Test: Noțiunea de funcție și descrierea ei

Acest test verifică ce ai învățat la unitatea „Funcții. Noțiunea de funcție și graficul": să recunoști o dependență funcțională, să descrii o funcție prin diagramă, tabel și formulă, să identifici domeniul, codomeniul și legea de corespondență, să calculezi valoarea unei funcții într-un punct și imaginea unei funcții, să lucrezi cu coordonatele punctelor în plan și cu graficul unei funcții. Itemii sunt așezați de la ușor la greu.

Punctaj total: 100 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Exerciții

Exercițiul 1 — Este funcție? (5 puncte)

Se dau două corespondențe de la mulțimea $A = {1, 2, 3}$ la mulțimea $B = {a, b, c, d}$ .

Care dintre cele două corespondențe este funcție? Justifică răspunsul pentru fiecare diagramă.

Exercițiul 2 — Completează tabelul (6 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ . Completează tabelul de valori.

$x$	$- 1$	$0$	$2$	$4$
$f (x)$

Exercițiul 3 — Valoarea funcției într-un punct (6 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 5$ . Calculează:

a) $f (0)$ ; b) $f (3)$ ; c) $f (- 1)$ .

Exercițiul 4 — Domeniu, codomeniu, imagine (6 puncte)

Funcția $f$ este descrisă de diagrama de mai jos.

a) Scrie domeniul funcției. b) Scrie codomeniul funcției. c) Scrie imaginea funcției.

Exercițiul 5 — Imaginea unei funcții (6 puncte)

Se dă funcția $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to Z$ , $f (x) = x^{2}$ .

a) Calculează valorile funcției în fiecare punct al domeniului. b) Scrie imaginea funcției, adică mulțimea $Im f$ .

Exercițiul 6 — Coordonatele punctelor (6 puncte)

Citește din desen coordonatele punctelor $A$ , $B$ și $C$ .

Scrie perechile de coordonate: $A (\dots, \dots)$ , $B (\dots, \dots)$ , $C (\dots, \dots)$ .

Exercițiul 7 — Reprezintă punctele și precizează cadranul (5 puncte)

Într-un sistem de axe $x O y$ , reprezintă punctele $M (2, 3)$ , $N (- 1, - 2)$ și $P (0, 4)$ .

Pentru $M$ și $N$ precizează în ce cadran se află. Ce observi despre poziția lui $P$ ?

Exercițiul 8 — Costul unei parcări (6 puncte)

La o parcare se plătește o taxă de intrare de 5 lei, la care se adaugă 3 lei pentru fiecare oră de staționare. Notăm cu $x$ numărul de ore și cu $c (x)$ costul total, în lei.

a) Scrie formula funcției $c$ care dă costul în funcție de numărul de ore. b) Calculează $c (2)$ și $c (5)$ . c) Este costul o dependență funcțională de numărul de ore? Justifică pe scurt.

Exercițiul 9 — Punctul aparține graficului? (5 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x - 1$ .

a) Verifică prin calcul dacă punctul $A (4, 3)$ aparține graficului funcției. b) Verifică dacă punctul $B (- 1, 1)$ aparține graficului funcției.

Exercițiul 10 — Găsește necunoscuta (6 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ .

a) Determină numărul $x$ pentru care $f (x) = 7$ . b) Determină numărul $x$ pentru care $f (x) = - 1$ .

Exercițiul 11 — Descoperă legea din tabel (5 puncte)

Valorile unei funcții sunt date în tabelul de mai jos.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$5$	$8$	$11$	$14$

a) Scrie formula $y$ în funcție de $x$ . b) Folosind formula, calculează valoarea lui $y$ pentru $x = 10$ .

Exercițiul 12 — Adevărat sau fals, cu motivare (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt.

a) Într-o funcție, orice element al domeniului are exact o imagine. b) Un element al codomeniului poate să nu fie imaginea niciunui element din domeniu. c) Două elemente diferite ale domeniului nu pot avea niciodată aceeași imagine. d) Imaginea unei funcții poate fi egală cu codomeniul ei.

Exercițiul 13 — Temperatura pe parcursul zilei (5 puncte)

Un elev a măsurat temperatura aerului la diferite ore. Rezultatele, notate cu funcția $t$ (temperatura în funcție de oră), sunt în tabel.

Ora	$6$	$9$	$12$	$15$	$18$
Temperatura ( $^{\circ}$ C)	$8$	$14$	$20$	$19$	$12$

a) Cât este $t (12)$ ? b) Cât este $t (6)$ ? c) La ce oră temperatura a fost de $1 9^{\circ}$ C? d) Care a fost temperatura maximă măsurată? e) Scrie imaginea funcției $t$ .

Exercițiul 14 — Citește graficul (6 puncte)

În figură este reprezentat graficul unei funcții $f : R \to R$ . Dreapta trece prin punctele de coordonate $(0, 1)$ , $(1, 3)$ și $(2, 5)$ .

a) Citește de pe grafic valoarea $f (1)$ . b) Determină valoarea lui $x$ pentru care $f (x) = 5$ . c) Care este valoarea $f (0)$ (punctul în care graficul taie axa $O y$ )?

Exercițiul 15 — Reprezentarea grafică a unei funcții liniare (6 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x + 2$ .

a) Completează tabelul de valori.

$x$	$- 2$	$0$	$1$
$f (x)$

b) Reprezintă cele trei puncte într-un sistem de axe $x O y$ și trasează dreapta care le conține.

Exercițiul 16 — Funcție dată prin diagramă (5 puncte)

Funcția $f : A \to B$ , cu $A = {a, b, c, d}$ și $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ , este dată de diagrama de mai jos.

a) Scrie valorile $f (a)$ , $f (b)$ , $f (c)$ , $f (d)$ . b) Scrie imaginea funcției. c) Există două elemente diferite din domeniu care au aceeași imagine? Dacă da, precizează-le.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 de puncte (90 pe itemi + 10 din oficiu).

Item	Punctaj	Răspuns corect
1	5 p (2 + 3)	Diagrama 1 = funcție; Diagrama 2 = nu este funcție
2	6 p	$- 5, - 3, 1, 5$
3	6 p (2 + 2 + 2)	$f (0) = 5, f (3) = - 1, f (- 1) = 7$
4	6 p (2 + 2 + 2)	$A = {2, 3, 5}$ ; $B = {4, 6, 9, 10}$ ; $Im f = {4, 6, 10}$
5	6 p (3 + 3)	$4, 1, 0, 1, 4$ ; $Im f = {0, 1, 4}$
6	6 p (2 + 2 + 2)	$A (3, 2)$ , $B (- 2, 1)$ , $C (0, - 3)$
7	5 p (2 + 2 + 1)	$M$ în cadranul I, $N$ în cadranul III, $P$ pe axa $O y$
8	6 p (2 + 2 + 2)	$c (x) = 5 + 3 x$ ; $c (2) = 11$ , $c (5) = 20$ ; da
9	5 p (2,5 + 2,5)	$A (4, 3)$ aparține; $B (- 1, 1)$ nu aparține
10	6 p (3 + 3)	$x = 5$ ; $x = 1$
11	5 p (3 + 2)	$y = 3 x + 2$ ; pentru $x = 10 \Rightarrow y = 32$
12	6 p (câte 1,5)	A ; A ; F ; A
13	5 p (câte 1)	$20$ ; $8$ ; ora $15$ ; $2 0^{\circ}$ C; ${8, 12, 14, 19, 20}$
14	6 p (2 + 2 + 2)	$f (1) = 3$ ; $x = 2$ ; $f (0) = 1$
15	6 p (3 + 3)	$0, 2, 3$ ; grafic corect
16	5 p (2 + 2 + 1)	$2, 5, 2, 3$ ; $Im f = {2, 3, 5}$ ; da, $a$ și $c$
Oficiu	10 p	—

