Test: Operații cu litere și reducerea termenilor asemenea

Clasa a VIII-a · Matematică · Calcul algebric. Formule de calcul prescurtat

Exerciții

Exercițiul 1 (4 puncte)

Reduceți termenii asemenea: $7 x - 3 y + 2 x + 5 y - x .$

Exercițiul 2 (4 puncte)

Efectuați adunarea, apoi reduceți termenii asemenea: $(3 a^{2} - 2 a + 5) + (- a^{2} + 4 a - 7) .$

Exercițiul 3 (5 puncte)

Efectuați scăderea (atenție la semne la eliminarea parantezei): $(5 x^{2} + 3 x - 4) - (2 x^{2} - x + 6) .$

Exercițiul 4 (5 puncte)

Efectuați înmulțirea monomului cu polinomul: $3 x \cdot (2 x^{2} - 4 x + 5) .$

Exercițiul 5 (5 puncte)

Efectuați împărțirea polinomului la monom: $(12 a^{4} - 8 a^{3} + 4 a^{2}) : (4 a^{2}) .$

Exercițiul 6 (4 puncte)

Ridicați la putere: $(- 2 x^{2} y)^{3} .$

Exercițiul 7 (5 puncte)

Dezvoltați, folosind formula pătratului unei sume: $(x + 5)^{2} .$

Exercițiul 8 (5 puncte)

Dezvoltați, folosind formula pătratului unei diferențe: $(2 a - 3)^{2} .$

Exercițiul 9 (5 puncte)

Efectuați, folosind produsul sumei cu diferența: $(3 x - 4) (3 x + 4) .$

Exercițiul 10 (5 puncte)

Folosind o formulă de calcul prescurtat (fără a înmulți „în coloană"), calculați rapid:

a) $10 3^{2}$ ; b) $9 8^{2}$ ; c) $49 \cdot 51$ .

Exercițiul 11 (5 puncte)

Pentru fiecare afirmație, scrieți Adevărat sau Fals și justificați printr-un calcul:

a) $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ ;

b) $(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 9$ ;

c) $5 x^{2} + 3 x^{2} = 8 x^{4}$ ;

d) $(- 2 a)^{3} = - 8 a^{3}$ .

Exercițiul 12 (6 puncte)

Aduceți la forma cea mai simplă expresia, folosind formulele de calcul prescurtat: $(x + 4)^{2} - (x - 4)^{2} .$

Exercițiul 13 (5 puncte)

Aduceți la forma cea mai simplă expresia: $(2 x + 3)^{2} - (2 x - 3) (2 x + 3) .$

Exercițiul 14 (6 puncte)

Un dreptunghi are lungimea $(2 x + 3)$ cm și lățimea $(x - 1)$ cm.

a) Scrieți perimetrul dreptunghiului, adus la forma cea mai simplă.

b) Scrieți aria dreptunghiului, ca polinom desfăcut și redus.

c) Calculați perimetrul și aria pentru $x = 5$ .

Exercițiul 15 (5 puncte)

Latura unui pătrat se mărește de la $a$ cm la $(a + 3)$ cm.

a) Scrieți aria pătratului mare, folosind o formulă de calcul prescurtat.

b) Cu cât crește aria (aria pătratului mare minus aria pătratului mic)? Aduceți rezultatul la forma cea mai simplă.

Exercițiul 16 (5 puncte)

Arătați, folosind formulele de calcul prescurtat, că pentru orice număr natural $n$ expresia $E = (n + 1)^{2} - (n - 1)^{2}$ este divizibilă cu 4.

Exercițiul 17 (6 puncte)

Se dă expresia $E (x) = (x + 2)^{2} - 4$ .

a) Dezvoltați parantezele și reduceți termenii asemenea.

b) Scrieți expresia obținută ca produs de doi factori (dați factor comun).

c) Aflați numerele reale $x$ pentru care $E (x) = 0$ .

Exercițiul 18 (5 puncte)

Despre două numere reale $a$ și $b$ se știe că $a + b = 7$ și $a \cdot b = 10$ . Folosind formula pătratului unei sume, aflați valoarea expresiei $a^{2} + b^{2}$ (fără a afla numerele $a$ și $b$ ).

