Test pedagogic: legi de compoziție, tabla și partea stabilă

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Structuri algebrice: legi de compoziție, monoid, grup, inel, corp

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Pe mulțimea $M = {- 1; 0; 1}$ se consideră patru operații. Care dintre ele este lege de compoziție pe $M$ , adică dă un rezultat din $M$ pentru orice $x, y \in M$ ?

Variantele: a) „ $x + y$ ”; b) „ $x \cdot y$ ”; c) „ $x - y$ ”; d) „ $x + y + 1$ ”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M_pedagogic.) Se consideră legea de compoziție $x \circ y = x y - 21 x - 21 y + 462$ , definită pe $R$ . Arătați că $23 \circ 17 = 13$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Pe mulțimea $M = {0; 4; 8; 12}$ se definește operația „distanța pe axă”: $x \circ y = ∣ x - y ∣$ . Scrie tabla operației și arată că ea este lege de compoziție pe $M$ . Câte căsuțe ale tablei, fără antete, conțin numărul 4?

Exercițiul 4 (5 puncte)

Care dintre mulțimile de mai jos este parte stabilă a lui $Z$ în raport cu adunarea?

Variantele: a) „mulțimea numerelor întregi impare”; b) „ ${- 1; 0; 1}$ ”; c) „mulțimea numerelor întregi pare”; d) „ ${0; 1}$ ”.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Pe $R$ se definește legea $x \circ y = 2 x + 2 y - 5$ . Determină numărul real $x$ pentru care $(x \circ 1) \circ 2 = 9$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M_pedagogic.) Se consideră legea de compoziție $x * y = x y + 32 x + 32 y + 992$ , definită pe $R$ . Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x = x$ .

Partea a II-a – Situații de la școală (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Învățătoarea pregătește pachete pentru o activitate. Are $x$ caiete și $y$ creioane, cu $x, y \in M = {1; 2; 4; 5; 10; 20}$ , și vrea ca fiecare copil să primească același număr de caiete și același număr de creioane, fără să rămână nimic. Cel mai mare număr de copii care pot fi serviți așa este cel mai mare divizor comun al lui $x$ și $y$ ; îl notăm $x \circ y$ . Tabla operației pe $M$ este:

$\circ$	1	2	4	5	10	20
1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	2	1	2	2
4	1	2	4	1	2	4
5	1	1	1	5	5	5
10	1	2	2	5	10	10
20	1	2	4	5	10	20

a) (5 puncte) Explică de ce $\circ$ este lege de compoziție pe $M$ , apoi citește din tablă $4 \circ 10$ și $10 \circ 20$ .

b) (5 puncte) Este $H = {1; 2; 4}$ parte stabilă a lui $M$ în raport cu $\circ$ ? Dar $K = {4; 10}$ ? Justifică.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un elev de liceu își calculează media a două note, fără rotunjire: $x \circ y = \frac{x + y}{2}$ , pentru $x, y$ din intervalul $I = [1; 10]$ .

a) (5 puncte) Arată că $\circ$ este lege de compoziție pe $I$ și calculează $7 \circ 10$ și $(7 \circ 10) \circ 9$ .

b) (5 puncte) Este mulțimea notelor întregi, $A = {1; 2; \dots; 10}$ , parte stabilă a lui $I$ în raport cu $\circ$ ? Dar intervalul $[5; 10]$ al notelor de trecere? Justifică.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un elev merge la școală cu viteza de $x$ km/h și se întoarce pe același drum cu viteza de $y$ km/h. Viteza medie pe tot drumul este $x \circ y = \frac{2 x y}{x + y}$ , pentru $x, y \in (0; + \infty)$ .

a) (5 puncte) Arată că $\circ$ este lege de compoziție pe $(0; + \infty)$ și calculează $4 \circ 6$ și $3 \circ 6$ .

b) (5 puncte) Este $N^{*}$ parte stabilă a lui $(0; + \infty)$ în raport cu $\circ$ ? Dar mulțimea ${3; 6}$ ? Justifică.

