Test pedagogic: operații cu matrice

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Matrice

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră matricea $A = (40 - 1 5 7 - 3)$ . Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „ $A$ este o matrice pătratică”; b) „ $a_{23} = - 3$ ”; c) „ $a_{32} = 5$ ”; d) „ $A$ are 5 elemente”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(2 x + y - 4 9 3 x - 2 y) = (13 - 4 92)$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se dau matricele $A = (7 - 5 - 3 2)$ și $B = (41 - 6 - 8)$ . Calculează $3 A - 2 B$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se dau matricele $A = (20 - 1 4 3 - 2)$ și $B = 1 - 3 4 520$ . Calculează $A \cdot B$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră matricea $A = (58 - 3 - 5)$ . Calculează $A^{2} = A \cdot A$ și deduce produsul $A \cdot A \cdot A$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se dau matricele $A = (6013)$ și $B = (m 0 25)$ , unde $m$ este un număr real. Determină $m$ pentru care $A \cdot B = B \cdot A$ .

Partea a II-a – Situații din școală și din grădiniță (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

O grădiniță are două grupe, cea mică și cea mare. Educatoarele notează câte cutii de plastilină, cutii de creioane colorate și blocuri de desen consumă fiecare grupă, cu grupele pe linii și materialele pe coloane, în această ordine. În septembrie consumul a fost $P = (121518222530)$ , iar în octombrie $Q = (141716273134)$ .

a) (5 puncte) Calculează matricea $S = P + Q$ și spune ce arată elementul $s_{13}$ .

b) (5 puncte) Calculează matricea $D = Q - P$ . La ce grupă și la ce material a scăzut consumul din septembrie în octombrie? Cu câte blocuri de desen s-au folosit mai multe în octombrie, la ambele grupe la un loc?

Exercițiul 8 (10 puncte)

O elevă de la liceul pedagogic, la practica pedagogică, planifică trei feluri de activități la o clasă pregătitoare: lectură (L), joc didactic (J) și desen (D). Matricea $A = (211332)$ dă numărul de activități din fiecare fel, cu zilele luni și marți pe linii și activitățile pe coloane, în ordinea L, J, D. Matricea $T = 203525102$ dă, pentru fiecare activitate (pe linii, în aceeași ordine), durata în minute și numărul de fișe primite de un copil.

a) (5 puncte) Calculează $A \cdot T$ și spune ce arată elementele de pe linia a doua a rezultatului.

b) (5 puncte) Miercuri, eleva planifică o lectură, $x$ jocuri didactice și două activități de desen. Calculează produsul $(1 x 2) \cdot T$ și află $x$ , știind că activitățile durează în total 140 de minute. Câte fișe primește un copil miercuri?

Exercițiul 9 (10 puncte)

Într-o fișă de lucru, un elev a scris că pentru orice matrice pătratice $A$ și $B$ de ordinul doi are loc formula $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ . Profesorul îi cere să verifice formula pe matricele $A = (10 4 - 1)$ și $B = (0311)$ .

a) (5 puncte) Calculează $A + B$ și $(A + B)^{2}$ .

b) (5 puncte) Calculează $A \cdot B$ și $B \cdot A$ . Arată că $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ , dar $(A + B)^{2} \neq = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ , și spune de ce formula elevului nu este adevărată pentru aceste matrice.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (x) = (x + 3 - 4 1 x - 3)$ , unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $A (1) + A (5) = 2 A (3)$ .

b) (5 puncte) Determinați numărul real $k$ pentru care $A (4) \cdot A (- 4) = k I_{2}$ .

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $A (x) \cdot A (x) = 2 x A (0) + 14 I_{2}$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Se consideră matricele $A = (32 - 1 1)$ și $B = (1 - 2 40)$ .

a) (5 puncte) Calculați $2 A - 3 B$ .

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $x A + y B = (7222)$ .

c) (5 puncte) Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $A \cdot B - B \cdot A = 3 X$ .

Barem și răspunsuri

În barem, rezolvările sunt scrise pas cu pas, iar punctul fiecărui pas apare între paranteze; o rezolvare corectă, dar diferită, e tratată la fel, iar rezultatele finale sunt îngroșate. Se acordă 10 puncte din oficiu. La Partea a III-a, un răspuns corect, dar fără drumul spre el, nu ia punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Matricea $A$ are 2 linii și 3 coloane, deci are $2 \cdot 3 = 6$ elemente, nu 5, și nu este pătratică, fiindcă $2 \neq = 3$ (2 p). Elementul $a_{32}$ ar sta pe linia a treia, dar $A$ are numai două linii, deci afirmația despre $a_{32}$ nu are sens (1 p). Elementul $a_{23}$ stă pe linia a doua și coloana a treia: este $- 3$ , deci răspunsul este $b)$ (2 p). Verificare: pe linia a doua sunt, în ordine, $0$ , $5$ și $- 3$ ; numărul 5 este $a_{22}$ .

Exercițiul 2.

Elementele de pe aceleași poziții sunt egale: pozițiile $(1, 2)$ și $(2, 1)$ dau $9 = 9$ și $- 4 = - 4$ , iar pozițiile $(1, 1)$ și $(2, 2)$ dau sistemul $2 x + y = 13$ , $3 x - 2 y = 2$ (2 p). Înmulțind prima ecuație cu 2 și adunând-o cu a doua, obținem $7 x = 28$ , deci $x = 4$ (2 p). Atunci $y = 13 - 2 \cdot 4 = 5$ (1 p). Verificare: $3 \cdot 4 - 2 \cdot 5 = 2$ , ca pe poziția $(2, 2)$ din dreapta.

Exercițiul 3.

Matricele au aceeași dimensiune, $2 \times 2$ , deci diferența există (1 p). $3 A = (21 - 15 - 9 6)$ și $2 B = (82 - 12 - 16)$ (2 p). Scăzând element cu element, $3 A - 2 B = (13 - 17 322)$ (2 p). Verificare: pe poziția $(2, 2)$ , $3 \cdot 2 - 2 \cdot (- 8) = 6 + 16 = 22$ ; cine uită că scade un număr negativ obține $6 - 16 = - 10$ .

Exercițiul 4.

$A$ are dimensiunea $2 \times 3$ , iar $B$ are $3 \times 2$ ; numărul coloanelor lui $A$ este egal cu numărul liniilor lui $B$ , deci produsul există și are dimensiunea $2 \times 2$ (1 p). Pe prima linie, $2 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 3) + 3 \cdot 4 = 2 + 3 + 12 = 17$ și $2 \cdot 5 + (- 1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 = 8$ (2 p). Pe a doua linie, $0 \cdot 1 + 4 \cdot (- 3) + (- 2) \cdot 4 = - 20$ și $0 \cdot 5 + 4 \cdot 2 + (- 2) \cdot 0 = 8$ , deci $A \cdot B = (17 - 20 88)$ (2 p). Verificare: produsul în ordinea inversă, $B \cdot A$ , are dimensiunea $3 \times 3$ , deci nici nu poate fi egal cu $A \cdot B$ .

Exercițiul 5.

$A^{2} = (5 \cdot 5 + (- 3) \cdot 8 8 \cdot 5 + (- 5) \cdot 8 5 \cdot (- 3) + (- 3) \cdot (- 5) 8 \cdot (- 3) + (- 5) \cdot (- 5))$ (1 p), adică $A^{2} = (1001) = I_{2}$ (2 p). Atunci $A \cdot A \cdot A = (A \cdot A) \cdot A = I_{2} \cdot A$ , deci $A \cdot A \cdot A = A = (58 - 3 - 5)$ (2 p). Verificare: înmulțirea matricelor este asociativă, deci se poate grupa și $A \cdot (A \cdot A) = A \cdot I_{2} = A$ .

Exercițiul 6.

$A \cdot B = (6 m 0 6 \cdot 2 + 1 \cdot 5 15) = (6 m 0 1715)$ (2 p). $B \cdot A = (6 m 0 m \cdot 1 + 2 \cdot 3 15) = (6 m 0 m + 6 15)$ (2 p). Matricele sunt egale când $m + 6 = 17$ , adică $m = 11$ (1 p). Verificare: pentru $m = 11$ , ambele produse sunt $(6601715)$ .

Exercițiul 7.

a) (5 p) Matricele $P$ și $Q$ au aceeași dimensiune, $2 \times 3$ , deci se adună element cu element (1 p). $S = P + Q = (263234495664)$ (2 p). Elementul $s_{13}$ stă pe prima linie (grupa mică) și pe coloana a treia (blocurile de desen): grupa mică a folosit în cele două luni $56$ de blocuri de desen (2 p).

b) (5 p) $D = Q - P = (22 - 2 5 64)$ (2 p). Singurul element negativ este $d_{12} = - 2$ : la grupa mică s-au folosit cu 2 cutii de creioane colorate mai puțin (1 p). Blocurile de desen sunt pe coloana a treia, deci în octombrie s-au folosit cu $6 + 4 = 10$ blocuri mai multe (2 p). Verificare: $25 + 30 = 55$ de blocuri în septembrie și $31 + 34 = 65$ în octombrie, iar $65 - 55 = 10$ .

Exercițiul 8.

a) (5 p) $A$ are dimensiunea $2 \times 3$ , iar $T$ are $3 \times 2$ , deci $A \cdot T$ există și are dimensiunea $2 \times 2$ (1 p). Pe prima linie, $2 \cdot 20 + 1 \cdot 35 + 3 \cdot 25 = 150$ și $2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 8$ ; pe a doua, $1 \cdot 20 + 3 \cdot 35 + 2 \cdot 25 = 175$ și $1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 5$ , deci $A \cdot T = (15017585)$ (2 p). Linia a doua privește ziua de marți: activitățile durează în total 175 de minute, iar un copil primește 5 fișe (2 p).

b) (5 p) $(1 x 2) \cdot T = (20 + 35 x + 50 1 + 0 + 4) = (70 + 35 x 5)$ (2 p). Durata totală dă $70 + 35 x = 140$ , deci $x = 2$ jocuri didactice (2 p). Un copil primește miercuri $5$ fișe (1 p). Verificare: $20 + 2 \cdot 35 + 2 \cdot 25 = 140$ de minute.

Exercițiul 9.

a) (5 p) $A + B = (1350)$ (2 p). $(A + B)^{2} = (1 \cdot 1 + 5 \cdot 3 3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 1 \cdot 5 + 5 \cdot 0 3 \cdot 5 + 0 \cdot 0) = (163515)$ (3 p).

b) (5 p) $A \cdot B = (12 - 3 5 - 1)$ și $B \cdot A = (03 - 1 11)$ (2 p). Cu $A^{2} = I_{2}$ și $B^{2} = (3314)$ , suma $A^{2} + A B + B A + B^{2} = (1 + 12 + 0 + 3 0 - 3 + 3 + 3 0 + 5 - 1 + 1 1 - 1 + 11 + 4) = (163515) = (A + B)^{2}$ (2 p). În schimb, $A^{2} + 2 A B + B^{2} = (28 - 3 113) \neq = (A + B)^{2}$ : formula elevului înlocuiește $A B + B A$ cu $2 A B$ , ceea ce ar fi corect numai dacă $A B = B A$ , iar aici $A B \neq = B A$ (1 p).

Exercițiul 10.

a) (5 p) $A (1) = (4 - 4 1 - 2)$ și $A (5) = (8 - 4 12)$ , deci $A (1) + A (5) = (12 - 8 20)$ (3 p). $A (3) = (6 - 4 10)$ , iar $2 A (3) = (12 - 8 20)$ , deci egalitatea este adevărată (2 p).

b) (5 p) $A (4) = (7 - 4 11)$ și $A (- 4) = (- 1 - 4 1 - 7)$ , iar $A (4) \cdot A (- 4) = (- 7 - 4 4 - 4 7 - 7 - 4 - 7) = (- 11 0 0 - 11)$ (3 p). Aceasta este $- 11 I_{2}$ , deci $k = - 11$ (2 p).

c) (5 p) $A (x) \cdot A (x) = ((x + 3)^{2} - 4 - 4 (x + 3) - 4 (x - 3) (x + 3) + (x - 3) - 4 + (x - 3)^{2}) = (x^{2} + 6 x + 5 - 8 x 2 x x^{2} - 6 x + 5)$ , iar $2 x A (0) + 14 I_{2} = (6 x + 14 - 8 x 2 x - 6 x + 14)$ (3 p). Pozițiile $(1, 2)$ și $(2, 1)$ coincid pentru orice $x$ ; poziția $(1, 1)$ dă $x^{2} + 6 x + 5 = 6 x + 14$ , adică $x^{2} = 9$ , deci $x = - 3$ sau $x = 3$ , iar poziția $(2, 2)$ dă aceeași ecuație (2 p). Verificare: pentru $x = 3$ , $A (3) \cdot A (3) = (32 - 24 6 - 4)$ și $6 A (0) + 14 I_{2} = (32 - 24 6 - 4)$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) $2 A = (64 - 2 2)$ și $3 B = (3 - 6 120)$ (2 p), deci $2 A - 3 B = (310 - 14 2)$ (3 p).

b) (5 p) $x A + y B = (3 x + y 2 x - 2 y - x + 4 y x)$ (2 p). Poziția $(2, 2)$ dă $x = 2$ , iar poziția $(1, 1)$ dă $6 + y = 7$ , deci $y = 1$ (2 p). Verificare pe celelalte poziții: $- 2 + 4 = 2$ și $4 - 2 = 2$ , deci valorile găsite sunt bune (1 p).

c) (5 p) $A \cdot B = (50128)$ și $B \cdot A = (11 - 6 32)$ (2 p). $A \cdot B - B \cdot A = (- 6 6 96)$ (1 p), iar $X = \frac{1}{3} (- 6 6 96) = (- 2 2 32)$ (2 p). Verificare: $3 X = (- 6 6 96)$ ; o matrice $X$ nenulă arată încă o dată că $A B \neq = B A$ .

Pentru părinți și profesori

Testul verifică prima unitate a clasei a XII-a la profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare: matricea ca tabel de date și operațiile cu matrice. Se sprijină pe șase lecții din traseul clasei: „Tablouri de date și noțiunea de matrice”, „Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor”, „Adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr (M2, științe ale naturii)”, „Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul”, „Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea” și „Înmulțirea matricelor și ordinea factorilor (M2, științe ale naturii)”. Determinanții sunt verificați de testul următor, iar matricele inversabile, ecuațiile matriceale și sistemele, de testele de după el.

Punctaj: 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu, cu un maximum de 100 de puncte.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: testul se lucrează individual, pe foaie, fără calculator; toate rezultatele ies exacte. La Partea a III-a contează și calculul scris, nu doar răspunsul. Ghidajul desparte fiecare exercițiu în etape mici: întâi o întrebare cu variante, apoi câte un număr de aflat, iar fiecare variantă greșită spune unde a apărut greșeala; îl pornești când un exercițiu nu iese.
La 90–100 de puncte: unitatea e stăpânită, poți trece la determinanți.
La 75–89 de puncte: refă cu ghidajul doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
La 60–74 de puncte: revezi lecțiile din ultima coloană a tabelului pentru exercițiile la care ai strâns mai puțin de jumătate dintre puncte, apoi repeți testul peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: reia cele șase lecții, în ordinea de mai sus, și lucrează testul din nou, cu ghidajul pornit de la primul pas.
Formule de reținut: două matrice sunt egale când au aceeași dimensiune și elementele de pe aceleași poziții egale; $A + B = (a_{ij} + b_{ij})$ și $k A = (k a_{ij})$ , pentru matrice de aceeași dimensiune; produsul $A \cdot B$ există numai când numărul coloanelor lui $A$ este egal cu numărul liniilor lui $B$ , iar $(A B)_{ij}$ se obține înmulțind linia $i$ a lui $A$ cu coloana $j$ a lui $B$ , termen cu termen, și adunând produsele; în general $A B \neq = B A$ , de aceea $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ ; $A^{2} = A \cdot A$ (produsul matricei cu ea însăși), iar $I_{2} = (1001)$ verifică $A \cdot I_{2} = I_{2} \cdot A = A$ .

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 2	elementele unei matrice, egalitatea a două matrice	Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor (pentru 1, și lecția „Tablouri de date și noțiunea de matrice”)
3, 7	suma, diferența și înmulțirea cu un număr	Adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr (M2, științe ale naturii)
4, 8	produsul a două matrice și dimensiunea lui	Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul
6, 9	ordinea factorilor în produs	Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea
5, 10	produsul unei matrice pătratice cu ea însăși	Înmulțirea matricelor și ordinea factorilor (M2, științe ale naturii)
11	combinații de matrice și produsul pe model de examen	Adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr (M2, științe ale naturii), apoi lecția despre necomutativitate

Exercițiile 10 și 11 au marcajul „tip Bacalaureat M4” și sunt scrise pe conținutul Subiectului al III-lea din proba M_pedagogic: mai multe cerințe despre aceleași matrice de ordinul doi, de tipul celor din probe, dar cu alte matrice și alte numere decât în probele oficiale. La examen, Subiectul al III-lea este o singură problemă cu șase cerințe de câte 5 puncte (forma din testul recapitulativ al clasei); aici sunt două probleme mai scurte, cu câte trei subpuncte. Determinantul, nelipsit din probele reale, lipsește aici intenționat: el face obiectul testului următor.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen M_pedagogic pentru Bacalaureatul din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 4: OMEC 5959/2006). Matricele se cer la Subiectul al III-lea. În cele 60 de probe oficiale M_pedagogic din 2013–2026, operațiile cu matrice au apărut în toate cele 60; după modelul din 2014, Subiectul al III-lea nu a mai folosit matrice de ordinul trei. Pentru elevii care dau Bacalaureatul din 2030, planul-cadru nou (OMEC 4152/2026) dă profilului pedagogic matematică în trunchiul comun numai la clasele a IX-a și a X-a, iar matematica rămâne o probă la alegere (OMEC 4138/2026); testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.