdot 19 + 22 = - 377$ , tot impar, dar negativ: de aceea enunțul spune „număr impar”, nu „număr natural impar”. Cine ia doar divizorii pozitivi ai lui 3 pierde perechile $(21, 19)$ și $(19, 21)$ .

Exercițiul 9.

a) (5 p) $x * 9 = \frac{1}{3} (x - 6) \cdot 3 + 6 = x$ și, legea fiind comutativă, $9 * x = x$ : $e = 9$ (2 p). Simetricul lui 7 verifică $7 * x^{'} = 9$ , adică $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (x^{'} - 6) + 6 = 9$ , deci $x^{'} - 6 = 9$ și $x^{'} = 15$ (3 p).

b) (5 p) Cu $t = lo g_{2} x$ , ecuația devine $\frac{1}{3} (t - 6)^{2} + 6 = 9$ , adică $(t - 6)^{2} = 9$ , deci $t \in {3; 9}$ (3 p). Atunci $x = 2^{3} = 8$ sau $x = 2^{9} = 512$ , deci $x \in {8; 512}$ (2 p).

Verificare: a) $7 * 15 = 35 - 14 - 30 + 18 = 9$ . b) $lo g_{2} 8 = 3$ și $3 * 3 = 3 - 6 - 6 + 18 = 9$ ; $lo g_{2} 512 = 9$ și $9 * 9 = 27 - 18 - 18 + 18 = 9$ . Cine se oprește la $t \in {3; 9}$ dă valorile lui $lo g_{2} x$ , nu pe ale lui $x$ .

Exercițiul 10.

a) (5 p) $2 (x + 4) (y + 4) - 4 = 2 (x y + 4 x + 4 y + 16) - 4 = 2 x y + 8 x + 8 y + 32 - 4$ (3 p), adică $2 x y + 8 x + 8 y + 28 = x \circ y$ , pentru orice $x$ și $y$ (2 p).

b) (5 p) $x \circ (x + 1) = 2 (x + 4) (x + 5) - 4$ , deci inecuația devine $(x + 4) (x + 5) \leq 0$ (2 p). Trinomul are rădăcinile $- 5$ și $- 4$ și ramurile în sus, deci $x \in [- 5; - 4]$ (3 p).

c) (5 p) $x \circ (- 4) = 2 (x + 4) \cdot 0 - 4 = - 4$ și $(- 4) \circ x = - 4$ , pentru orice $x$ (2 p). Lanțul conține pe $- 4$ , iar legea este asociativă, deci rezultatul este $- 4$ (3 p).

Verificare: a) pentru $x = 0$ și $y = 1$ : $0 + 0 + 8 + 28 = 36$ și $2 \cdot 4 \cdot 5 - 4 = 36$ . b) pentru $x = - 4, 5$ , $(x + 4) (x + 5) = - 0, 25 < 0$ , iar pentru $x = 0$ , $(0 + 4) (0 + 5) = 20 > 0$ . c) $(- 10) \circ (- 9) = 2 \cdot (- 6) \cdot (- 5) - 4 = 56$ , dar oricât de mari sunt rezultatele parțiale, compunerea cu $- 4$ dă $- 4$ . Cine scrie inecuația $(x + 4) (x + 5) \leq - 4$ uită că $- 4$ se reduce din ambii membri.

Exercițiul 11.

a) (5 p) $x * 12 = \frac{1}{4} (x - 8) \cdot 4 + 8 = x$ și, legea fiind comutativă, $12 * x = x$ : $e = 12$ (3 p). $8 * x = \frac{1}{4} \cdot 0 \cdot (x - 8) + 8 = 8 \neq = 12$ pentru orice $x$ , deci 8 nu are simetric (2 p).

b) (5 p) $x * x = \frac{1}{4} (x - 8)^{2} + 8$ , iar $(x * x) * x = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} (x - 8)^{2} \cdot (x - 8) + 8 = \frac{( x - 8 ) ^{3}}{16} + 8$ (2 p). Ecuația devine $(x - 8)^{3} = - 64$ , deci $x - 8 = - 4$ și $x = 4$ (3 p).

c) (5 p) $m * n = 9$ înseamnă $(m - 8) (n - 8) = 4$ (2 p). Perechile de factori întregi sunt $(1, 4)$ , $(2, 2)$ , $(4, 1)$ , $(- 1, - 4)$ , $(- 2, - 2)$ , $(- 4, - 1)$ , deci $(m, n) \in {(9, 12); (10, 10); (12, 9); (7, 4); (6, 6); (4, 7)}$ , toate naturale (3 p).