Barem și răspunsuri

Punctaj din oficiu: 10 puncte. Total item i: 90 de puncte. La cerințele de justificare se punctează raționamentul corect chiar dacă rezultatul final are o eroare de calcul izolată, la latitudinea profesorului.

Exercițiul 1. (4 p) Grupăm termenii asemenea: $(7 + 2 - 1) x + (- 3 + 5) y$ . $8 x + 2 y$ (2 p termenii în $x$ , 2 p termenii în $y$ .)

Exercițiul 2. (4 p) Eliminăm paranteza (semn $+$ , termenii rămân neschimbați) și reducem: $3 a^{2} - a^{2} = 2 a^{2}, - 2 a + 4 a = 2 a, 5 - 7 = - 2.$ $2 a^{2} + 2 a - 2$

Exercițiul 3. (5 p) Eliminăm paranteza cu minus (schimbăm toate semnele din a doua paranteză): $5 x^{2} + 3 x - 4 - 2 x^{2} + x - 6.$ Reducem: $3 x^{2} + 4 x - 10$ . $3 x^{2} + 4 x - 10$ (2 p schimbarea corectă a semnelor, 3 p reducerea.)

Exercițiul 4. (5 p) Înmulțim monomul cu fiecare termen: $3 x \cdot 2 x^{2} = 6 x^{3}, 3 x \cdot (- 4 x) = - 12 x^{2}, 3 x \cdot 5 = 15 x .$ $6 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x$

Exercițiul 5. (5 p) Împărțim fiecare termen la $4 a^{2}$ : $\frac{12 a ^{4}}{4 a ^{2}} = 3 a^{2}, \frac{- 8 a ^{3}}{4 a ^{2}} = - 2 a, \frac{4 a ^{2}}{4 a ^{2}} = 1.$ $3 a^{2} - 2 a + 1$

Exercițiul 6. (4 p) Ridicăm la puterea a treia fiecare factor: $(- 2)^{3} = - 8$ , $(x^{2})^{3} = x^{6}$ , $y^{3} = y^{3}$ . $- 8 x^{6} y^{3}$

Exercițiul 7. (5 p) $(x + 5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}$ . $x^{2} + 10 x + 25$

Exercițiul 8. (5 p) $(2 a - 3)^{2} = (2 a)^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot 3 + 3^{2} = 4 a^{2} - 12 a + 9$ . $4 a^{2} - 12 a + 9$

Exercițiul 9. (5 p) $(3 x - 4) (3 x + 4) = (3 x)^{2} - 4^{2} = 9 x^{2} - 16$ . $9 x^{2} - 16$

Exercițiul 10. (5 p) Câte $\approx 1, 67$ p pe subpunct.

a) $10 3^{2} = (100 + 3)^{2} = 10000 + 600 + 9 = 10609$ .

b) $9 8^{2} = (100 - 2)^{2} = 10000 - 400 + 4 = 9604$ .

c) $49 \cdot 51 = (50 - 1) (50 + 1) = 5 0^{2} - 1^{2} = 2500 - 1 = 2499$ .

Exercițiul 11. (5 p) Câte $1, 25$ p pe subpunct (verdict + justificare).

a) Fals. $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , lipsește termenul $2 ab$ (de exemplu, pentru $a = b = 1$ : $(1 + 1)^{2} = 4$ , dar $1 + 1 = 2$ ).

b) Adevărat. Este produsul sumei cu diferența: $(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 9$ .

c) Fals. $5 x^{2} + 3 x^{2} = 8 x^{2}$ (la adunarea termenilor asemenea se adună coeficienții, exponentul rămâne 2; exponenții nu se adună).

d) Adevărat. $(- 2 a)^{3} = (- 2)^{3} a^{3} = - 8 a^{3}$ .

Exercițiul 12. (6 p) Dezvoltăm ambele pătrate: $(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16, (x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16.$ Scădem: $x^{2} + 8 x + 16 - x^{2} + 8 x - 16 = 16 x$ . $16 x$ (Alternativ, cu $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ : $4 \cdot x \cdot 4 = 16 x$ .)

