Test pedagogic: matrice inversabile și ecuații matriceale

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Matrice inversabile, ecuații matriceale și sisteme liniare

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Care dintre matricele de mai jos este inversabilă?

Variantele: a) „ $(6946)$ ”; b) „ $(5 - 2 - 10 4)$ ”; c) „ $(7532)$ ”; d) „ $(86129)$ ”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculează inversa matricei $A = (27310)$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Pentru ce număr real $m$ matricea $(m 2 63)$ nu este inversabilă?

Variantele: a) „ $m = 9$ ”; b) „ $m = - 4$ ”; c) „ $m = 4$ ”; d) „ $m = 1$ ”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Rezolvă ecuația matriceală $(51149) \cdot X = (13)$ , unde $X$ este o matrice cu două linii și o coloană.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră matricele $A = 100410021$ și $B = 100 - 4 10 a - 2 1$ , unde $a$ este un număr real. Determină $a$ pentru care $B$ este inversa matricei $A$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Rezolvă în $M_{2} (R)$ ecuația $X \cdot (34 - 4 - 5) = (1101)$ .

Partea a II-a – Situații din școală și din grădiniță (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

La un club de matematică pentru școlari mici, învățătoarea propune un joc cu mesaje secrete. Două numere naturale $x$ și $y$ , scrise pe cartonașe, se trimit codificate: se trimite coloana $C \cdot (x y)$ , unde $C = (37512)$ .

a) (5 puncte) Codifică perechea de cartonașe $x = 4$ , $y = 7$ .

b) (5 puncte) Calculează $C^{- 1}$ și decodifică mesajul primit $(3992)$ , adică află numerele $x$ și $y$ de pe cartonașe.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Comitetul de părinți al unei clase a II-a cumpără caiete și cutii de creioane colorate. La prima comandă a plătit 49 de lei pentru 2 caiete și 7 cutii de creioane, iar la a doua, 76 de lei pentru 3 caiete și 11 cutii de creioane, la aceleași prețuri. Notăm cu $c$ prețul unui caiet și cu $k$ prețul unei cutii de creioane, în lei.

a) (5 puncte) Scrie cele două plăți sub forma $A \cdot (c k) = (4976)$ , precizând matricea $A$ , și calculează $A^{- 1}$ .

b) (5 puncte) Află prețul unui caiet și prețul unei cutii de creioane. Cât ar costa o a treia comandă, de 5 caiete și 4 cutii de creioane?

Exercițiul 9 (10 puncte)

La o întrecere, trei echipe ale unei clase a IV-a au strâns $x$ , $y$ și $z$ jetoane. Învățătoarea nu anunță jetoanele fiecărei echipe, ci trei informații: prima și a doua echipă au împreună 10 jetoane, a doua are cu un jeton mai mult decât a treia, iar toate trei au 15 jetoane. Informațiile se scriu $A \cdot x y z = 10115$ , cu $A = 101111 0 - 1 1$ .

a) (5 puncte) Calculează $det A$ și verifică, prin înmulțire, că matricea $B = 2 - 1 - 1 - 1 10 - 1 11$ este inversa lui $A$ .

b) (5 puncte) Folosind $B$ , află câte jetoane are fiecare echipă.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Se consideră matricea $A (a) = (3 a + 1 a 2)$ , unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $det (A (2)) = 0$ .

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $A (a)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Determinați inversa matricei $A (- 4)$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Se consideră matricele $A = (6756)$ , $B = (2245)$ și $I_{2} = (1001)$ .

a) (5 puncte) Arătați că matricea $C = (6 - 7 - 5 6)$ este inversa matricei $A$ .

b) (5 puncte) Rezolvați în $M_{2} (R)$ ecuația $A \cdot X = B$ .

c) (5 puncte) Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $X \cdot A = A + I_{2}$ .

Barem și răspunsuri

În barem, rezolvările sunt scrise pas cu pas, iar punctul fiecărui pas apare între paranteze; o rezolvare corectă, dar diferită, e tratată la fel, iar rezultatele finale sunt îngroșate. Se acordă 10 puncte din oficiu. La Partea a III-a, un răspuns corect, dar fără drumul spre el, nu ia punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

O matrice de ordinul doi este inversabilă exact când determinantul ei nu este 0 (1 p). Determinanții sunt $36 - 36 = 0$ , $20 - 20 = 0$ , $14 - 15 = - 1$ și $72 - 72 = 0$ (3 p). Singurul determinant nenul este al matricei din varianta $c)$ (1 p). Verificare: la celelalte trei matrice, a doua linie este un multiplu al primei (de $\frac{3}{2}$ ori, de $- \frac{2}{5}$ ori și de $\frac{3}{4}$ ori).