Verificare: a) $5 * 12 = 15 - 10 - 24 + 24 = 5$ . b) $4 * 4 = 4 - 8 - 8 + 24 = 12$ , iar $12 * 4 = 12 - 24 - 8 + 24 = 4$ . c) $7 * 4 = 7 - 14 - 8 + 24 = 9$ și $6 * 6 = 9 - 12 - 12 + 24 = 9$ . Cine ia doar factorii pozitivi pierde perechile $(7, 4)$ , $(6, 6)$ și $(4, 7)$ .

Pentru părinți și profesori

Testul exersează forma factorizată a legii de compoziție, $x \circ y = k (x - a) (y - a) + a$ (28 dintre cele 34 de probe oficiale din 2013–2026 care cer la Subiectul al II-lea o formă factorizată o au pe aceasta), și cerințele care se rezolvă cu ea: demonstrarea formei, ecuațiile și inecuațiile cu $x \circ x$ , ecuațiile cu puteri și logaritmi, calculul unui lanț lung de compuneri și perechile de numere naturale. Elevul trebuie să știe deja ce sunt legea de compoziție, elementul neutru și simetricul.

Punctaj: din exerciții iei cel mult 90 de puncte; la ele se adaugă 10 puncte din oficiu, deci lucrarea are maximum 100 de puncte.
Timp de lucru: 50 de minute.
Cum se lucrează: pe foaie, fără calculator, fiecare exercițiu cu calculele lui; la Partea a III-a nu ajunge rezultatul, trebuie arătat și drumul până la el. Ghidajul desparte exercițiul în pași mici: întâi o întrebare cu patru răspunsuri, apoi un număr de aflat, iar o variantă greșită vine cu explicația ei. Îl pornești numai când exercițiul nu iese singur.
90–100 de puncte: forma factorizată este stăpânită; treci la clasele de resturi și la structurile algebrice.
75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul, doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
60–74 de puncte: pentru fiecare exercițiu cu mai puțin de jumătate din puncte citești lecția din tabel, apoi lucrezi din nou testul peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: parcurgi lecțiile din tabel, una după alta, apoi lucrezi testul de la început, cu ghidajul alături.
Formule de reținut: $k (x - a) (y - a) + a = k x y - k a x - k a y + k a^{2} + a$ , deci se recunoaște forma după coeficientul lui $x y$ și după $- k a$ la $x$ și la $y$ ; cu această formă, $x \circ x = k (x - a)^{2} + a$ , $x \circ x \circ x = k^{2} (x - a)^{3} + a$ , iar $a \circ x = x \circ a = a$ pentru orice $x$ , deci un lanț asociativ care îl conține pe $a$ dă $a$ ; elementul neutru este $e = a + \frac{1}{k}$ ; o egalitate $(m - a) (n - a) = c$ , cu $m$ și $n$ întregi, se rezolvă prin perechile de divizori ai lui $c$ , cu tot cu cele negative.

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 7, 8, 10, 11	recunoașterea și demonstrarea formei factorizate	Lege de compoziție la tehnologic: tabla
2, 10	lanțul de compuneri care conține elementul care „înghite”	Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule
3, 4, 5, 6, 9, 10, 11	ecuații și inecuații cu legea, cu puteri și logaritmi	Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule (și Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru) (substituția $t = 2^{x}$ sau $t = lo g_{2} x$ , din clasa a X-a: Ecuații exponențiale rezolvate prin substituție; Ecuații logaritmice)
9, 11	elementul neutru și simetricul în forma factorizată	Elemente simetrizabile și simetricul unui element

Toate exercițiile urmează formele cerințelor de la Subiectul al II-lea, dar cu legi și numere care nu apar în probele oficiale 2013–2026; cele mai apropiate de enunțul oficial poartă marcajul „tip Bacalaureat M_pedagogic”.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M_pedagogic din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006), la „Legi de compoziție, proprietăți”. În cele 60 de probe oficiale din 2013–2026, Subiectul al II-lea a cerut demonstrarea unei forme factorizate a legii în 34 de probe, iar un lanț lung de compuneri, scris cu „…”, în 11 probe. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 au alt plan-cadru: la profilul pedagogic, disciplina Matematică nu mai are ore în clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 4152/2026; la specializarea pedagogia învățământului primar rămâne, separat, disciplina „Aritmetică” (curriculum de specialitate), o oră pe săptămână în clasele a XI-a și a XII-a), iar la Bacalaureat ea poate fi doar o probă aleasă, pe materia claselor a IX-a și a X-a (OMEC 4138/2026); testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.