Acasă · Clasa a VII-a · Teste · Test: Organizarea datelor, dependențe funcționale și poligonul frecvențelor – clasa a VII-a

Test: Organizarea datelor, dependențe funcționale și poligonul frecvențelor – clasa a VII-a

Exerciții

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se dau mulțimile $A = {2, 4}$ și $B = {1, 3, 5}$ . a) Scrieți toate elementele produsului cartezian $A \times B$ . b) Câte elemente are $A \times B$ ? Dar $B \times A$ ? c) Este adevărat că $A \times B = B \times A$ ? Justificați răspunsul dând un exemplu.

Exercițiul 2 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se dau punctele $A (4, 3)$ , $B (- 2, 5)$ , $C (- 3, - 4)$ , $D (5, - 2)$ , $E (0, - 3)$ și $F (- 4, 0)$ .

Pentru fiecare punct precizați cadranul în care se află sau, dacă este cazul, axa pe care este situat.

Exercițiul 3 (6 puncte)

În reperul cartezian se consideră punctele $A (- 3, 1)$ , $B (2, 1)$ , $C (2, 4)$ și $D (- 3, 4)$ .

a) Reprezentați punctele și uniți-le în ordine, obținând patrulaterul $A B C D$ . b) Aflați lungimile laturilor $A B$ și $B C$ (laturi paralele cu axele) și precizați ce fel de patrulater este $A B C D$ . c) Calculați perimetrul și aria patrulaterului.

Exercițiul 4 (4 puncte)

Se dau punctele $A (- 1, 3)$ , $B (5, 3)$ și $C (5, - 2)$ . a) Aflați distanța $A B$ (segment paralel cu axa $O x$ ). b) Aflați distanța $B C$ (segment paralel cu axa $O y$ ).

Exercițiul 5 (6 puncte)

În reperul cartezian se dau punctele $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ și $C (3, 4)$ .

a) Calculați lungimile laturilor $A C$ și $B C$ folosind teorema lui Pitagora. b) Arătați că triunghiul $A B C$ este isoscel. c) Calculați aria triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 (4 puncte)

Se consideră punctul $A (3, - 5)$ . Aflați coordonatele: a) simetricului lui $A$ față de axa $O x$ ; b) simetricului lui $A$ față de axa $O y$ ; c) simetricului lui $A$ față de originea $O$ .

Exercițiul 7 (7 puncte)

Notele obținute de cei 25 de elevi ai unei clase la un test sunt organizate în tabelul de frecvențe:

Nota	5	6	7	8	9	10
Frecvența (nr. elevi)	2	3	5	7	5	3

a) Verificați că numărul total de elevi este 25. b) Calculați media notelor clasei. c) Câți elevi au obținut o notă mai mare sau egală cu 8? d) Reprezentați poligonul frecvențelor corespunzător tabelului.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se consideră un pătrat cu latura $l$ (în cm), perimetrul $P$ și aria $A$ . a) Completați tabelul de mai jos:

Latura $l$ (cm)	1	2	3	5
Perimetrul $P$ (cm)	?	?	?	?
Aria $A$ (cm²)	?	?	?	?

b) Scrieți formula prin care perimetrul $P$ depinde de latura $l$ . c) Dacă perimetrul unui pătrat este $28$ cm, care este latura lui?

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un instalator percepe o taxă fixă de deplasare de $40$ de lei, la care adaugă $50$ de lei pentru fiecare oră de muncă. Notăm cu $t$ numărul de ore lucrate și cu $C$ costul total (în lei). a) Completați tabelul:

Ore lucrate $t$	0	1	2	3
Cost $C$ (lei)	?	?	?	?

b) Scrieți formula prin care costul $C$ depinde de numărul de ore $t$ . c) Pentru o lucrare, factura a fost de $240$ de lei. Câte ore a lucrat instalatorul?

Exercițiul 10 (6 puncte)

Graficul de mai jos arată distanța parcursă de un biciclist în funcție de timp, într-o excursie de 4 ore.

a) Ce distanță parcursese biciclistul după 2 ore? b) În intervalul dintre ora a 2-a și a 3-a distanța rămâne constantă. Interpretați ce s-a întâmplat. c) Calculați viteza medie a biciclistului pe întreaga excursie de 4 ore.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Diagrama cu bare arată vânzările (în mii de lei) ale unui magazin în primele patru luni ale anului: Ianuarie – 120, Februarie – 150, Martie – 90, Aprilie – 180.

a) Care a fost totalul vânzărilor din cele patru luni? b) În ce lună s-au înregistrat vânzările maxime? c) Cu cât au fost mai mari vânzările din aprilie față de cele din martie?

Exercițiul 12 (6 puncte)

Poligonul frecvențelor de mai jos arată câte cărți au citit elevii unei clase într-o lună.

a) Câți elevi are clasa? b) Câte cărți au citit cei mai mulți elevi (valoarea cu frecvența cea mai mare)? c) Câți elevi au citit cel puțin 3 cărți? d) Calculați numărul mediu de cărți citite de un elev.