Exercițiul 2.

$det A = 2 \cdot 10 - 3 \cdot 7 = - 1 \neq = 0$ , deci $A$ este inversabilă (1 p). Schimbăm între ele elementele de pe diagonala principală și schimbăm semnul celorlalte două: $(10 - 7 - 3 2)$ (2 p). Împărțind la $det A = - 1$ , $A^{- 1} = (- 10 7 3 - 2)$ (2 p). Verificare: $A \cdot A^{- 1} = (- 20 + 21 - 70 + 70 6 - 6 21 - 20) = (1001)$ .

Exercițiul 3.

Matricea nu este inversabilă exact când determinantul ei este 0 (1 p). Determinantul este $3 m - 6 \cdot 2 = 3 m - 12$ (2 p). Din $3 m - 12 = 0$ rezultă $m = 4$ ; răspunsul este $c)$ (2 p). Verificare: pentru $m = 4$ , a doua coloană, $6$ și $3$ , este de $\frac{3}{2}$ ori prima, $4$ și $2$ ; varianta $m = 9$ apare când se înmulțesc elementele de pe aceeași coloană, $2 m - 18 = 0$ , iar varianta $m = - 4$ , când cele două produse se adună.

Exercițiul 4.

$det (51149) = 45 - 44 = 1$ , iar inversa este $(9 - 11 - 4 5)$ (2 p). $X = (9 - 11 - 4 5) \cdot (13) = (9 - 12 - 11 + 15)$ (2 p), adică $X = (- 3 4)$ (1 p). Verificare: $5 \cdot (- 3) + 4 \cdot 4 = 1$ și $11 \cdot (- 3) + 9 \cdot 4 = 3$ .

Exercițiul 5.

$B$ este inversa lui $A$ dacă $A \cdot B = I_{3}$ (1 p). Elementul de pe linia 1 și coloana 3 din $A \cdot B$ este $1 \cdot a + 4 \cdot (- 2) + 0 \cdot 1 = a - 8$ , iar celelalte elemente ale produsului sunt cele ale lui $I_{3}$ (2 p). Din $a - 8 = 0$ rezultă $a = 8$ (2 p). Verificare: pentru $a = 8$ , și $B \cdot A$ are pe linia 1 elementele $1$ , $4 - 4 = 0$ și $- 8 + 8 = 0$ , deci $B \cdot A = I_{3}$ .

Exercițiul 6.

Notăm $A = (34 - 4 - 5)$ , cu $det A = - 15 + 16 = 1$ și $A^{- 1} = (- 5 - 4 43)$ (2 p). Din $X \cdot A = B$ rezultă $X = B \cdot A^{- 1}$ , cu inversa la dreapta (1 p). $X = (1101) \cdot (- 5 - 4 43) = (- 5 - 9 47)$ (2 p). Verificare: $X \cdot A = (- 15 + 16 - 27 + 28 20 - 20 36 - 35) = (1101)$ ; cine pune inversa la stânga obține $A^{- 1} \cdot B = (- 1 - 1 43)$ , care nu verifică ecuația.

Exercițiul 7.

a) (5 p) $C \cdot (47) = (3 \cdot 4 + 5 \cdot 7 7 \cdot 4 + 12 \cdot 7)$ (2 p), deci se trimite coloana $(47112)$ (3 p).

b) (5 p) $det C = 36 - 35 = 1$ , deci $C^{- 1} = (12 - 7 - 5 3)$ (2 p). $(x y) = C^{- 1} \cdot (3992) = (468 - 460 - 273 + 276)$ (2 p), deci $x = 8$ și $y = 3$ (1 p). Verificare: $3 \cdot 8 + 5 \cdot 3 = 39$ și $7 \cdot 8 + 12 \cdot 3 = 92$ .

Exercițiul 8.

a) (5 p) Prima plată dă $2 c + 7 k = 49$ , iar a doua $3 c + 11 k = 76$ , deci $A = (23711)$ (2 p). $det A = 22 - 21 = 1$ (1 p), iar $A^{- 1} = (11 - 3 - 7 2)$ (2 p).

b) (5 p) $(c k) = A^{- 1} \cdot (4976) = (539 - 532 - 147 + 152)$ (2 p), deci un caiet costă $7$ lei, iar o cutie de creioane $5$ lei (1 p). A treia comandă ar costa $5 \cdot 7 + 4 \cdot 5 = 55$ de lei (2 p). Verificare: $2 \cdot 7 + 7 \cdot 5 = 49$ și $3 \cdot 7 + 11 \cdot 5 = 76$ .

Exercițiul 9.

a) (5 p) $det A = 1 \cdot (1 + 1) - 1 \cdot (0 + 1) + 0 = 1 \neq = 0$ (2 p). Pe linia 1, $A \cdot B$ are elementele $2 - 1 + 0 = 1$ , $- 1 + 1 + 0 = 0$ , $- 1 + 1 + 0 = 0$ ; pe linia 2, $0 - 1 + 1 = 0$ , $0 + 1 + 0 = 1$ , $0 + 1 - 1 = 0$ ; pe linia 3, $2 - 1 - 1 = 0$ , $- 1 + 1 + 0 = 0$ , $- 1 + 1 + 1 = 1$ (2 p). Deci $A \cdot B = I_{3}$ , iar $B$ este inversa lui $A$ (1 p).

b) (5 p) Din $A \cdot x y z = 10115$ rezultă $x y z = B \cdot 10115$ (1 p) $= 20 - 1 - 15 - 10 + 1 + 15 - 10 + 15$ (2 p), deci echipele au $4$ , $6$ și $5$ jetoane (2 p). Verificare: $4 + 6 = 10$ , $6 - 5 = 1$ și $4 + 6 + 5 = 15$ .

Exercițiul 10.

a) (5 p) $A (2) = (3322)$ (2 p), iar $det (A (2)) = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 0$ (3 p).

b) (5 p) $det (A (a)) = 3 \cdot 2 - a (a + 1) = - a^{2} - a + 6 = - (a + 3) (a - 2)$ (2 p). Matricea este inversabilă exact când $det (A (a)) \neq = 0$ , adică $a \neq = - 3$ și $a \neq = 2$ (2 p), deci $a \in R ∖ {- 3, 2}$ (1 p).

c) (5 p) $A (- 4) = (3 - 3 - 4 2)$ și $det (A (- 4)) = 6 - 12 = - 6 \neq = 0$ (2 p). $A (- 4)^{- 1} = - \frac{1}{6} (2343) = - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$ (3 p). Verificare: pe linia 1 a produsului $A (- 4) \cdot A (- 4)^{- 1}$ , $3 \cdot (- \frac{1}{3}) + (- 4) \cdot (- \frac{1}{2}) = 1$ și $3 \cdot (- \frac{2}{3}) + (- 4) \cdot (- \frac{1}{2}) = 0$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) $A \cdot C = (36 - 35 42 - 42 - 30 + 30 - 35 + 36) = (1001)$ (3 p), deci $A \cdot C = I_{2}$ și $C$ este inversa matricei $A$ (2 p).

b) (5 p) Din $A \cdot X = B$ rezultă $X = A^{- 1} \cdot B = C \cdot B$ (2 p), iar $X = (6 - 7 - 5 6) \cdot (2245) = (2 - 2 - 1 2)$ (3 p).

