Test: operații cu numere raționale

Disciplina: Matematică · Clasa: a VI-a · Unitatea: Mulțimea numerelor raționale ℚ

Exerciții

Exercițiul 1 (5 puncte)

Scrie fiecare număr sub formă de fracție ordinară ireductibilă (cu numitor pozitiv):

a) $0,75$ b) $-1,2$ c) $\frac{-15}{20}$ d) $0,(3)$ e) $\frac{14}{-21}$

Exercițiul 2 (5 puncte)

Pentru numărul rațional $a=-\frac{3}{4}$:

a) scrie opusul lui $a$; b) scrie modulul lui $a$, adică $\left|a\right|$; c) precizează inversul lui $a$ (răsturnatul); d) așază pe axă, în ordine, numerele $a$, $-a$ și $0$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Compară numerele, completând cu unul dintre semnele $<$, $=$ sau $>$:

a) $-\frac{2}{3}\square -\frac{3}{4}$ b) $-0,5\square -\frac{1}{2}$ c) $\frac{7}{8}\square \frac{5}{6}$

Exercițiul 4 (5 puncte)

Ordonează crescător numerele raționale:

$$-1,5;\frac{3}{4};-\frac{1}{2};0;\frac{5}{4};-\frac{7}{4}$$

Exercițiul 5 (6 puncte)

Calculează:

a) $\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)$ b) $-\frac{2}{3}-\left(-\frac{5}{6}\right)$ c) $-2,4+1,75$

Exercițiul 6 (6 puncte)

Calculează:

a) $\left(-\frac{4}{9}\right)\cdot \frac{3}{8}$ b) $-\frac{5}{6}:\left(-\frac{10}{3}\right)$ c) $(-1,5)\cdot (-0,4)$

Exercițiul 7 (6 puncte)

Calculează puterile (rezultatul ca fracție ireductibilă):

a) ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3$ b) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}$ c) ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-3}$

Exercițiul 8 (6 puncte)

Respectând ordinea operațiilor, calculează:

$$E=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{2}{9}\right)-\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Exercițiul 9 (6 puncte)

Calculează, folosind ordinea operațiilor și puterile:

$$F={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-3\right)}^0-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\cdot \frac{1}{2}$$

Exercițiul 10 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt:

a) „Opusul oricărui număr rațional negativ este un număr pozitiv." b) „Dacă $\left|x\right|=\left|y\right|$, atunci în mod obligatoriu $x=y$." c) „Pentru orice număr rațional nenul $a$, avem $a^{-2}=\frac{1}{a^2}$."

Exercițiul 11 (6 puncte)

Rezolvă în ℚ ecuațiile:

a) $x-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$ b) $\frac{3}{4}x=-\frac{9}{8}$

Exercițiul 12 (7 puncte)

Rezolvă în ℚ ecuația și verifică soluția:

$$2x+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}-x$$

Exercițiul 13 (6 puncte)

Un magazin online afișează produsul la $120$ lei. La promoție, prețul scade cu $\frac{1}{4}$ din valoare, iar la casă se mai aplică o reducere de $0,1$ (adică $10\%$) din prețul deja redus.

a) Cât costă produsul după prima reducere? b) Cât plătește în final clientul?

Exercițiul 14 (7 puncte)

Temperatura la o stație meteo a fost dimineața $-2,5^{\circ }\mathrm{C}$. Până la prânz a crescut cu ${\frac{15}{4}}^{\circ }\mathrm{C}$, iar seara a scăzut cu $1,75^{\circ }\mathrm{C}$ față de valoarea de la prânz.

a) Ce temperatură s-a înregistrat la prânz? b) Ce temperatură s-a înregistrat seara? c) Cu cât diferă temperatura de seara față de cea de dimineața?