Exercițiul 13. (5 p) $(2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$ și $(2 x - 3) (2 x + 3) = 4 x^{2} - 9$ . Scădem: $4 x^{2} + 12 x + 9 - (4 x^{2} - 9) = 12 x + 18$ . $12 x + 18 (= 6 (2 x + 3))$

Exercițiul 14. (6 p) Câte 2 p pe subpunct.

a) $P = 2 [(2 x + 3) + (x - 1)] = 2 (3 x + 2) = 6 x + 4$ cm.

b) $A = (2 x + 3) (x - 1) = 2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3 = 2 x^{2} + x - 3$ cm².

c) Pentru $x = 5$ : $P = 6 \cdot 5 + 4 = 34$ cm; $A = 2 \cdot 25 + 5 - 3 = 52$ cm². (Verificare directă: lungimea $= 13$ , lățimea $= 4$ , deci $P = 2 (13 + 4) = 34$ cm și $A = 13 \cdot 4 = 52$ cm².)

Exercițiul 15. (5 p)

a) Aria pătratului mare: $(a + 3)^{2} = a^{2} + 6 a + 9$ cm². (2 p)

b) Creșterea ariei: $(a + 3)^{2} - a^{2} = a^{2} + 6 a + 9 - a^{2} = 6 a + 9$ cm². (3 p)

Exercițiul 16. (5 p) Folosim formulele: $(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1, (n - 1)^{2} = n^{2} - 2 n + 1.$ $E = (n^{2} + 2 n + 1) - (n^{2} - 2 n + 1) = 4 n .$ Cum $E = 4 n$ , iar $n$ este număr natural, $E$ este un multiplu de 4, deci divizibil cu 4. q.e.d. (3 p dezvoltarea și reducerea la $4 n$ , 2 p concluzia divizibilității.)

Exercițiul 17. (6 p) Câte 2 p pe subpunct.

a) $E (x) = (x + 2)^{2} - 4 = x^{2} + 4 x + 4 - 4 = x^{2} + 4 x$ .

b) Dăm factor comun $x$ : $x^{2} + 4 x = x (x + 4)$ .

c) $E (x) = 0 \Leftrightarrow x (x + 4) = 0$ . Un produs este nul dacă un factor este nul: $x = 0$ sau $x + 4 = 0$ , deci $x = 0 sau x = - 4$ .

Exercițiul 18. (5 p) Din formula pătratului sumei: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , deci $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ . Înlocuim $a + b = 7$ și $ab = 10$ : $a^{2} + b^{2} = 7^{2} - 2 \cdot 10 = 49 - 20 = 29 .$ (3 p scrierea formulei $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ , 2 p calculul.)

Punctaj total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică începutul unității „Calcul algebric. Formule de calcul prescurtat" din programa clasei a VIII-a (OMEN 3393/2017), an de Evaluare Națională. Itemii pornesc de la calcule directe și urcă spre raționament, justificare și probleme aplicate (perimetre, arii, numere), acoperind:

Expresii algebrice – adunarea și scăderea numerelor reale reprezentate prin litere; eliminarea parantezelor.
Reducerea termenilor asemenea – gruparea și însumarea termenilor cu aceeași parte literală.
Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor cu litere (monom cu polinom, împărțirea unui polinom la un monom, puteri de monoame).
Formulele de calcul prescurtat – pătratul unei sume $(a + b)^{2}$ , pătratul unei diferențe $(a - b)^{2}$ , produsul sumei cu diferența $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ și aplicații ale acestora.

Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 18 itemi însumează 90 de puncte.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. La cerințele „justifică", „arată că" sau „adevărat/fals cu motivare" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul final. La itemii cu figură, elevul poate reface desenul pe foaie.
Interpretarea notei (orientativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea de calcul algebric.

Notație folosită: litere precum $a, b, x, y, n$ reprezintă numere reale; termeni asemenea = termeni cu aceeași parte literală (aceleași litere la aceleași puteri), de exemplu $3 x^{2}$ și $- 5 x^{2}$ ; a reduce termenii asemenea înseamnă a-i aduna adunând doar coeficienții. Formule: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ , $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .