Test: Perimetre și probleme aplicative cu arii

Exerciții

Exercițiul 1 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt răspunsul. (4 × 2p)

a) Un pătrat cu latura de $6\text{cm}$ are aria de $24{\text{cm}}^2$. b) Aria rombului este egală cu jumătatea produsului diagonalelor sale. c) Două dreptunghiuri care au același perimetru au întotdeauna și aceeași arie. d) Aria unui triunghi este jumătate din produsul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare acelei laturi.

Exercițiul 2 (4 puncte)

Un dreptunghi are lungimea de $15\text{cm}$ și lățimea de $8\text{cm}$. Calculează perimetrul și aria dreptunghiului.

Exercițiul 3 (4 puncte)

Un pătrat are aria de $81{\text{cm}}^2$. Află lungimea laturii și perimetrul pătratului.

Exercițiul 4 (6 puncte)

Un paralelogram $ABCD$ are baza $AB=14\text{cm}$, latura $AD=10\text{cm}$, iar înălțimea corespunzătoare bazei $AB$ este de $6\text{cm}$.

a) Calculează perimetrul paralelogramului. (3p) b) Calculează aria paralelogramului. (3p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Un romb are diagonalele de $24\text{cm}$ și $10\text{cm}$.

a) Calculează aria rombului. (3p) b) Află lungimea laturii și perimetrul rombului. (3p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12\text{cm}$ și $AC=9\text{cm}$.

a) Calculează aria triunghiului. (3p) b) Află lungimea ipotenuzei și perimetrul triunghiului. (3p)

Exercițiul 7 (5 puncte)

Un trapez are bazele de $11\text{cm}$ și $19\text{cm}$, iar înălțimea de $6\text{cm}$. Calculează aria trapezului.

Exercițiul 8 (5 puncte)

Podeaua unei camere are formă dreptunghiulară, cu lungimea de $6\text{m}$ și lățimea de $4\text{m}$.

a) Câți metri pătrați are podeaua? (2p) b) Gresia costă $75$ de lei pe metru pătrat. Cât costă gresia necesară pentru a acoperi toată podeaua? (3p)

Exercițiul 9 (7 puncte)

O suprafață are forma din figură (o figură compusă „în L"), cu dimensiunile marcate în metri; toate unghiurile sunt drepte.

a) Calculează perimetrul figurii. (3p) b) Calculează aria figurii, descompunând-o în dreptunghiuri. (4p)

Exercițiul 10 (6 puncte)

Peretele frontal al unei case are forma din figură: un dreptunghi de $8\text{m}$ lățime și $5\text{m}$ înălțime, iar deasupra un acoperiș în formă de triunghi isoscel cu baza de $8\text{m}$ și înălțimea de $3\text{m}$.

a) Calculează aria părții dreptunghiulare. (2p) b) Calculează aria acoperișului (triunghiul). (2p) c) Calculează aria totală a peretelui frontal. (2p)

Exercițiul 11 (6 puncte)

Un romb are latura de $15\text{cm}$, iar una dintre diagonale are $18\text{cm}$.

a) Află lungimea celeilalte diagonale. (3p) b) Calculează aria rombului. (3p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

Un triunghi echilateral are latura de $10\text{cm}$.

a) Calculează înălțimea triunghiului (lasă rezultatul sub forma $a\sqrt{b}$). (3p) b) Calculează aria triunghiului. (3p)

Exercițiul 13 (6 puncte)

O grădină are formă dreptunghiulară, cu lungimea de $25\text{m}$ și lățimea de $16\text{m}$.

a) Calculează perimetrul grădinii. (2p) b) Se împrejmuiește grădina cu gard care costă $45$ de lei pe metru. Cât costă gardul? (2p) c) Calculează aria grădinii. (2p)

Exercițiul 14 (5 puncte)

Rezolvă, folosind formulele ariilor:

a) Un paralelogram are aria de $96{\text{cm}}^2$ și baza de $16\text{cm}$. Află înălțimea corespunzătoare acestei baze. (2p) b) Un triunghi are aria tot de $96{\text{cm}}^2$, iar una dintre laturi are $24\text{cm}$. Află înălțimea corespunzătoare acestei laturi. (3p)

Exercițiul 15 (5 puncte)

O ramă de tablou are conturul exterior un dreptunghi de $12\text{cm}\times 9\text{cm}$, iar deschiderea interioară (pentru fotografie) este un dreptunghi de $8\text{cm}\times 5\text{cm}$. Calculează aria părții hașurate (rama propriu-zisă, adică materialul dintre cele două dreptunghiuri).

Exercițiul 16 (5 puncte)

O parcelă de teren are forma unui trapez cu bazele de $30\text{m}$ și $18\text{m}$ și înălțimea de $10\text{m}$.

a) Calculează aria parcelei. (2p) b) Pe parcelă se seamănă iarbă, folosind $1\text{kg}$ de semințe pentru fiecare $40{\text{m}}^2$. Câte kilograme de semințe sunt necesare pentru toată parcela? (3p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (8p)

a) Fals. Aria pătratului este $l^2=6^2=36{\text{cm}}^2$; valoarea $24\text{cm}$ ar fi perimetrul ($4\cdot 6$). (2p) b) Adevărat. Formula ariei rombului este $\mathcal{A}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$. (2p) c) Fals. Contraexemplu: dreptunghiurile $1\times 5$ și $2\times 4$ au același perimetru ($12$), dar arii diferite ($5{\text{cm}}^2$, respectiv $8{\text{cm}}^2$). (2p) d) Adevărat. Aria triunghiului este $\mathcal{A}=\frac{\text{latura˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}}{2}$ (deducere din aria paralelogramului). (2p)

Exercițiul 2 (4p)

$P=2(15+8)=2\cdot 23=46\text{cm}$ (2p); $\mathcal{A}=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (2p).

Exercițiul 3 (4p)

$l^2=81\Rightarrow l=\sqrt{81}=9\text{cm}$ (2p); $P=4\cdot 9=36\text{cm}$ (2p).

Exercițiul 4 (6p)

a) $P=2(AB+AD)=2(14+10)=2\cdot 24=48\text{cm}.$ (3p) b) $\mathcal{A}=\text{baza˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}=14\cdot 6=84{\text{cm}}^2.$ (3p) (Atenție: în aria paralelogramului se folosește înălțimea $6\text{cm}$, nu latura $10\text{cm}$.)

Exercițiul 5 (6p)

a) $\mathcal{A}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{24\cdot 10}{2}=120{\text{cm}}^2.$ (3p) b) Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci jumătățile lor sunt $12\text{cm}$ și $5\text{cm}$. Latura: $l=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{cm}.$ Perimetrul: $P=4\cdot 13=52\text{cm}.$ (3p)

Exercițiul 6 (6p)

a) $\mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{12\cdot 9}{2}=54{\text{cm}}^2$ (catetele sunt bază și înălțime una pentru cealaltă). (3p) b) $BC=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\text{cm}$; $P=12+9+15=36\text{cm}.$ (3p)

Exercițiul 7 (5p)

$\mathcal{A}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(19+11)\cdot 6}{2}=\frac{30\cdot 6}{2}=90{\text{cm}}^2.$

Exercițiul 8 (5p)

a) $\mathcal{A}=6\cdot 4=24{\text{m}}^2.$ (2p) b) Cost $=24\cdot 75=1800$ lei. (3p)

Exercițiul 9 (7p)

a) Perimetrul = suma tuturor laturilor conturului: $P=10+3+6+5+4+8=36\text{m}.$ (3p) b) Descompunem în două dreptunghiuri: unul de jos $10\times 3=30{\text{m}}^2$ și unul din stânga-sus $4\times 5=20{\text{m}}^2$. $\mathcal{A}=30+20=50{\text{m}}^2.$ (4p) (Alternativ: dreptunghi mare $10\times 8=80$ minus decupajul $6\times 5=30$, deci $80-30=50{\text{m}}^2$.)

Exercițiul 10 (6p)

a) Aria dreptunghiului: $8\cdot 5=40{\text{m}}^2.$ (2p) b) Aria triunghiului (acoperiș): $\frac{8\cdot 3}{2}=12{\text{m}}^2.$ (2p) c) Aria totală: $40+12=52{\text{m}}^2.$ (2p)

Exercițiul 11 (6p)

a) Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Jumătatea diagonalei date este $\frac{18}{2}=9\text{cm}$. În triunghiul dreptunghic format cu latura rombului ca ipotenuză ($15\text{cm}$): $\text{jum. cealalta˘ diag.}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\text{cm}.$ Cealaltă diagonală: $2\cdot 12=24\text{cm}.$ (3p) b) $\mathcal{A}=\frac{18\cdot 24}{2}=216{\text{cm}}^2.$ (3p)

Exercițiul 12 (6p)

a) Înălțimea triunghiului echilateral cu latura $l$: $h=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\text{cm}.$ (3p) b) $\mathcal{A}=\frac{l\cdot h}{2}=\frac{10\cdot 5\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$ (Echivalent: $\mathcal{A}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$) (3p)

Exercițiul 13 (6p)

a) $P=2(25+16)=2\cdot 41=82\text{m}.$ (2p) b) Cost gard $=82\cdot 45=3690$ lei. (2p) c) $\mathcal{A}=25\cdot 16=400{\text{m}}^2.$ (2p)

Exercițiul 14 (5p)

a) Din $\mathcal{A}=\text{baza˘}\cdot h$: $h=\frac{96}{16}=6\text{cm}.$ (2p) b) Din $\mathcal{A}=\frac{\text{latura˘}\cdot h}{2}$: $h=\frac{2\cdot 96}{24}=\frac{192}{24}=8\text{cm}.$ (3p)

Exercițiul 15 (5p)

Aria ramei = aria dreptunghiului exterior − aria deschiderii interioare: $\mathcal{A}=12\cdot 9-8\cdot 5=108-40=68{\text{cm}}^2.$

Exercițiul 16 (5p)

a) $\mathcal{A}=\frac{(30+18)\cdot 10}{2}=\frac{48\cdot 10}{2}=240{\text{m}}^2.$ (2p) b) Semințe necesare: $\frac{240}{40}=6\text{kg}.$ (3p)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Perimetre și arii ale patrulaterelor și triunghiului" de la clasa a VII-a. Sunt evaluate: aria dreptunghiului și a pătratului, aria paralelogramului, aria rombului, aria triunghiului, aria trapezului, calculul perimetrelor și rezolvarea problemelor practice prin modelare geometrică (inclusiv arii ale figurilor compuse). Itemii sunt gradați ca dificultate: de la aplicarea directă a formulelor până la descompunerea figurilor compuse și probleme aplicate cu cost și cantități.

• Timp recomandat: 50 de minute (lucru individual, la clasă sau acasă).
• Punctaj: fiecare item are punctajul trecut în paranteză. Suma itemilor este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, deci total 100 de puncte.
• Materiale permise: riglă, echer, creion; calculatorul nu este necesar (rezultatele ies numere „frumoase", iar unde apare radicalul, răspunsul se lasă în forma $a\sqrt{b}$).
• Cum se corectează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. Pentru itemii de justificare, se punctează raționamentul corect, chiar dacă redactarea diferă de model.

Notă privind programa: testul folosește doar noțiuni din clasa a VII-a (geometrie în plan, teorema lui Pitagora și radicali). Nu apar corpuri geometrice / volume, formule de calcul prescurtat sau noțiunea formală de funcție.