c) (5 p) Din $X \cdot A = A + I_{2}$ rezultă $X = (A + I_{2}) \cdot A^{- 1} = A \cdot A^{- 1} + A^{- 1} = I_{2} + C$ (3 p), deci $X = (7 - 7 - 5 7)$ (2 p). Verificare: $X \cdot A = (42 - 35 - 42 + 49 35 - 30 - 35 + 42) = (7757) = A + I_{2}$ . Aici ordinea factorilor nu schimbă rezultatul, fiindcă $A + I_{2}$ comută cu $A^{- 1}$ : și $A^{- 1} \cdot (A + I_{2}) = I_{2} + C$ ; în general, la $X \cdot A = B$ inversa se pune la dreapta.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică prima parte a unității a treia din clasa a XII-a, profilul pedagogic: când este o matrice inversabilă, cum se calculează inversa unei matrice de ordinul doi și a uneia simple de ordinul trei și cum se rezolvă ecuațiile matriceale $A \cdot X = B$ și $X \cdot A = B$ . Se sprijină pe cinci lecții din traseul clasei: „Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului”, „Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic”, „Inversa unei matrice, cu matricea adjunctă (M2, științe ale naturii)”, „Ecuații matriceale: AX = B și XA = B (M2, științe ale naturii)” și „Ecuații matriceale”. Sistemele liniare și metoda Cramer sunt verificate de testul următor.

Punctaj: 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu, cu un maximum de 100 de puncte.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: testul se lucrează individual, pe foaie, fără calculator; toate rezultatele ies exacte, unele ca fracții. La Partea a III-a contează și calculul scris, nu doar răspunsul. Ghidajul desparte fiecare exercițiu în etape mici: întâi o întrebare cu variante, apoi câte un număr de aflat, iar fiecare variantă greșită spune unde a apărut greșeala.
La 90–100 de puncte: ai stăpânit inversa și ecuațiile matriceale, poți trece la sisteme.
La 75–89 de puncte: refă cu ghidajul doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
La 60–74 de puncte: revezi lecțiile din ultima coloană a tabelului pentru exercițiile la care ai strâns mai puțin de jumătate dintre puncte, apoi repeți testul peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: reia cele cinci lecții, în ordinea de mai sus, și lucrează testul din nou, cu ghidajul pornit de la primul pas.
Formule de reținut: o matrice pătratică $A$ este inversabilă dacă și numai dacă $det A \neq = 0$ , iar inversa ei verifică $A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I_{n}$ ; pentru $A = (a c b d)$ cu $a d - b c \neq = 0$ , $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ ; ca să verifici că $B$ este inversa lui $A$ , ajunge să arăți că $A \cdot B = I_{n}$ ; din $A \cdot X = B$ rezultă $X = A^{- 1} \cdot B$ , iar din $X \cdot A = B$ rezultă $X = B \cdot A^{- 1}$ , cu inversa pe aceeași parte cu $A$ .

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 3	când este o matrice inversabilă	Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului
2, 7	inversa unei matrice de ordinul doi	Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic
5, 9	inversa unei matrice de ordinul trei, verificată prin produs	Inversa unei matrice, cu matricea adjunctă (M2, științe ale naturii)
4, 8	ecuația $A \cdot X = B$ cu o coloană necunoscută	Ecuații matriceale
6, 11	ecuațiile $A \cdot X = B$ și $X \cdot A = B$ cu matrice pătratice	Ecuații matriceale: AX = B și XA = B (M2, științe ale naturii)
10	inversabilitate cu parametru și inversa, pe model de examen	Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului, apoi lecția despre inversa 2×2

Exercițiile 10 și 11 au marcajul „tip Bacalaureat M4” și sunt scrise pe conținutul Subiectului al III-lea din proba M_pedagogic: mai multe cerințe despre aceleași matrice de ordinul doi, de tipul celor din probe, dar cu alte matrice și alte numere decât în probele oficiale. La examen, Subiectul al III-lea este o singură problemă cu șase cerințe de câte 5 puncte (forma din testul recapitulativ al clasei); aici sunt două probleme mai scurte, cu câte trei subpuncte.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen M_pedagogic pentru Bacalaureatul din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 4: OMEC 5959/2006). Matricele inversabile și ecuațiile matriceale se cer la Subiectul al III-lea. În cele 60 de probe oficiale M_pedagogic din 2013–2026, inversa unei matrice s-a cerut în 34 de probe, iar ecuațiile matriceale (rezolvate tot cu inversa) în 20 de probe; o matrice de ordinul trei inversabilă a apărut în două probe (iunie 2013 și modelul din 2014), sub forma verificării că o matrice dată este inversa alteia. Pentru elevii care dau Bacalaureatul din 2030, planul-cadru nou (OMEC 4152/2026) dă profilului pedagogic matematică în trunchiul comun numai la clasele a IX-a și a X-a, iar matematica rămâne o probă la alegere (OMEC 4138/2026); testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.