Explicații

Exercițiul 1. O corespondență este funcție dacă din fiecare element al domeniului pleacă exact o săgeată. În Diagrama 1, fiecare element ( $1$ , $2$ , $3$ ) are o singură săgeată, deci este funcție (nu contează că $2$ și $3$ ajung amândoi în $c$ — un element din codomeniu poate primi mai multe săgeți). În Diagrama 2 apar două defecte: din $1$ pleacă două săgeți (are două imagini), iar din $3$ nu pleacă niciuna (nu are imagine). Din oricare dintre aceste motive, nu este funcție. (2 p diagrama 1 cu justificare; 3 p diagrama 2 cu cel puțin un motiv corect.)

Exercițiul 2. Înlocuim pe $x$ în $f (x) = 2 x - 3$ : $f (- 1) = 2 \cdot (- 1) - 3 = - 5$ ; $f (0) = - 3$ ; $f (2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ ; $f (4) = 2 \cdot 4 - 3 = 5$ . (Câte 1,5 p pentru fiecare valoare.)

Exercițiul 3. În $f (x) = - 2 x + 5$ : $f (0) = - 2 \cdot 0 + 5 = 5$ ; $f (3) = - 2 \cdot 3 + 5 = - 6 + 5 = - 1$ ; $f (- 1) = - 2 \cdot (- 1) + 5 = 2 + 5 = 7$ .

Exercițiul 4. Domeniul este mulțimea de plecare: $A = {2, 3, 5}$ . Codomeniul este mulțimea de sosire: $B = {4, 6, 9, 10}$ . Imaginea conține doar valorile efectiv atinse de săgeți: $Im f = {4, 6, 10}$ (elementul $9$ nu este imaginea niciunui element, deci nu intră în imagine).

Exercițiul 5. Calculăm $f (x) = x^{2}$ pe fiecare element: $f (- 2) = 4$ , $f (- 1) = 1$ , $f (0) = 0$ , $f (1) = 1$ , $f (2) = 4$ . Imaginea reține fiecare valoare o singură dată: $Im f = {0, 1, 4}$ . (Observație: $- 2$ și $2$ au aceeași imagine, $4$ — este permis într-o funcție.)

Exercițiul 6. Prima coordonată (abscisa) se citește pe orizontală, a doua (ordonata) pe verticală. $A$ : 3 dreapta, 2 sus $\Rightarrow A (3, 2)$ . $B$ : 2 stânga, 1 sus $\Rightarrow B (- 2, 1)$ . $C$ este pe axa $O y$ , la 3 sub origine $\Rightarrow C (0, - 3)$ .

Exercițiul 7. $M (2, 3)$ : ambele coordonate pozitive $\Rightarrow$ cadranul I. $N (- 1, - 2)$ : ambele negative $\Rightarrow$ cadranul III. $P (0, 4)$ : abscisa este $0$ , deci punctul se află pe axa $O y$ (nu aparține niciunui cadran). (Câte 2 p pentru $M$ și $N$ corect plasate cu cadran; 1 p pentru observația despre $P$ .)

Exercițiul 8. a) La taxa fixă de $5$ lei se adaugă $3$ lei pe oră, deci $c (x) = 5 + 3 x$ . b) $c (2) = 5 + 3 \cdot 2 = 5 + 6 = 11$ lei; $c (5) = 5 + 3 \cdot 5 = 5 + 15 = 20$ lei. c) Da: pentru fiecare număr de ore corespunde un singur cost, deci costul depinde funcțional de numărul de ore.

Exercițiul 9. Un punct $(x_{0}, y_{0})$ aparține graficului dacă $f (x_{0}) = y_{0}$ . a) $f (4) = 4 - 1 = 3$ , egal cu ordonata $3$ , deci $A (4, 3)$ aparține graficului. b) $f (- 1) = - 1 - 1 = - 2$ , iar ordonata cerută este $1$ ; cum $- 2 \neq = 1$ , punctul $B (- 1, 1)$ nu aparține graficului.

Exercițiul 10. a) $f (x) = 7 \Rightarrow 2 x - 3 = 7 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ . b) $f (x) = - 1 \Rightarrow 2 x - 3 = - 1 \Rightarrow 2 x = 2 \Rightarrow x = 1$ . (Verificare: $f (5) = 7$ , $f (1) = - 1$ .)

Exercițiul 11. De la un $x$ la următorul, $y$ crește cu $3$ ( $5 \to 8 \to 11 \to 14$ ), deci coeficientul lui $x$ este $3$ . Căutăm $b$ astfel încât $3 \cdot 1 + b = 5 \Rightarrow b = 2$ , deci $y = 3 x + 2$ (se verifică: $3 \cdot 4 + 2 = 14$ ). Pentru $x = 10$ : $y = 3 \cdot 10 + 2 = 32$ .

Exercițiul 12. a) A — este chiar definiția funcției: fiecare element din domeniu are o singură imagine. b) A — pot exista în codomeniu elemente care nu sunt atinse de nicio săgeată (ca $9$ la Exercițiul 4). c) F — două elemente diferite pot avea aceeași imagine (ca $- 2$ și $2$ la Exercițiul 5). d) A — când toate elementele codomeniului sunt atinse, imaginea coincide cu codomeniul.

Exercițiul 13. Din tabel: a) $t (12) = 20$ ; b) $t (6) = 8$ ; c) temperatura $1 9^{\circ}$ C apare la ora 15; d) cea mai mare valoare este $2 0^{\circ}$ C; e) imaginea este mulțimea temperaturilor măsurate: ${8, 12, 14, 19, 20}$ .

Exercițiul 14. a) Din grafic, la $x = 1$ dreapta trece prin $(1, 3)$ , deci $f (1) = 3$ . b) Valoarea $f (x) = 5$ se atinge în punctul $(2, 5)$ , deci $x = 2$ . c) Graficul taie axa $O y$ în $(0, 1)$ , deci $f (0) = 1$ .

Exercițiul 15. a) $f (- 2) = - 2 + 2 = 0$ ; $f (0) = 0 + 2 = 2$ ; $f (1) = 1 + 2 = 3$ . b) Se reprezintă punctele $(- 2, 0)$ , $(0, 2)$ , $(1, 3)$ și se trasează dreapta prin ele (graficul funcției $f (x) = x + 2$ ). (3 p tabelul corect; 3 p punctele plasate corect și dreapta trasată.)

Exercițiul 16. a) Din diagramă: $f (a) = 2$ , $f (b) = 5$ , $f (c) = 2$ , $f (d) = 3$ . b) Imaginea reține valorile atinse: $Im f = {2, 3, 5}$ (elementele $1$ și $4$ din codomeniu nu sunt imagini). c) Da: $a$ și $c$ au aceeași imagine, valoarea $2$ .

Pentru părinți și profesori

Cum se aplică: testul se dă individual, în scris. Elevul are voie cu creion, riglă și, la itemii de grafic, hârtie milimetrică sau caiet de matematică pentru a trasa axele și a marca punctele. Nu este permis calculatorul — cifrele sunt alese pentru calcul mintal simplu.
Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 90 pe itemi și 10 din oficiu. Baremul detaliat, cu punctajul fiecărui subpunct, se află la finalul testului.
Timp recomandat: 45–50 de minute. Pentru clasele de Evaluare Națională, se poate cronometra pentru a exersa ritmul de lucru.
Sugestie de corectare: la itemii de tip adevărat/fals și la cei de justificare, punctați motivarea, nu doar răspunsul final. La grafice, acceptați orice reprezentare corectă a punctelor, chiar dacă dreapta nu este perfect trasată cu rigla.