Exercițiul 15 (7 puncte)

Andrei a citit într-o zi $\frac{1}{3}$ dintr-o carte, iar a doua zi încă $\frac{2}{5}$ din întreaga carte. Au mai rămas necitite $48$ de pagini.

a) Ce fracție din carte reprezintă cele $48$ de pagini rămase? b) Câte pagini are cartea? (Indicație: scrie și rezolvă o ecuație.)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 p = 90 p pe itemi + 10 p din oficiu. Nota = punctaj ÷ 10. Pentru itemii cu mai multe subpuncte, punctajul se împarte în mod egal, dacă nu se precizează altfel; un calcul corect, dar fără simplificare finală, se depunctează parțial.

Exercițiul 1 (5 p) — câte 1 p / subpunct.

a) $0,75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$ b) $-1,2=-\frac{12}{10}=-\frac{6}{5}$ c) $\frac{-15}{20}=-\frac{3}{4}$ (împărțire la 5) d) $0,(3)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ e) $\frac{14}{-21}=-\frac{14}{21}=-\frac{2}{3}$

Exercițiul 2 (5 p) — a) 1 p, b) 1 p, c) 1 p, d) 2 p.

a) Opusul lui $-\frac{3}{4}$ este $\frac{3}{4}$. b) $\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$. c) Inversul lui $-\frac{3}{4}$ este $-\frac{4}{3}$ (deoarece $-\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=1$). d) Pe axă: $a=-\frac{3}{4}$ în stânga lui $0$, iar $-a=\frac{3}{4}$ în dreapta lui $0$, simetrice față de origine. Ordinea: $-\frac{3}{4}<0<\frac{3}{4}$.

Exercițiul 3 (6 p) — câte 2 p / subpunct.

a) Aducem la numitor comun 12: $-\frac{2}{3}=-\frac{8}{12}$, $-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12}$. Cum $-8>-9$: $$-\frac{2}{3}>-\frac{3}{4}$$ b) $-0,5=-\frac{1}{2}$, deci $-0,5=-\frac{1}{2}$. c) Numitor comun 24: $\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$, $\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$, deci $\frac{7}{8}>\frac{5}{6}$.

Exercițiul 4 (5 p) — ordonare corectă completă 5 p; o singură inversiune −2 p.

Transformăm în pătrimi: $-1,5=-\frac{6}{4}$, $-\frac{1}{2}=-\frac{2}{4}$, $0=\frac{0}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{4}$, $-\frac{7}{4}$.

Ordinea crescătoare: $$-\frac{7}{4}<-1,5<-\frac{1}{2}<0<\frac{3}{4}<\frac{5}{4}$$

Exercițiul 5 (6 p) — câte 2 p / subpunct.

a) $\frac{3}{5}-\frac{7}{10}=\frac{6}{10}-\frac{7}{10}=-\frac{1}{10}$ b) $-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=-\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$ c) $-2,4+1,75=-(2,4-1,75)=-0,65$

Exercițiul 6 (6 p) — câte 2 p / subpunct.

a) $\left(-\frac{4}{9}\right)\cdot \frac{3}{8}=-\frac{4\cdot 3}{9\cdot 8}=-\frac{12}{72}=-\frac{1}{6}$ b) $-\frac{5}{6}:\left(-\frac{10}{3}\right)=-\frac{5}{6}\cdot \left(-\frac{3}{10}\right)=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$ c) $(-1,5)\cdot (-0,4)=0,60=0,6$

Exercițiul 7 (6 p) — câte 2 p / subpunct.

a) ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3=-\frac{2^3}{3^3}=-\frac{8}{27}$ (exponent impar → semn negativ) b) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}={\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}$ c) ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-3}={\left(-\frac{2}{1}\right)}^3=(-2{)}^3=-8$

Exercițiul 8 (6 p) — înmulțirea înaintea adunării 2 p, aducere la numitor comun 2 p, rezultat final 2 p.

Întâi înmulțirea: $\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{2}{9}\right)=-\frac{6}{36}=-\frac{1}{6}$.

$$E=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}$$

Numitor comun 6: $\frac{3}{6}-\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

$$\boxed{E=\frac{2}{3}}$$

Exercițiul 9 (6 p) — puterile corecte 3 p (${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$; $(-3{)}^0=1$; ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}=\frac{3}{2}$), înmulțirea 1 p, rezultat final 2 p.

$$F=\frac{1}{4}+1-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}+1-\frac{3}{4}$$

Numitor comun 4: $\frac{1}{4}+\frac{4}{4}-\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

$$\boxed{F=\frac{1}{2}}$$

Exercițiul 10 (6 p) — câte 2 p / subpunct (1 p răspuns A/F + 1 p justificare).

a) A. Opusul unui număr negativ este pozitiv: de exemplu opusul lui $-\frac{2}{5}$ este $\frac{2}{5}>0$. b) F. $\left|x\right|=\left|y\right|$ înseamnă $x=y$ sau $x=-y$. Contraexemplu: $\left|3\right|=\left|-3\right|$, dar $3\ne -3$. c) A. Prin definiția puterii cu exponent întreg negativ: $a^{-2}=\frac{1}{a^2}$ pentru orice $a\ne 0$.

Exercițiul 11 (6 p) — a) 3 p, b) 3 p.

a) $x=\frac{5}{6}+\frac{2}{3}=\frac{5}{6}+\frac{4}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. b) $x=-\frac{9}{8}:\frac{3}{4}=-\frac{9}{8}\cdot \frac{4}{3}=-\frac{36}{24}=-\frac{3}{2}$.

Exercițiul 12 (7 p) — grupare termeni 2 p, soluție 3 p, verificare 2 p.

$$2x+x=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}\Rightarrow 3x=\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$ $$x=\frac{1}{2}:3=\frac{1}{6}$$

Verificare: membrul stâng $2\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$; membrul drept $\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Egale ✓.

$$\boxed{x=\frac{1}{6}}$$

Exercițiul 13 (6 p) — a) 3 p, b) 3 p.

a) Reducerea cu $\frac{1}{4}$ înseamnă păstrarea a $\frac{3}{4}$ din preț: $$120\cdot \frac{3}{4}=90\text{ lei.}$$ b) A doua reducere de $10\%$ înseamnă păstrarea a $90\%$ ($0,9$): $$90\cdot 0,9=81\text{ lei.}$$ Clientul plătește 81 lei.

Exercițiul 14 (7 p) — a) 3 p, b) 2 p, c) 2 p.

a) Prânz: $-2,5+\frac{15}{4}=-\frac{10}{4}+\frac{15}{4}=\frac{5}{4}=1,25^{\circ }\mathrm{C}$. b) Seara: $1,25-1,75=-0,5^{\circ }\mathrm{C}$. c) Diferența seara − dimineața: $-0,5-(-2,5)=-0,5+2,5=2^{\circ }\mathrm{C}$ (seara e cu $2^{\circ }\mathrm{C}$ mai cald decât dimineața).

Exercițiul 15 (7 p) — a) 3 p, b) 4 p.

a) Fracția citită în cele două zile: $\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}$. Rămân necitite: $1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$ din carte.

b) Fie $n$ numărul total de pagini. Atunci $\frac{4}{15}n=48$, deci $$n=48:\frac{4}{15}=48\cdot \frac{15}{4}=12\cdot 15=180\text{ pagini.}$$ Cartea are 180 de pagini.

Test elaborat pentru clasa a VI-a, în conformitate cu programa școlară de matematică din România, unitatea „Mulțimea numerelor raționale ℚ".

Pentru părinți

Acest test verifică temeinic cât de bine stăpânește copilul operațiile cu numere raționale (fracții și numere zecimale, pozitive și negative): forme de scriere, opus și modul, comparare și ordonare, cele patru operații, puteri cu exponent întreg și ordinea efectuării operațiilor în ℚ, plus ecuații simple.

• Cum se aplică: copilul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Toate calculele se fac „de mână", cu transformarea numerelor zecimale în fracții ordinare acolo unde este util.
• Punctaj total: 100 de puncte (din care 10 puncte din oficiu). Nota se obține împărțind punctajul la 10.
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Sugestie: după corectare, reluați împreună itemii greșiți folosind baremul explicat de la final — fiecare răspuns are pașii de rezolvare.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Punctajul maxim este 100 de puncte.