Acasă · Clasa a VII-a · Teste · Test: Probleme rezolvate cu ecuații de gradul I – Clasa a VII-a

Test: Probleme rezolvate cu ecuații de gradul I

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Probleme rezolvate cu ecuații și sisteme"

Exerciții

Exercițiul 1 — Etapele rezolvării (4 puncte)

Mai jos sunt amestecate etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul unei ecuații. Scrie-le în ordinea corectă, folosind literele:

A. Se rezolvă ecuația obținută.
B. Se alege și se notează necunoscuta (de obicei cu $x$ ).
C. Se verifică soluția în enunțul problemei și se formulează răspunsul.
D. Se exprimă celelalte mărimi din problemă în funcție de necunoscută.
E. Se scrie ecuația, traducând condiția (relația) din enunț.

Exercițiul 2 — Alegerea necunoscutei și scrierea ecuației (4 puncte)

Într-o sală de spectacol sunt $30$ de locuri ocupate, iar numărul adulților este cu $6$ mai mare decât numărul copiilor.

a) Notează cu $x$ numărul copiilor și exprimă numărul adulților în funcție de $x$ . b) Scrie ecuația care traduce condiția „în total sunt $30$ de persoane". (Nu o rezolva.)

Exercițiul 3 — Din cuvinte în limbaj algebric (5 puncte)

Un număr necunoscut se notează cu $x$ . Scrie expresia algebrică pentru fiecare formulare:

a) un număr mărit cu $7$ ; b) triplul unui număr; c) un număr micșorat cu $4$ ; d) jumătatea unui număr, mărită cu $2$ ; e) cu $5$ mai puțin decât dublul numărului.

Exercițiul 4 — Un număr necunoscut (5 puncte)

Dacă mărim un număr cu $12$ , obținem triplul acelui număr.

a) Notează numărul cu $x$ și scrie ecuația. b) Rezolvă ecuația și află numărul. c) Verifică și formulează răspunsul.

Exercițiul 5 — Numere consecutive (5 puncte)

Suma a trei numere naturale consecutive este $84$ .

a) Notează cu $x$ cel mai mic număr și exprimă-le pe celelalte două în funcție de $x$ . b) Scrie ecuația și rezolv-o. c) Care sunt cele trei numere? Verifică suma.

Exercițiul 6 — Vârste (prezent) (5 puncte)

Un tată are de $3$ ori vârsta fiului său, iar împreună au $48$ de ani.

a) Notează cu $x$ vârsta fiului și scrie ecuația. b) Află vârsta fiecăruia. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 7 — Vârste (peste câți ani) (6 puncte)

Astăzi, Maria are $12$ ani, iar mama ei are $40$ de ani.

a) Notează cu $x$ numărul de ani care trec și exprimă vârstele celor două peste $x$ ani. b) Scrie ecuația care exprimă condiția „vârsta mamei va fi de $3$ ori vârsta Mariei" și rezolv-o. c) Peste câți ani se întâmplă acest lucru? Verifică.

Exercițiul 8 — Bani: împărțirea unei sume (6 puncte)

Trei frați împart $180$ de lei. Al doilea primește de două ori cât primul, iar al treilea cu $20$ de lei mai mult decât primul.

a) Notează cu $x$ suma primului frate și exprimă sumele celorlalți doi. b) Scrie ecuația și rezolv-o. c) Cât primește fiecare? Verifică.

Exercițiul 9 — Bani: cumpărături (4 puncte)

Un elev cumpără $3$ caiete de același preț și un stilou de $8$ lei, plătind în total $23$ de lei.

a) Notează cu $x$ prețul unui caiet și scrie ecuația. b) Cât costă un caiet? Verifică.

Exercițiul 10 — Bani: reducere de preț (5 puncte)

După o reducere de $20%$ , un produs costă $240$ de lei.

a) Notează cu $x$ prețul inițial și scrie ecuația (prețul redus $=$ prețul inițial minus $20%$ din el). b) Află prețul inițial și verifică.

