Test pedagogic: proprietățile legilor de compoziție

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Structuri algebrice: legi de compoziție, monoid, grup, inel, corp

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră patru legi, notate de fiecare dată $x\circ y$. Care dintre ele este comutativă?

Variantele: a) „$2x+y$”; b) „$x-y$”; c) „$x+y+3xy$”; d) „$x^2+y$”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M_pedagogic.) Se consideră legea de compoziție $x\circ y=xy+27x+27y+702$, definită pe $\mathbb{R}$. Verificați dacă $e=-26$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\circ y=x+y-23$, care are elementul neutru $e=23$. Determină simetricul lui 5 în raport cu legea „$\circ$”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\circ y=x+y+17$. Arată că legea este asociativă.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\circ y=\frac{xy}{10}$. Determină elementul neutru al legii și simetricul lui 4.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Care dintre următoarele este monoid?

Variantele: a) „$(\mathbb{N},-)$”; b) „$({\mathbb{N}}^{\ast },+)$”; c) „$(\mathbb{N},\cdot )$”; d) „mulțimea numerelor întregi impare, cu adunarea”.

Partea a II-a – Situații de la școală și de acasă (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

La turneul de handbal al școlii, diferența de goluri dintre două echipe care au marcat $x$ și $y$ goluri este $x\circ y=|x-y|$, pentru $x,y\in \mathbb{N}$.

a) (5 puncte) Arată că legea este comutativă, dar nu este asociativă: calculează $(2\circ 5)\circ 7$ și $2\circ (5\circ 7)$.

b) (5 puncte) Arată că 0 este element neutru și că fiecare număr natural este propriul lui simetric. Este $(\mathbb{N},\circ )$ grup? Justifică.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Prețul excursiei unei clase se modifică de două ori: întâi cu $x\%$, apoi cu $y\%$ (un număr negativ înseamnă o ieftinire). Modificarea totală, în procente, este $x\circ y=x+y+\frac{xy}{100}$, pentru $x,y\in (-100;+\infty )$, fiindcă $1+\frac{x\circ y}{100}=\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{y}{100}\right)$.

a) (5 puncte) Calculează $10\circ 20$. Arată că legea este comutativă și asociativă.

b) (5 puncte) Determină elementul neutru și simetricul lui 25. Ce înseamnă simetricul lui 25 pentru prețul excursiei?

Exercițiul 9 (10 puncte)

La ora de matematică și explorarea mediului, copiii învață ordinea anotimpurilor: primăvara, vara, toamna, iarna, apoi iar primăvara. Mutarea cu $x$ anotimpuri înainte, urmată de mutarea cu încă $y$ anotimpuri, are același efect ca o singură mutare cu $x\circ y$ anotimpuri, unde $x\circ y$ este restul împărțirii lui $x+y$ la 4, pentru $x,y\in M=\{0;1;2;3\}$.

a) (5 puncte) Scrie tabla legii pe $M$. Arată, folosind tabla, că legea este comutativă și află elementul ei neutru.

b) (5 puncte) Află simetricul fiecărui element din $M$. Știind că legea este asociativă, explică de ce $(M,\circ )$ este grup.

Partea a III-a – Probleme de tip examen și o sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M_pedagogic.) Se consideră legea de compoziție $x\circ y=2xy-10x-10y+55$, definită pe $\mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=2(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=\frac{11}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

c) (5 puncte) Determinați simetricul lui 6 în raport cu legea de compoziție „$\circ$”.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Pe mulțimea $G=(12;+\infty )$ se consideră legea $x\circ y=\frac{1}{2}xy-6x-6y+84$.

a) (5 puncte) Arată că $x\circ y=\frac{1}{2}(x-12)(y-12)+12$ și că $G$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea.

b) (5 puncte) Arată că legea este asociativă și că $e=14$ este elementul ei neutru.

c) (5 puncte) Arată că orice $x\in G$ are un simetric în $G$, determină simetricul lui 16 și deduce că $(G,\circ )$ este grup comutativ.

Barem și răspunsuri

Punctele fiecărui pas sunt trecute între paranteze, iar o rezolvare corectă pe alt drum primește aceleași puncte. La Partea a III-a, fără calcul și fără justificare subpunctul nu ia punctele, chiar dacă rezultatul este corect. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar propoziția „Verificare” nu poartă puncte.

Exercițiul 1.