Partea a III-a – Probleme de tip examen și o sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M_pedagogic.) Se consideră legea de compoziție $x \circ y = x y - 30 x - 30 y + 930$ , definită pe $R$ .

a) (5 puncte) Demonstrați că $x \circ y = (x - 30) (y - 30) + 30$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x \circ 32 = x + 5$ .

c) (5 puncte) Arătați că intervalul $[29; 31]$ este parte stabilă a lui $R$ în raport cu legea de compoziție „ $\circ$ ”.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Pe mulțimea numerelor întregi se consideră operația $x \circ y = \frac{x y}{2}$ . Notăm cu $P$ mulțimea numerelor întregi pare.

a) (5 puncte) Arată că $\circ$ nu este lege de compoziție pe $Z$ , dar este lege de compoziție pe $P$ .

b) (5 puncte) Determină numerele $x \in P$ pentru care $x \circ x = 8$ .

c) (5 puncte) Fie $Q$ mulțimea numerelor pare care nu se divid cu 4: $\dots, - 6, - 2, 2, 6, 10, \dots$ Calculează $6 \circ 10$ și arată că $Q$ este parte stabilă a lui $P$ în raport cu $\circ$ .

Barem și răspunsuri

Punctele fiecărui pas sunt trecute între paranteze, iar o rezolvare corectă pe alt drum primește aceleași puncte. La Partea a III-a, fără calcul și fără justificare subpunctul nu ia punctele, chiar dacă rezultatul este corect. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar propoziția „Verificare” nu poartă puncte.

Exercițiul 1.

Pentru fiecare operație greșită ajunge o pereche cu rezultatul în afara lui $M$ : la a), $1 + 1 = 2 \in / M$ ; la c), $1 - (- 1) = 2 \in / M$ ; la d), $1 + 0 + 1 = 2 \in / M$ (3 p). La b), produsul a două numere din ${- 1; 0; 1}$ este $- 1$ , $0$ sau $1$ , deci rămâne în $M$ pentru toate cele nouă perechi; răspunsul este $b)$ (2 p). Verificare: $(- 1) \cdot (- 1) = 1$ , $(- 1) \cdot 1 = - 1$ , iar orice produs cu 0 este 0. Cine verifică doar perechile care îl conțin pe $- 1$ crede că și d) merge, fiindcă $(- 1) + y + 1 = y \in M$ ; perechea $(1, 1)$ dă însă 3.

Exercițiul 2.

Înlocuiești $x = 23$ și $y = 17$ : $23 \circ 17 = 23 \cdot 17 - 21 \cdot 23 - 21 \cdot 17 + 462$ (3 p). Calculezi: $391 - 483 - 357 + 462 = 13$ (2 p). Verificare: cu forma $(x - 21) (y - 21) + 21$ avem $2 \cdot (- 4) + 21 = 13$ . Cine scrie $+ 357$ în loc de $- 357$ obține $391 - 483 + 357 + 462 = 727$ .

Exercițiul 3.

Tabla are liniile $0, 4, 8, 12$ / $4, 0, 4, 8$ / $8, 4, 0, 4$ / $12, 8, 4, 0$ (linia lui $x$ , coloanele $0$ , $4$ , $8$ , $12$ ); toate rezultatele sunt în $M$ , deci $\circ$ este lege de compoziție pe $M$ (3 p). Numărul 4 apare la perechile $(0, 4)$ , $(4, 0)$ , $(4, 8)$ , $(8, 4)$ , $(8, 12)$ , $(12, 8)$ , adică în $6$ căsuțe (2 p). Verificare: cele 16 căsuțe conțin de 4 ori 0, de 6 ori 4, de 4 ori 8 și de 2 ori 12, iar $4 + 6 + 4 + 2 = 16$ . Cine numără doar deasupra diagonalei găsește 3, jumătate din răspuns.

Exercițiul 4.

La a), $1 + 1 = 2$ , care este par, deci nu rămâne printre numerele impare; la b), $1 + 1 = 2 \in / {- 1; 0; 1}$ ; la d), $1 + 1 = 2 \in / {0; 1}$ (3 p). La c), dacă $x = 2 a$ și $y = 2 b$ , cu $a, b \in Z$ , atunci $x + y = 2 (a + b)$ este tot par; răspunsul este $c)$ (2 p). Verificare: $(- 6) + 14 = 8$ , par. Cine verifică doar perechi de numere diferite nu vede că $1 + 1$ scoate pe ${0; 1}$ din joc.

Exercițiul 5.

Întâi $x \circ 1 = 2 x + 2 - 5 = 2 x - 3$ (2 p). Apoi $(2 x - 3) \circ 2 = 2 (2 x - 3) + 4 - 5 = 4 x - 7$ (1 p). Din $4 x - 7 = 9$ rezultă $x = 4$ (2 p). Verificare: $4 \circ 1 = 8 + 2 - 5 = 5$ , iar $5 \circ 2 = 10 + 4 - 5 = 9$ . Cine calculează $x \circ (1 \circ 2)$ în loc de $(x \circ 1) \circ 2$ găsește $1 \circ 2 = 1$ , apoi $2 x - 3 = 9$ și $x = 6$ , dar $(6 \circ 1) \circ 2 = 9 \circ 2 = 17$ .

Exercițiul 6.

$x * x = x^{2} + 32 x + 32 x + 992 = x^{2} + 64 x + 992$ (2 p). Ecuația $x^{2} + 64 x + 992 = x$ devine $x^{2} + 63 x + 992 = 0$ , cu $Δ = 3969 - 3968 = 1$ , deci $x \in {- 32; - 31}$ (3 p). Verificare: $(- 31) * (- 31) = 961 - 992 - 992 + 992 = - 31$ și $(- 32) * (- 32) = 1024 - 1024 - 1024 + 992 = - 32$ . Cine uită să mute pe $x$ în stânga rezolvă $x^{2} + 64 x + 992 = 0$ , cu $Δ = 128$ , și obține rădăcini iraționale.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Cel mai mare divizor comun al lui $x$ și $y$ îl divide pe $x$ , iar $x$ îl divide pe 20, deci rezultatul este un divizor al lui 20 (2 p); $M$ conține toți divizorii lui 20, deci $x \circ y \in M$ și $\circ$ este lege de compoziție pe $M$ (1 p). Din tablă, $4 \circ 10 = 2$ (1 p) și $10 \circ 20 = 10$ (1 p).

b) (5 p) Pentru $H$ : $1 \circ x = 1$ , $2 \circ 2 = 2$ , $2 \circ 4 = 4 \circ 2 = 2$ și $4 \circ 4 = 4$ , toate în $H$ , deci $H$ este parte stabilă (3 p). Pentru $K$ : $4 \circ 10 = 2 \in / K$ , deci $K$ nu este parte stabilă (2 p).

Verificare: a) 4 caiete și 10 creioane se împart egal la cel mult 2 copii (câte 2 caiete și 5 creioane). b) Celelalte rezultate pentru $K$ , $4 \circ 4 = 4$ și $10 \circ 10 = 10$ , sunt în $K$ ; o singură pereche ieșită afară ajunge. Cine verifică doar $x \circ x$ crede că orice submulțime este parte stabilă.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Din $1 \leq x \leq 10$ și $1 \leq y \leq 10$ rezultă $2 \leq x + y \leq 20$ , deci $1 \leq \frac{x + y}{2} \leq 10$ și $x \circ y \in I$ (2 p). $7 \circ 10 = \frac{17}{2} = 8, 5$ (1 p), iar $(7 \circ 10) \circ 9 = \frac{8 , 5 + 9}{2} = 8, 75$ (2 p).

b) (5 p) $7 \circ 8 = 7, 5 \in / A$ , deci $A$ nu este parte stabilă (2 p). Pentru $x, y \in [5; 10]$ , $10 \leq x + y \leq 20$ , deci $5 \leq x \circ y \leq 10$ : intervalul $[5; 10]$ este parte stabilă (3 p).

