Test: organizarea datelor și probabilități

Exerciții

Exercițiul 1 (8 puncte)

Un bibliotecar a notat câte cărți au împrumutat într-o lună cei 25 de elevi ai unei clase. Datele sunt organizate în tabelul de frecvențe:

a) Câți elevi au împrumutat cel puțin 3 cărți? b) Care este frecvența procentuală a elevilor care au împrumutat exact 2 cărți? c) Calculați media numărului de cărți împrumutate de un elev al clasei.

Exercițiul 2 (8 puncte)

Diagrama cu bare arată temperatura maximă (în °C) înregistrată în fiecare zi a unei săptămâni într-un oraș.

a) În ce zi s-a înregistrat cea mai mare temperatură și care a fost aceasta? b) Care este amplitudinea datelor (diferența dintre temperatura maximă și cea minimă)? c) Calculați temperatura medie a săptămânii. d) În câte zile temperatura a fost strict mai mare decât media?

Exercițiul 3 (4 puncte)

Datele despre mijlocul de transport folosit de 60 de angajați ai unei firme sunt reprezentate printr-o diagramă circulară.

a) Câți angajați vin la serviciu cu mașina? b) Ce unghi la centru corespunde sectorului „Autobuz"?

Exercițiul 4 (6 puncte)

Într-o cutie sunt 12 bile identice ca formă: 5 roșii, 4 albastre și 3 verzi. Se extrage la întâmplare o bilă. Scrieți, sub formă de fracție ireductibilă, probabilitatea evenimentelor: a) bila extrasă este roșie; b) bila extrasă este verde; c) bila extrasă nu este albastră.

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se aruncă un zar obișnuit, cu fețele numerotate de la 1 la 6. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie: a) par; b) număr prim; c) mai mare decât 4.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați răspunsul: a) Probabilitatea unui eveniment poate fi egală cu 1,3. b) Media a cinci numere naturale este întotdeauna un număr natural. c) Dacă frecvența procentuală a unei categorii este 50%, atunci jumătate dintre date aparțin acelei categorii.

Exercițiul 7 (4 puncte)

Media a șase numere este 15. Cinci dintre ele sunt: 12, 18, 10, 20 și 14. Aflați al șaselea număr.

Exercițiul 8 (8 puncte)

Într-un sondaj, 200 de persoane au răspuns la întrebarea „Care este băutura ta preferată la micul dejun?". Rezultatele: cafea — 90, ceai — 60, lapte — 30, suc — 20. a) Care este frecvența procentuală a persoanelor care preferă ceaiul? b) Dacă datele s-ar reprezenta printr-o diagramă circulară, ce unghi la centru ar corespunde sectorului „Cafea"? c) Se alege la întâmplare o persoană dintre cele 200. Care este probabilitatea ca aceasta să prefere lapte sau suc? Scrieți rezultatul ca fracție ireductibilă și ca procent.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Prețul unor caiete este direct proporțional cu numărul lor. Tabelul de mai jos prezintă această dependență:

a) Aflați prețul unui caiet. b) Completați cele două căsuțe lipsă din tabel. c) Dacă reprezentăm grafic perechile (număr de caiete; cost), toate punctele se află pe o dreaptă care trece printr-un punct special. Care este acel punct? Justificați pe scurt.

Exercițiul 10 (4 puncte)

Notele obținute de un elev la matematică, într-un semestru, sunt: trei note de 7, patru note de 8, două note de 9 și o notă de 10. Calculați media notelor sale.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Într-o clasă sunt 30 de elevi, dintre care 18 sunt fete. Se alege la întâmplare un elev pentru a reprezenta clasa. a) Care este probabilitatea ca cel ales să fie fată? (fracție ireductibilă) b) Care este probabilitatea ca cel ales să fie băiat? c) Arătați că suma celor două probabilități este egală cu 1 și explicați de ce era de așteptat acest rezultat.

Exercițiul 12 (4 puncte)

Numărul de elevi premiați la o școală, în patru ani, este: 2023 — 8, 2024 — 12, 2025 — 15, 2026 — 21. Reprezentați aceste date printr-o diagramă cu bare verticale (precizați ce notați pe fiecare axă și cum alegeți unitatea pe axa verticală).

Exercițiul 13 (4 puncte)

Pe 20 de cartonașe sunt scrise numerele naturale de la 1 la 20, câte unul pe fiecare. Se extrage la întâmplare un cartonaș. Calculați probabilitatea ca numărul extras să fie: a) divizibil cu 5; b) un număr ≥ 15.

Exercițiul 14 (5 puncte)

Graficul prin linii arată numărul de vizitatori (în mii) ai unui site, în primele 5 luni ale anului.

a) Între care două luni consecutive numărul de vizitatori a scăzut? b) Care a fost creșterea numărului de vizitatori din aprilie față de martie? c) Calculați media lunară a numărului de vizitatori pe cele 5 luni.

Exercițiul 15 (4 puncte)

La un sondaj au răspuns 240 de persoane. Dintre acestea, 35% au declarat că fac sport cel puțin o dată pe săptămână. Câte persoane fac sport cel puțin o dată pe săptămână?

Exercițiul 16 (8 puncte)

O cofetărie a vândut într-o zi 80 de prăjituri, repartizate astfel: 32 cu ciocolată, 24 cu vanilie, 16 cu fructe, iar restul cu cremă de caramel. a) Câte prăjituri cu cremă de caramel s-au vândut? b) Completați un tabel cu frecvența absolută și frecvența procentuală pentru fiecare sortiment. c) Un client cumpără la întâmplare o prăjitură (toate fiind la fel de probabile). Care este probabilitatea ca ea să fie cu ciocolată sau cu fructe? Scrieți rezultatul ca fracție ireductibilă.

Barem și răspunsuri

Punctajul se acordă integral doar cu justificare/calcule. Pentru răspuns corect fără calcul se acordă, de regulă, jumătate din punctajul subpunctului. Oficiu: 10 puncte.

1. (8p) a) Cel puțin 3 cărți înseamnă 3, 4 sau 5: $6+3+2=11$ elevi. (2p) b) Frecvența procentuală pentru „2 cărți": $\frac{7}{25}=\frac{28}{100}=28\%$. (3p) c) Suma cărților $=0\cdot 2+1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 6+4\cdot 3+5\cdot 2=0+5+14+18+12+10=59$. Media $=\frac{59}{25}=2,36$ cărți. (3p)

2. (8p) a) Cea mai mare temperatură a fost duminică, de 24 °C. (2p) b) Amplitudinea $=24-18=6$ °C. (2p) c) Suma $=18+20+22+19+21+23+24=147$; media $=\frac{147}{7}=21$ °C. (2p) d) Peste 21 °C (strict): 22, 23, 24 → 3 zile (marți NU, fiind exact 20; vineri are 21 = media, deci nu intră). (2p)

3. (4p) a) Cu mașina: $45\%\cdot 60=\frac{45}{100}\cdot 60=27$ angajați. (2p) b) Unghiul pentru „Autobuz": $30\%\cdot 360^{\circ }=\frac{30}{100}\cdot 360^{\circ }=108^{\circ }$. (2p)

4. (6p) Cazuri posibile: 12 bile. Câte 2p pe subpunct. a) $P(\text{roșie})=\frac{5}{12}$. b) $P(\text{verde})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. c) „Nu albastră" = roșie sau verde: $\frac{5+3}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.

5. (6p) Cazuri posibile: $\{1,2,3,4,5,6\}$. Câte 2p pe subpunct. a) Numere pare: $\{2,4,6\}$ → $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. b) Numere prime: $\{2,3,5\}$ → $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. (1 nu este prim.) c) Mai mari decât 4: $\{5,6\}$ → $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

6. (6p) Câte 2p pe subpunct (1p A/F + 1p justificare). a) F — probabilitatea oricărui eveniment este un număr cuprins între 0 și 1, deci nu poate fi 1,3. b) F — contraexemplu: cinci numere naturale precum 1, 1, 1, 1, 2 au media $\frac{1+1+1+1+2}{5}=\frac{6}{5}=1,2$, care nu este număr natural. c) A — frecvența procentuală de 50% înseamnă $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$ din total, adică exact jumătate dintre date.

7. (4p) Suma celor șase numere $=6\cdot 15=90$. Suma celor cinci cunoscute $=12+18+10+20+14=74$. Al șaselea număr $=90-74=16$. (4p)

8. (8p) a) Ceai: $\frac{60}{200}=\frac{30}{100}=30\%$. (3p) b) Unghi „Cafea": $\frac{90}{200}\cdot 360^{\circ }=0,45\cdot 360^{\circ }=162^{\circ }$. (3p) c) Lapte sau suc: $30+20=50$ persoane → $\frac{50}{200}=\frac{1}{4}=25\%$. (2p)

9. (6p) a) Prețul unui caiet $=15:3=5$ lei. (2p) b) Pentru 5 caiete: $5\cdot 5=25$ lei; pentru 8 caiete: $8\cdot 5=40$ lei. (2p) c) Punctele se află pe o dreaptă care trece prin originea axelor, punctul $(0;0)$, deoarece pentru 0 caiete costul este 0 lei (proporționalitate directă). (2p)

10. (4p) Sunt $3+4+2+1=10$ note. Suma $=3\cdot 7+4\cdot 8+2\cdot 9+1\cdot 10=21+32+18+10=81$. Media $=\frac{81}{10}=8,10$. (4p)

11. (5p) a) $P(\text{fata˘})=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$. (2p) b) Băieți: $30-18=12$ → $P(\text{ba˘iat})=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$. (2p) c) $\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{5}{5}=1$. Era de așteptat, deoarece „fată" și „băiat" sunt singurele rezultate posibile și acoperă toate cele 30 de cazuri (eveniment sigur). (1p)

12. (4p) Pe axa orizontală se trec anii (2023, 2024, 2025, 2026), pe axa verticală numărul de elevi premiați. O unitate convenabilă: 1 pătrățel = 2 elevi (sau 1 elev). Barele au înălțimile 8, 12, 15, 21, de lățimi egale și distanțate egal. 🖼️ [Imagine-răspuns: patru bare verticale de înălțimi 8, 12, 15, 21, în ordinea anilor.] (4p: câte 1p pe bară corect proporționată; se acceptă orice scară corectă a axei.)

13. (4p) Cazuri posibile: 20. a) Divizibile cu 5: $\{5,10,15,20\}$ → $P=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$. (2p) b) Numere $\ge 15$: $\{15,16,17,18,19,20\}$ → $P=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$. (2p)

14. (5p) a) Numărul a scăzut între februarie și martie (de la 6 la 5 mii). (2p) b) Creșterea aprilie față de martie: $9-5=4$ (adică 4000 de vizitatori). (1p) c) Suma $=4+6+5+9+11=35$ (mii); media $=\frac{35}{5}=7$ → 7000 de vizitatori pe lună. (2p)

15. (4p) $35\%\cdot 240=\frac{35}{100}\cdot 240=84$ persoane. (4p)

16. (8p) a) Cremă de caramel: $80-(32+24+16)=80-72=8$ prăjituri. (2p) b) Tabel (frecvența absolută și procentuală): (4p)

Verificare: $40\%+30\%+20\%+10\%=100\%$. ✓ (ex.: $\frac{32}{80}=\frac{40}{100}=40\%$). c) Ciocolată sau fructe: $32+16=48$ → $P=\frac{48}{80}=\frac{3}{5}$. (2p)

Pentru părinți

Acest test verifică temeinic capitolul „Organizarea datelor și probabilități" din programa actuală de clasa a VI-a: organizarea și reprezentarea datelor (inclusiv în contextul proporționalității), citirea și interpretarea tabelelor, graficelor și diagramelor (cu bare, prin linii, circulare), media aritmetică și prelucrarea seriilor de date, frecvența absolută și frecvența procentuală, precum și probabilitatea unui eveniment ca raport între numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, scriind calculele complete pe foaie. Răspunsurile fără justificare nu primesc punctaj integral. După rezolvare, comparați cu Baremul și răspunsurile de la final și discutați doar itemii greșiți.
• Notă orientativă: se adună punctele obținute și se împart la 10 (ex.: 84 de puncte ≈ nota 8,40).