Pentru legile care nu sunt comutative ajunge o pereche: la a), $1\circ 2=4$, dar $2\circ 1=5$; la b), $1\circ 2=-1$, dar $2\circ 1=1$; la d), $1\circ 2=3$, dar $2\circ 1=5$ (3 p). La c), schimbând pe $x$ cu $y$ se obține $y+x+3yx$, aceeași expresie, deci legea este comutativă: $\mathbf{c})$ (2 p). Verificare: la c), $1\circ 2=1+2+6=9$ și $2\circ 1=2+1+6=9$. Cine încearcă doar perechea $x=y$ nu poate respinge nicio lege: $x\circ x$ este același număr în ambele ordini.

Exercițiul 2.

$x\circ (-26)=-26x+27x-702+702=x$ (2 p) și $(-26)\circ x=-26x-702+27x+702=x$ (2 p), pentru orice număr real $x$, deci $e=-26$ este elementul neutru: răspunsul este $\mathbf{da}$ (1 p). Verificare: $3\circ (-26)=-78+81-702+702=3$. Cine alege $-27$, opusul numărului din formulă, găsește $3\circ (-27)=-81+81-729+702=-27$, nu 3: $-27$ nu lasă numerele neschimbate, ci le „înghite”.

Exercițiul 3.

Simetricul $x^{\prime }$ verifică $5\circ x^{\prime }=23$, adică $5+x^{\prime }-23=23$ (3 p), deci $x^{\prime }=41$; legea este comutativă, deci și $x^{\prime }\circ 5=23$ (2 p). Verificare: $5\circ 41=5+41-23=23$. Cine ia opusul de la adunare, $-5$, obține $5\circ (-5)=-23$, nu elementul neutru 23.

Exercițiul 4.

$(x\circ y)\circ z=(x+y+17)+z+17=x+y+z+34$ (2 p) și $x\circ (y\circ z)=x+(y+z+17)+17=x+y+z+34$ (2 p); cele două expresii sunt egale pentru orice $x,y,z$, deci legea este asociativă (1 p). Verificare: $(1\circ 2)\circ 3=20\circ 3=40$ și $1\circ (2\circ 3)=1\circ 22=40$. Cine adună constanta 17 o singură dată obține $x+y+z+17$ și nu mai vede că fiecare compunere aduce încă un 17.

Exercițiul 5.

$x\circ e=\frac{xe}{10}=x$ pentru orice $x$ cere $\frac{e}{10}=1$, deci $e=10$; legea este comutativă, deci și $e\circ x=x$ (2 p). Simetricul lui 4 verifică $4\circ x^{\prime }=\frac{4x^{\prime }}{10}=10$, deci $x^{\prime }=25$ (3 p). Verificare: $4\circ 25=\frac{100}{10}=10$. Cine ia $e=1$, ca la înmulțire, găsește $4\circ 1=\frac{2}{5}$, nu 4.

Exercițiul 6.

La a), $2-5=-3\notin \mathbb{N}$, deci scăderea nu este lege pe $\mathbb{N}$; la b), $n+e=n$ cere $e=0$, care nu este în ${\mathbb{N}}^{\ast }$, deci nu există element neutru; la d), $1+1=2$ este par, deci adunarea nu este lege pe numerele impare (3 p). La c), înmulțirea este lege pe $\mathbb{N}$, este asociativă și are elementul neutru 1, deci $(\mathbb{N},\cdot )$ este monoid: $\mathbf{c})$ (2 p). Verificare: $(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$ și $7\cdot 1=7$. $(\mathbb{N},\cdot )$ nu este însă grup: 2 nu are invers în $\mathbb{N}$, fiindcă $\frac{1}{2}\notin \mathbb{N}$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) $|x-y|=|y-x|$ pentru orice $x,y$, deci legea este comutativă (2 p). $(2\circ 5)\circ 7=3\circ 7=4$ (1 p), iar $2\circ (5\circ 7)=2\circ 2=0$ (1 p); rezultatele diferă, deci legea nu este asociativă (1 p).

b) (5 p) Pentru $x\in \mathbb{N}$, $x\circ 0=|x|=x$ și $0\circ x=x$, deci 0 este element neutru (2 p). $x\circ x=0$, deci fiecare $x$ este propriul lui simetric (2 p). Legea nu este asociativă, deci $(\mathbb{N},\circ )$ nu este grup, deși are neutru și simetrice (1 p).

Verificare: a) $|2-5|=3$ și $|3-7|=4$; $|5-7|=2$ și $|2-2|=0$. b) $6\circ 0=6$ și $9\circ 9=0$. Cine verifică grupul doar prin neutru și simetrice uită prima condiție, asociativitatea.

Exercițiul 8.

a) (5 p) $10\circ 20=10+20+2=32$ (1 p). