Test: Produsul cartezian și reperul cartezian

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Elemente de organizare a datelor. Reperul cartezian"

Exerciții

Exercițiul 1 — Produsul cartezian a două mulțimi (5 puncte)

Se dau mulțimile $A=\{-2,0,3\}$ și $B=\{1,4\}$.

a) Scrie toate elementele produsului cartezian $A\times B$. b) Câte elemente are $A\times B$? Dar $B\times A$?

Exercițiul 2 — Determinarea mulțimilor din produs (5 puncte)

Se știe că $$A\times B=\{(2,1),(2,3),(4,1),(4,3)\}.$$

a) Determină mulțimile $A$ și $B$. b) Scrie mulțimea $B\times A$.

Exercițiul 3 — Adevărat sau fals, cu justificare (6 puncte)

Stabilește valoarea de adevăr a fiecărei afirmații și justifică pe scurt (câte un exemplu sau contraexemplu):

a) Dacă mulțimea $A$ are $4$ elemente și mulțimea $B$ are $3$ elemente, atunci $A\times B$ are $12$ elemente. b) Pentru orice mulțimi nevide $A$ și $B$ avem $A\times B=B\times A$. c) Perechile ordonate $(3,5)$ și $(5,3)$ sunt egale.

Exercițiul 4 — Citirea coordonatelor din reper (6 puncte)

Citește și scrie coordonatele fiecăruia dintre punctele $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ din figură, sub forma $(x,y)$.

Exercițiul 5 — Cadrane și cazuri particulare (6 puncte)

Pentru fiecare punct de mai jos, precizează în ce cadran se află sau pe ce axă este situat: $$A(-4,7),B(2,-9),C(-3,-1),D(6,5),E(0,-4),F(5,0).$$

Exercițiul 6 — Puncte pe axe (cu parametru) (5 puncte)

Se dă punctul $M(2a-6,a+1)$, unde $a$ este un număr real.

a) Determină $a$ astfel încât $M$ să se afle pe axa $Oy$. Scrie apoi coordonatele lui $M$. b) Determină $a$ astfel încât $M$ să se afle pe axa $Ox$. Scrie apoi coordonatele lui $M$.

Exercițiul 7 — Distanța dintre două puncte (5 puncte)

Se dau punctele $A(-1,2)$ și $B(3,5)$. Calculează distanța $AB$.

Exercițiul 8 — Simetria unui punct (6 puncte)

Se dă punctul $P(-4,3)$. Determină coordonatele:

a) simetricului lui $P$ față de axa $Ox$; b) simetricului lui $P$ față de axa $Oy$; c) simetricului lui $P$ față de originea $O$.

Exercițiul 9 — Patrulater în reper (7 puncte)

Se dau punctele $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(5,4)$ și $D(1,4)$.

a) Reprezintă punctele în reper și unește-le în ordinea $A,B,C,D$. b) Calculează lungimile laturilor $AB$ și $BC$ și arată că $ABCD$ este dreptunghi. c) Calculează perimetrul și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 10 — Punct pe axă la egală distanță (6 puncte)

Se dau punctele $A(1,3)$ și $B(5,1)$. Determină coordonatele punctului $M$ situat pe axa $Ox$ astfel încât $MA=MB$.

Exercițiul 11 — Dependență funcțională (tabel și diagramă) (5 puncte)

Un serviciu de închiriere de trotinete percepe o taxă fixă de pornire de $5$ lei, la care se adaugă $2$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. Notăm cu $k$ numărul de kilometri și cu $c$ costul total, în lei.

a) Completează tabelul de valori:

b) Reprezintă perechile $(k,c)$ ca puncte într-un reper cartezian. Ce observi în legătură cu poziția lor?

Exercițiul 12 — Citirea unui grafic (5 puncte)

Graficul arată temperatura aerului, măsurată din $2$ în $2$ ore, într-o zi.

a) Care a fost temperatura la ora $12$? b) La ce oră temperatura a fost cea mai mare și cât a fost? c) În ce interval de timp temperatura a scăzut?

Exercițiul 13 — Poligonul frecvențelor (6 puncte)

La un test, notele obținute de cei $25$ de elevi ai unei clase sunt date în tabelul de frecvențe:

a) Verifică faptul că suma frecvențelor este egală cu numărul total de elevi. b) Care este nota cu cea mai mare frecvență? c) Câți elevi au obținut cel puțin nota $8$?

Exercițiul 14 — Distanță și ecuație de tip $x^2=a$ (6 puncte)

Se dă punctul $B(2,3)$. Determină toate valorile numărului real $a$ pentru care punctul $A(a,0)$, situat pe axa $Ox$, se află la distanța $5$ față de $B$ (adică $AB=5$).

Exercițiul 15 — Distanță cu radicali (6 puncte)

Se dau punctele $M(2,-1)$ și $N(-3,4)$. Calculează distanța $MN$ și scrie rezultatul sub forma $b\sqrt{c}$, cu $c$ număr natural cât mai mic posibil (scoate factorii de sub radical).

Exercițiul 16 — Triunghi în reper (5 puncte)

Se dau punctele $A(-2,-1)$, $B(4,-1)$ și $C(1,3)$.

a) Calculează lungimile laturilor $AB$, $AC$ și $BC$. Ce fel de triunghi este $ABC$ după laturi? b) Știind că înălțimea din $C$ cade pe latura $AB$, calculează aria triunghiului $ABC$.

Barem și răspunsuri

Punctajele parțiale se acordă proporțional cu pașii corecți. Total cerințe: 90 p; +10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (5 p)

a) (3 p) $A\times B=\{(-2,1),(-2,4),(0,1),(0,4),(3,1),(3,4)\}$. b) (2 p) $A\times B$ are $3\cdot 2=6$ elemente; $B\times A$ are tot $2\cdot 3=6$ elemente. (Deși au același număr de elemente, $A\times B\ne B\times A$, fiindcă perechile au ordinea inversată.)

Exercițiul 2 (5 p)

a) (3 p) Primele componente sunt $2$ și $4$, iar a doua componentă ia valorile $1$ și $3$, deci $A=\{2,4\}$ și $B=\{1,3\}$. b) (2 p) $B\times A=\{(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)\}$.

Exercițiul 3 (6 p, câte 2 p)

a) Adevărat. Numărul de elemente al produsului cartezian este $|A|\cdot |B|=4\cdot 3=12$. b) Fals. Contraexemplu: $A=\{1\}$, $B=\{2\}$ dau $A\times B=\{(1,2)\}$, iar $B\times A=\{(2,1)\}$; cele două mulțimi sunt diferite. (Egalitatea are loc doar dacă $A=B$.) c) Fals. Perechile sunt ordonate: $(3,5)$ are abscisa $3$ și ordonata $5$, iar $(5,3)$ are abscisa $5$ și ordonata $3$. Sunt egale doar dacă cele două componente coincid.

Exercițiul 4 (6 p)

$A(-3,2)$; $B(4,3)$; $C(0,-4)$; $D(-2,-3)$; $E(5,0)$. (Câte ~1 p pe punct; se acceptă mici erori de citire ±1 diviziune doar dacă justificate.)

Exercițiul 5 (6 p, câte 1 p)

$A(-4,7)$ → cadranul II; $B(2,-9)$ → cadranul IV; $C(-3,-1)$ → cadranul III; $D(6,5)$ → cadranul I; $E(0,-4)$ → pe axa $Oy$ (semiaxa negativă); $F(5,0)$ → pe axa $Ox$ (semiaxa pozitivă).

Exercițiul 6 (5 p)

a) (2,5 p) Pe axa $Oy$ abscisa este $0$: $2a-6=0\Rightarrow a=3$. Atunci $M(0,4)$. b) (2,5 p) Pe axa $Ox$ ordonata este $0$: $a+1=0\Rightarrow a=-1$. Atunci $M(-8,0)$.

Exercițiul 7 (5 p)

$$AB=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$$

Exercițiul 8 (6 p, câte 2 p)

a) față de $Ox$ (se schimbă semnul ordonatei): $P^{\prime }(-4,-3)$. b) față de $Oy$ (se schimbă semnul abscisei): $P^{\prime \prime }(4,3)$. c) față de $O$ (se schimbă ambele semne): $P^{\prime \prime \prime }(4,-3)$.

Exercițiul 9 (7 p)

b) (3 p) $AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{16}=4$; $BC=\sqrt{(5-5{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{9}=3$. Laturile sunt paralele cu axele ($AB$ orizontală, $BC$ verticală), deci laturile alăturate sunt perpendiculare și $ABCD$ este dreptunghi. c) (4 p) Perimetrul $=2(AB+BC)=2(4+3)=14$; aria $=AB\cdot BC=4\cdot 3=12$. (Verificare opțională: diagonala $AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$.)

Exercițiul 10 (6 p)

$M$ pe $Ox$ are forma $M(x,0)$. Din $MA=MB$ rezultă $M{A}^2=M{B}^2$: $$(x-1{)}^2+(0-3{)}^2=(x-5{)}^2+(0-1{)}^2.$$ $$x^2-2x+1+9=x^2-10x+25+1\Rightarrow -2x+10=-10x+26\Rightarrow 8x=16\Rightarrow x=2.$$ Deci $M(2,0)$. (Verificare: $M{A}^2=1+9=10$, $M{B}^2=9+1=10$, deci $MA=MB=\sqrt{10}$.)

Exercițiul 11 (5 p)

a) (3 p) Regula este $c=5+2k$:

b) (2 p) Punctele $(0,5),(1,7),(2,9),(3,11),(4,13),(5,15)$ sunt coliniare (se află pe o aceeași linie dreaptă): la fiecare kilometru în plus, costul crește cu aceeași valoare, $2$ lei.

Exercițiul 12 (5 p)

a) (1 p) La ora $12$: $16^{\circ }$C. b) (2 p) Temperatura maximă a fost la ora $14$: $18^{\circ }$C. c) (2 p) Temperatura a scăzut în intervalul de la ora $14$ la ora $18$ (de la $18^{\circ }$C la $8^{\circ }$C).

Exercițiul 13 (6 p, câte 2 p)

a) $2+4+8+6+3+2=25$, egal cu numărul total de elevi. ✓ b) Nota cu cea mai mare frecvență (vârful poligonului) este $7$ (obținută de $8$ elevi). c) „Cel puțin nota $8$" înseamnă notele $8,9,10$: $6+3+2=11$ elevi.

Exercițiul 14 (6 p)

$A(a,0)$, $B(2,3)$, $AB=5\Rightarrow A{B}^2=25$: $$(a-2{)}^2+(0-3{)}^2=25\Rightarrow (a-2{)}^2+9=25\Rightarrow (a-2{)}^2=16.$$ Deci $a-2=4$ sau $a-2=-4$, de unde $a=6$ sau $a=-2$. Punctele sunt $A_1(6,0)$ și $A_2(-2,0)$. (Două soluții.)

Exercițiul 15 (6 p)

$$MN=\sqrt{(-3-2{)}^2+(4-(-1){)}^2}=\sqrt{(-5{)}^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}.$$ Scoatem factorul de sub radical: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$. Deci $MN=5\sqrt{2}$.

Exercițiul 16 (5 p)

a) (3 p) $AB=\sqrt{(4-(-2){)}^2+(-1-(-1){)}^2}=\sqrt{6^2}=6$; $AC=\sqrt{(1-(-2){)}^2+(3-(-1){)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$; $BC=\sqrt{(1-4{)}^2+(3-(-1){)}^2}=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. Cum $AC=BC=5$, triunghiul $ABC$ este isoscel (cu baza $AB$). b) (2 p) Latura $AB$ este pe dreapta $y=-1$, iar $C$ are ordonata $3$, deci înălțimea din $C$ este $h=3-(-1)=4$. Aria $=\frac{AB\cdot h}{2}=\frac{6\cdot 4}{2}=12$.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Total: 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul construiește corect produsul cartezian a două mulțimi nevide, citește și scrie coordonatele unui punct în sistemul de axe ortogonale, recunoaște cadranele și cazurile particulare (puncte pe axe), aplică simetria unui punct față de axe și de origine, calculează distanța dintre două puncte din plan și interpretează dependențe funcționale reprezentate prin tabele, diagrame și poligonul frecvențelor.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cele 16 cerințe însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu calcule scrise și justificări. La cerințele de tip „justifică", „arată că" sau „adevărat/fals" se punctează doar răspunsul însoțit de raționament. La itemii cu reper cartezian se recomandă desenarea unei figuri pe hârtie milimetrică (sau caiet de matematică).
• Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație folosită: $A\times B$ este produsul cartezian; o pereche ordonată se scrie $(x,y)$, unde $x$ este abscisa și $y$ ordonata; $xOy$ este sistemul de axe ortogonale cu originea $O(0,0)$; distanța dintre punctele $M$ și $N$ se notează $MN$.