Exercițiul 13 (8 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt: a) Pentru $A = {1, 2}$ și $B = {3}$ , produsul cartezian $A \times B$ are 2 elemente. b) Punctul $P (- 3, 0)$ se află în cadranul al III-lea. c) Distanța dintre punctele $A (2, 5)$ și $B (2, - 1)$ este egală cu 6. d) Într-un tabel de frecvențe, suma tuturor frecvențelor este egală cu numărul total de date.

Exercițiul 14 (5 puncte)

La un magazin, $3$ kg de mere costă $15$ lei, prețul fiind același pentru fiecare kilogram. Notăm cu $m$ masa (în kg) și cu $c$ costul (în lei). a) Completați tabelul:

Masa $m$ (kg)	1	2	4	7
Cost $c$ (lei)	?	?	?	?

b) Scrieți formula prin care costul $c$ depinde de masa $m$ . c) La altă tarabă, $20$ kg de mere costă $90$ de lei. Este prețul pe kilogram același ca la primul magazin? Justificați.

Exercițiul 15 (5 puncte)

În reperul cartezian se dau punctele $A (- 2, - 1)$ , $B (4, - 1)$ și $C (1, 3)$ .

a) Reprezentați cele trei puncte și formați triunghiul $A B C$ . b) Aflați lungimea laturii $A B$ . c) Calculați aria triunghiului $A B C$ (folosind ca bază latura $A B$ ).

Exercițiul 16 (6 puncte)

La întrebarea „Câți frați ai?", cei 15 elevi ai unei grupe au răspuns astfel: $0, 1, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 3.$ a) Organizați datele într-un tabel de frecvențe. b) Care este numărul de frați care apare cel mai des (valoarea modală)? c) Calculați numărul mediu de frați. d) Descrieți cum ați construi poligonul frecvențelor pentru aceste date.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

1. (5p – 2p + 1,5p + 1,5p) a) $A \times B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5)}$ . b) $A \times B$ are $2 \cdot 3 = 6$ elemente; $B \times A$ are tot $3 \cdot 2 = 6$ elemente. c) Nu: perechile sunt ordonate. De exemplu, $(2, 1) \in A \times B$ , dar $(2, 1) \in / B \times A$ (în $B \times A$ prima componentă este din $B$ ). Deci $A \times B \neq = B \times A$ .

2. (5p – câte ≈0,83p pe punct) $A (4, 3)$ – cadranul I; $B (- 2, 5)$ – cadranul II; $C (- 3, - 4)$ – cadranul III; $D (5, - 2)$ – cadranul IV; $E (0, - 3)$ – pe axa $O y$ (sub origine); $F (- 4, 0)$ – pe axa $O x$ (la stânga originii).

3. (6p – 2p + 2p + 2p) a) Reprezentarea corectă a celor patru puncte și unirea lor. 🖼️ b) $A B$ este orizontal ( $y = 1$ ): $A B = ∣2 - (- 3) ∣ = 5$ ; $B C$ este vertical ( $x = 2$ ): $B C = ∣4 - 1∣ = 3$ . Laturile sunt paralele cu axele și perpendiculare între ele, deci $A B C D$ este un dreptunghi. c) Perimetrul $= 2 (5 + 3) = 16$ ; aria $= 5 \cdot 3 = 15$ (unități de arie).

4. (4p – 2p + 2p) a) $A B = ∣5 - (- 1) ∣ = 6$ . b) $B C = ∣3 - (- 2) ∣ = 5$ .

5. (6p – 2p + 2p + 2p) a) $A C = (3 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ ; $B C = (3 - 6)^{2} + (4 - 0)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ . b) Deoarece $A C = B C = 5$ , triunghiul $A B C$ este isoscel (cu vârful în $C$ ). c) Baza $A B = ∣6 - 0∣ = 6$ (pe axa $O x$ ), înălțimea din $C$ este $y_{C} = 4$ . Aria $= \frac{A B \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ (unități de arie).

6. (4p – câte 1p pe subpunct + 1p pentru precizarea regulii de schimbare a semnelor; total 4p) a) Simetric față de $O x$ (se schimbă semnul lui $y$ ): $(3, 5)$ . b) Simetric față de $O y$ (se schimbă semnul lui $x$ ): $(- 3, - 5)$ . c) Simetric față de $O$ (se schimbă ambele semne): $(- 3, 5)$ .

7. (7p – 1p + 2p + 1,5p + 2,5p) a) $2 + 3 + 5 + 7 + 5 + 3 = 25$ elevi. ✔ b) Suma notelor $= 5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 7 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 3 = 10 + 18 + 35 + 56 + 45 + 30 = 194$ . Media $= \frac{194}{25} = 7, 76$ . c) Note $\geq 8$ : $7 + 5 + 3 = 15$ elevi. d) Poligonul frecvențelor: pe orizontală notele $5, 6, 7, 8, 9, 10$ , pe verticală frecvențele; se marchează punctele $(5, 2), (6, 3), (7, 5), (8, 7), (9, 5), (10, 3)$ și se unesc prin segmente. 🖼️

8. (6p – 3p tabelul + 1,5p + 1,5p) a) $P = 4 l$ : $4, 8, 12, 20$ ; $A = l^{2}$ : $1, 4, 9, 25$ . b) $P = 4l$ (perimetrul este de 4 ori latura – dependență de proporționalitate directă). c) $4 l = 28 \Rightarrow l = 7$ cm.