Exercițiul 11 — Mișcare: întâlnire (6 puncte)

Două localități sunt situate la $240$ km una de cealaltă. Din ele pleacă simultan, una spre cealaltă, două mașini cu vitezele $50$ km/h și $70$ km/h.

a) Notează cu $t$ numărul de ore până la întâlnire și exprimă distanțele parcurse de fiecare mașină. b) Scrie ecuația (suma distanțelor $= 240$ km) și află după câte ore se întâlnesc. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 12 — Amestecuri (5 puncte)

Se amestecă bomboane de $30$ lei/kg cu $4$ kg de bomboane de $15$ lei/kg, pentru a obține un amestec de $20$ lei/kg.

a) Notează cu $x$ numărul de kilograme de bomboane de $30$ lei/kg și scrie ecuația care exprimă egalitatea valorilor (valoarea celor două sortimente $=$ valoarea amestecului). b) Câte kilograme de bomboane de $30$ lei/kg se folosesc? Verifică.

Exercițiul 13 — Geometrie: dimensiunile unui teren (6 puncte)

Un teren dreptunghiular are lungimea de $2$ ori mai mare decât lățimea, iar perimetrul de $96$ m.

a) Notează cu $x$ lățimea, exprimă lungimea și scrie ecuația perimetrului. b) Rezolvă ecuația și află dimensiunile terenului. c) Verifică perimetrul.

Exercițiul 14 — Geometrie: unghiuri suplementare (5 puncte)

Două unghiuri sunt suplementare (suma lor este $18 0^{\circ}$ ), iar unul dintre ele este de $4$ ori mai mare decât celălalt.

a) Notează cu $x$ unghiul mai mic și scrie ecuația. b) Află măsurile celor două unghiuri și verifică.

Exercițiul 15 — Despre modelare: Adevărat / Fals (5 puncte)

Stabilește A sau F pentru fiecare afirmație despre rezolvarea problemelor cu ecuații și motivează pe scurt:

a) Necunoscuta $x$ poate reprezenta doar mărimea cerută în întrebarea problemei. b) După rezolvarea ecuației, verificarea trebuie făcută în enunțul problemei, nu doar în ecuație. c) Orice soluție a ecuației este automat un răspuns valid al problemei. d) Dacă necunoscuta reprezintă un număr de persoane, soluția trebuie să fie număr natural. e) Verificarea se poate face înlocuind soluția în ecuația scrisă și constatând o egalitate adevărată.

Exercițiul 16 — Interpretarea soluției (5 puncte)

Într-o cutie sunt bile roșii și bile albastre. Numărul bilelor roșii este cu $3$ mai mare decât dublul numărului bilelor albastre, iar în total sunt $20$ de bile.

a) Notează cu $x$ numărul bilelor albastre, exprimă numărul bilelor roșii și scrie ecuația. b) Rezolvă ecuația. c) Interpretează rezultatul: poate avea problema o soluție în acest context? Justifică.

Exercițiul 17 — Bani: economii cu fracții (5 puncte)

Un muncitor a economisit o sumă de bani. Dacă ar cheltui $\frac{1}{3}$ din economii și încă $200$ de lei, i-ar rămâne $400$ de lei.

a) Notează cu $x$ suma economisită și scrie ecuația. b) Câți lei a economisit? Verifică.

Exercițiul 18 — Vârste (acum câți ani) (4 puncte)

Astăzi, un frate are $15$ ani, iar sora lui are $9$ ani.

a) Notează cu $x$ numărul de ani trecuți și scrie ecuația care exprimă condiția „acum $x$ ani, vârsta fratelui era de $3$ ori vârsta surorii". b) Acum câți ani s-a întâmplat aceasta? Verifică și interpretează.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 18 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (4 p)

Ordinea corectă a etapelor: B → D → E → A → C (alegerea necunoscutei → exprimarea celorlalte mărimi → scrierea ecuației → rezolvarea ecuației → verificare și formularea răspunsului). (4 p; se acordă 2 p pentru cel mult o inversiune)

Exercițiul 2 (4 p)

a) Copii: $x$ ; adulți: $x + 6$ . (2 p) b) Ecuația: $x + (x + 6) = 30$ . (2 p)

Exercițiul 3 (5 p — câte 1 p)

a) $x + 7$ ; b) $3 x$ ; c) $x - 4$ ; d) $\frac{x}{2} + 2$ ; e) $2 x - 5$ .

Exercițiul 4 (5 p)

a) Ecuația: $x + 12 = 3 x$ . (2 p) b) $x + 12 = 3 x \Rightarrow 12 = 2 x \Rightarrow x = 6$ . (2 p) c) Verificare: $6 + 12 = 18 = 3 \cdot 6$ ✓. Numărul este $6$ . (1 p)

Exercițiul 5 (5 p)

a) Numerele: $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ . (1 p) b) $x + (x + 1) + (x + 2) = 84 \Rightarrow 3 x + 3 = 84 \Rightarrow 3 x = 81 \Rightarrow x = 27$ . (2 p) c) Numerele sunt $27$ , $28$ , $29$ . Verificare: $27 + 28 + 29 = 84$ ✓. (2 p)

Exercițiul 6 (5 p)

a) Fiul $x$ , tatăl $3 x$ ; ecuația: $x + 3 x = 48$ . (2 p) b) $4 x = 48 \Rightarrow x = 12$ ; tatăl $= 36$ . Fiul are $12$ ani, tatăl $36$ de ani. (2 p) c) Verificare: $12 + 36 = 48$ și $36 = 3 \cdot 12$ ✓. (1 p)

Exercițiul 7 (6 p)

a) Peste $x$ ani: Maria $12 + x$ , mama $40 + x$ . (2 p) b) $40 + x = 3 (12 + x) \Rightarrow 40 + x = 36 + 3 x \Rightarrow 40 - 36 = 3 x - x \Rightarrow 4 = 2 x \Rightarrow x = 2$ . (3 p) c) Se întâmplă peste $2$ ani. Verificare: Maria $14$ , mama $42$ ; $42 = 3 \cdot 14$ ✓. (1 p)

Exercițiul 8 (6 p)

a) Primul $x$ , al doilea $2 x$ , al treilea $x + 20$ . (2 p) b) $x + 2 x + (x + 20) = 180 \Rightarrow 4 x + 20 = 180 \Rightarrow 4 x = 160 \Rightarrow x = 40$ . (3 p) c) Primul $40$ lei, al doilea $80$ lei, al treilea $60$ lei. Verificare: $40 + 80 + 60 = 180$ ✓. (1 p)

Exercițiul 9 (4 p)

a) Ecuația: $3 x + 8 = 23$ . (2 p) b) $3 x = 15 \Rightarrow x = 5$ . Un caiet costă $5$ lei. Verificare: $3 \cdot 5 + 8 = 23$ ✓. (2 p)

Exercițiul 10 (5 p)

a) Ecuația: $x - 0, 2 x = 240$ (adică $0, 8 x = 240$ ). (2 p) b) $0, 8 x = 240 \Rightarrow x = \frac{240}{0 , 8} = 300$ . Prețul inițial era $300$ lei. Verificare: $20%$ din $300$ este $60$ , iar $300 - 60 = 240$ ✓. (3 p)

Exercițiul 11 (6 p)

a) În $t$ ore: prima parcurge $50 t$ km, a doua $70 t$ km. (2 p) b) $50 t + 70 t = 240 \Rightarrow 120 t = 240 \Rightarrow t = 2$ . Se întâlnesc după $2$ ore. (3 p) c) Verificare: $50 \cdot 2 + 70 \cdot 2 = 100 + 140 = 240$ km ✓. (1 p)

Exercițiul 12 (5 p)

a) Ecuația: $30 x + 15 \cdot 4 = 20 (x + 4)$ . (2 p) b) $30 x + 60 = 20 x + 80 \Rightarrow 10 x = 20 \Rightarrow x = 2$ . Se folosesc $2$ kg de bomboane de $30$ lei/kg. (2 p) Verificare: valoare $= 2 \cdot 30 + 4 \cdot 15 = 60 + 60 = 120$ lei; amestec $= 6$ kg $\cdot 20 = 120$ lei ✓. (1 p)

Exercițiul 13 (6 p)

a) Lățimea $x$ , lungimea $2 x$ ; ecuația: $2 (x + 2 x) = 96$ . (2 p) b) $2 \cdot 3 x = 96 \Rightarrow 6 x = 96 \Rightarrow x = 16$ ; lungimea $= 32$ . Dimensiuni: $16$ m și $32$ m. (3 p) c) Verificare: $2 (16 + 32) = 2 \cdot 48 = 96$ m ✓. (1 p)

Exercițiul 14 (5 p)

a) Ecuația: $x + 4 x = 180$ . (2 p) b) $5 x = 180 \Rightarrow x = 36$ ; celălalt $= 4 \cdot 36 = 144$ . Unghiurile sunt $3 6^{\circ}$ și $14 4^{\circ}$ . Verificare: $3 6^{\circ} + 14 4^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ✓. (3 p)

Exercițiul 15 (5 p — câte 1 p)

a) F — necunoscuta poate fi oricare mărime convenabilă; celelalte se exprimă apoi în funcție de ea. b) A — verificarea în enunț confirmă că soluția respectă toate condițiile problemei, nu doar ecuația. c) F — o soluție a ecuației poate să nu aibă sens în context (de ex. număr negativ sau nenatural), deci trebuie interpretată. d) A — un număr de persoane este obligatoriu număr natural. e) F — înlocuirea soluției doar în ecuația scrisă verifică numai corectitudinea rezolvării algebrice; soluția problemei se verifică înlocuind valoarea în datele enunțului (vezi afirmația b) — ecuația poate fi rezolvată corect, dar soluția să nu aibă sens în context.

Exercițiul 16 (5 p)

a) Albastre $x$ , roșii $2 x + 3$ ; ecuația: $x + (2 x + 3) = 20$ . (2 p) b) $3 x + 3 = 20 \Rightarrow 3 x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{3}$ . (2 p) c) Interpretare: numărul bilelor albastre ar trebui să fie număr natural, dar $\frac{17}{3}$ nu este natural. Prin urmare problema nu are soluție cu datele date (nu există o astfel de cutie de bile). (1 p)

Exercițiul 17 (5 p)

a) Ecuația: $x - \frac{1}{3} x - 200 = 400$ . (2 p) b) $\frac{2}{3} x - 200 = 400 \Rightarrow \frac{2}{3} x = 600 \Rightarrow x = 600 \cdot \frac{3}{2} = 900$ . A economisit $900$ lei. (2 p) Verificare: $\frac{1}{3} \cdot 900 = 300$ ; $900 - 300 - 200 = 400$ ✓. (1 p)

Exercițiul 18 (4 p)

a) Acum $x$ ani: fratele $15 - x$ , sora $9 - x$ ; ecuația: $15 - x = 3 (9 - x)$ . (2 p) b) $15 - x = 27 - 3 x \Rightarrow - x + 3 x = 27 - 15 \Rightarrow 2 x = 12 \Rightarrow x = 6$ . S-a întâmplat acum $6$ ani. (1 p) Verificare/interpretare: acum $6$ ani fratele avea $9$ ani, sora $3$ ani, iar $9 = 3 \cdot 3$ ✓; ambele vârste sunt pozitive, deci rezultatul are sens. (1 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul parcurge corect etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuației de gradul I: alege și notează necunoscuta, exprimă celelalte mărimi în funcție de ea, transpune enunțul într-o ecuație, rezolvă ecuația, apoi verifică soluția în enunț și interpretează rezultatul (formulează răspunsul și decide dacă are sens în context). Problemele au o singură necunoscută și acoperă contexte de numere, vârste, bani, mișcare, amestecuri și geometrie plană.

Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cele 18 cerințe însumează 90 de puncte.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu calcule scrise. La fiecare problemă se punctează separat modelarea (alegerea necunoscutei + scrierea ecuației), rezolvarea și verificarea/interpretarea. Un rezultat corect fără ecuație scrisă nu primește punctajul integral. La itemii de geometrie se realizează o figură.
Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație: virgula este separator zecimal (de ex. $0, 25$ ). A verifica o soluție înseamnă a înlocui valoarea în datele problemei (nu doar în ecuație) și a constata că toate condițiile sunt îndeplinite. A interpreta înseamnă a formula răspunsul în cuvinte și a verifica dacă rezultatul este acceptabil (de exemplu, un număr de persoane trebuie să fie număr natural).