Verificare: a) $8, 75$ este la mijloc între $8, 5$ și 9. b) Media a două note de trecere nu poate coborî sub 5, fiindcă fiecare notă este cel puțin 5. Cine rotunjește $7 \circ 8$ la 8 schimbă legea și ajunge la concluzia greșită că $A$ este parte stabilă.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Pentru $x, y > 0$ , $2 x y > 0$ și $x + y > 0$ , deci $x \circ y > 0$ și $\circ$ este lege de compoziție pe $(0; + \infty)$ (2 p). $4 \circ 6 = \frac{48}{10} = 4, 8$ (2 p), nu 5, media celor două viteze; $3 \circ 6 = \frac{36}{9} = 4$ (1 p).

b) (5 p) $1 \circ 2 = \frac{4}{3} \in / N^{*}$ , deci $N^{*}$ nu este parte stabilă (3 p). $3 \circ 6 = 4 \in / {3; 6}$ , deci nici ${3; 6}$ nu este parte stabilă (2 p).

Verificare: a) pe un drum de 12 km, dusul cu 4 km/h durează 3 ore, iar întorsul cu 6 km/h durează 2 ore: 24 km în 5 ore, adică $4, 8$ km/h. b) $3 \circ 3 = 3$ și $6 \circ 6 = 6$ rămân în ${3; 6}$ , dar o singură pereche ieșită afară, $3 \circ 6 = 4$ , ajunge. Cine ia drept viteză medie media vitezelor, $\frac{4 + 6}{2} = 5$ , uită că pe drumul făcut mai încet elevul stă mai mult timp.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Desfaci parantezele: $(x - 30) (y - 30) + 30 = x y - 30 x - 30 y + 900 + 30$ (3 p), adică $x y - 30 x - 30 y + 930 = x \circ y$ , pentru orice $x$ și $y$ (2 p).

b) (5 p) Cu forma de la a), $x \circ 32 = (x - 30) \cdot 2 + 30 = 2 x - 30$ (2 p). Ecuația $2 x - 30 = x + 5$ dă $x = 35$ (3 p).

c) (5 p) Dacă $x, y \in [29; 31]$ , atunci $x - 30$ și $y - 30$ sunt în $[- 1; 1]$ , deci produsul lor este tot în $[- 1; 1]$ (3 p). Adunând 30, $x \circ y = (x - 30) (y - 30) + 30 \in [29; 31]$ , deci intervalul este parte stabilă (2 p).

Verificare: a) pentru $x = 1$ și $y = 2$ : $2 - 30 - 60 + 930 = 842$ și $(- 29) \cdot (- 28) + 30 = 842$ . b) $35 \circ 32 = 1120 - 1050 - 960 + 930 = 40 = 35 + 5$ . c) $29 \circ 31 = (- 1) \cdot 1 + 30 = 29$ și $31 \circ 31 = 1 + 30 = 31$ , chiar capetele intervalului. Cine scrie $x \circ 32 = (x - 30) \cdot 32 + 30$ pune $y$ în loc de $y - 30$ și obține $x = \frac{935}{31}$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) $1 \circ 1 = \frac{1}{2} \in / Z$ , deci $\circ$ nu este lege de compoziție pe $Z$ (2 p). Dacă $x = 2 a$ și $y = 2 b$ , cu $a, b \in Z$ , atunci $x \circ y = \frac{4 ab}{2} = 2 ab$ , număr par, deci $\circ$ este lege de compoziție pe $P$ (3 p).

b) (5 p) $x \circ x = \frac{x ^{2}}{2} = 8$ dă $x^{2} = 16$ (2 p), deci $x \in {- 4; 4}$ ; ambele numere sunt pare (3 p).

c) (5 p) $6 \circ 10 = \frac{60}{2} = 30 = 2 \cdot 15$ , cu 15 impar, deci $30 \in Q$ (1 p). În general, $x \in Q$ înseamnă $x = 2 a$ cu $a$ impar; pentru $x = 2 a$ și $y = 2 b$ , cu $a$ și $b$ impare, $x \circ y = 2 ab$ , iar produsul $ab$ a două numere impare este impar (3 p); deci $x \circ y \in Q$ și $Q$ este parte stabilă (1 p).

Verificare: b) $(- 4) \circ (- 4) = \frac{16}{2} = 8$ . c) $(- 2) \circ 6 = - 6 = 2 \cdot (- 3)$ , iar $- 3$ este impar. Cine uită soluția negativă la b) pierde jumătate din mulțimea cerută.

Pentru părinți și profesori

Testul deschide capitolul „Structuri algebrice” al clasei a XI-a, profilul pedagogic: verifică doar primul pas al capitolului, legea de compoziție. Elevul calculează valoarea legii într-o pereche, scrie și citește tabla unei legi pe o mulțime finită și decide dacă o submulțime este parte stabilă. Proprietățile legii (asociativitatea, comutativitatea, elementul neutru, simetricul) rămân pentru testul următor.

Punctaj: din exerciții iei cel mult 90 de puncte; la ele se adaugă 10 puncte din oficiu, deci lucrarea are maximum 100 de puncte.
Timp de lucru: 50 de minute.
Cum se lucrează: pe foaie, fără calculator, fiecare exercițiu cu calculele lui; la Partea a III-a nu ajunge rezultatul, trebuie arătat și drumul până la el. Ghidajul desparte exercițiul în pași mici: întâi o întrebare cu patru răspunsuri, apoi un număr de aflat, iar o variantă greșită vine cu explicația ei. Îl pornești numai când exercițiul nu iese singur.
90–100 de puncte: legea de compoziție și partea stabilă sunt stăpânite; treci la proprietățile legii.
75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul, doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
60–74 de puncte: pentru fiecare exercițiu cu mai puțin de jumătate din puncte citești lecția din tabel, apoi lucrezi din nou testul peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: parcurgi lecțiile din tabel, una după alta, apoi lucrezi testul de la început, cu ghidajul alături.
Formule de reținut: o operație $\circ$ este lege de compoziție pe $M$ când $x \circ y \in M$ pentru orice $x, y \in M$ ; o singură pereche cu rezultatul în afara lui $M$ arată că nu este; $H \subset M$ este parte stabilă când $x \circ y \in H$ pentru orice $x, y \in H$ , inclusiv pentru $x = y$ ; în tabla legii, pe linia lui $x$ și coloana lui $y$ se scrie $x \circ y$ ; o lege $x y - a x - a y + a^{2} + a$ se scrie factorizat $(x - a) (y - a) + a$ , ceea ce se dovedește desfăcând parantezele cu litere.

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 11	când o operație este lege de compoziție pe o mulțime; contraexemplul	Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple
3, 7	tabla legii pe o mulțime finită, citirea ei	Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită (și Lege de compoziție la tehnologic: tabla)
4, 8, 9, 11	partea stabilă: dovada pentru orice pereche, contraexemplul	Parte stabilă și legea de compoziție indusă
2, 5, 6, 9, 10	valoarea legii dată prin formulă, compuneri succesive, forma factorizată, ecuația	Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule

Exercițiile 2, 6 și 10 poartă marcajul „tip Bacalaureat M_pedagogic”: urmează formele cerințelor de la Subiectul al II-lea, dar cu legi și numere care nu apar în probele oficiale 2013–2026.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M_pedagogic din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006), la capitolul „Structuri algebrice”: legi de compoziție și proprietățile lor, monoid, grup, inel, corp, cu exemplele ℕ, ℤ, ℤₙ, ℚ, ℝ. În cele 60 de probe oficiale din 2013–2026, Subiectul al II-lea a cerut de fiecare dată o lege de compoziție, în șase cerințe a câte 5 puncte. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 au alt plan-cadru: la profilul pedagogic, disciplina Matematică nu mai are ore în clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 4152/2026; la specializarea pedagogia învățământului primar rămâne, separat, disciplina „Aritmetică” (curriculum de specialitate), o oră pe săptămână în clasele a XI-a și a XII-a), iar la Bacalaureat ea poate fi doar o probă aleasă, pe materia claselor a IX-a și a X-a (OMEC 4138/2026); testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.