9. (6p – 2p tabelul + 2p formula + 2p) a) $C = 40 + 50 t$ : pentru $t = 0, 1, 2, 3$ se obține $40, 90, 140, 190$ lei. b) $C = 40 + 50t$ . c) $40 + 50 t = 240 \Rightarrow 50 t = 200 \Rightarrow t = 4$ ore. (Observație: costul nu este direct proporțional cu $t$ , deoarece la $t = 0$ costul este $40 \neq = 0$ .)

10. (6p – 2p + 2p + 2p) a) După 2 ore: $40$ km (punctul $(2, 40)$ ). b) Distanța rămâne $40$ km între ora 2 și ora 3, deci biciclistul s-a oprit (nu a mai înaintat, s-a odihnit). c) Viteza medie $= \frac{distan ț a total a ˘}{timpul total} = \frac{60}{4} = 15$ km/h.

11. (5p – 2p + 1,5p + 1,5p) a) $120 + 150 + 90 + 180 = 540$ mii lei. b) Aprilie ( $180$ mii lei). c) $180 - 90 = 90$ mii lei.

12. (6p – 1,5p + 1,5p + 1,5p + 1,5p) a) $2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20$ elevi. b) Frecvența maximă este $8$ , la valoarea 2 cărți. c) Cel puțin 3 cărți: $4 + 1 = 5$ elevi. d) Media $= \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 1}{20} = \frac{0 + 5 + 16 + 12 + 4}{20} = \frac{37}{20} = 1, 85$ cărți.

13. (8p – câte 2p pe subpunct: 0,5p răspunsul + 1,5p justificarea) a) A – $A \times B$ are $2 \cdot 1 = 2$ elemente: $(1, 3)$ și $(2, 3)$ . b) F – $P (- 3, 0)$ are ordonata $0$ , deci se află pe axa $O x$ , nu într-un cadran. c) A – punctele au aceeași abscisă ( $x = 2$ ), deci $A B = ∣5 - (- 1) ∣ = 6$ . d) A – frecvența fiecărei valori arată de câte ori apare acea valoare, iar adunând toate frecvențele obținem numărul total de date.

14. (5p – 2p tabelul + 1,5p formula + 1,5p) a) Prețul unui kilogram: $15 : 3 = 5$ lei/kg. $c = 5 m$ : pentru $m = 1, 2, 4, 7$ se obține $5, 10, 20, 35$ lei. b) $c = 5m$ (proporționalitate directă). c) La a doua tarabă: $90 : 20 = 4, 5$ lei/kg $\neq = 5$ lei/kg. Nu, prețul pe kilogram nu este același (este mai mic).

15. (5p – 1p + 2p + 2p) a) Reprezentarea corectă a punctelor $A (- 2, - 1)$ , $B (4, - 1)$ , $C (1, 3)$ și formarea triunghiului. 🖼️ b) $A$ și $B$ au aceeași ordonată ( $y = - 1$ ): $A B = ∣4 - (- 2) ∣ = 6$ . c) Înălțimea din $C$ față de $A B$ (care este orizontală, la $y = - 1$ ): $h = ∣3 - (- 1) ∣ = 4$ . Aria $= \frac{A B \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ (unități de arie).

16. (6p – 2p tabelul + 1p + 2p + 1p) a) Tabelul de frecvențe:

Nr. frați	0	1	2	3
Frecvența	4	6	3	2

(Verificare: $4 + 6 + 3 + 2 = 15$ .) b) Valoarea modală este 1 (apare de 6 ori, cel mai des). c) Media $= \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2}{15} = \frac{0 + 6 + 6 + 6}{15} = \frac{18}{15} = 1, 2$ frați. d) Pe axa orizontală se trec valorile $0, 1, 2, 3$ , pe verticală frecvențele; se marchează punctele $(0, 4), (1, 6), (2, 3), (3, 2)$ și se unesc prin segmente pentru a obține poligonul frecvențelor. 🖼️

Total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte (oficiu) = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test de evaluare acoperă unitatea Elemente de organizare a datelor. Reperul cartezian din programa de clasa a VII-a (OMEN 3393/2017): produsul cartezian a două mulțimi, sistemul de axe ortogonale și coordonatele unui punct, cadranele și cazurile particulare (puncte pe axe), distanța dintre două puncte din plan, dependențele funcționale reprezentate prin tabele, diagrame și grafice (citire și interpretare), precum și tabelul de frecvențe și poligonul frecvențelor. Itemii sunt așezați în contexte realiste și au dificultate gradată.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, notând toate calculele și justificările pe foaie. La itemii cu reper cartezian, grafice și poligoane se cere și o reprezentare (figură) desenată corect, cu axe gradate. Răspunsurile fără justificare nu primesc punctaj integral.
Notă orientativă: se adună punctele obținute și se împart la 10 (ex.: 82 de puncte ≈ nota 8,20). După rezolvare, comparați cu Baremul și răspunsurile de la final și discutați doar itemii greșiți.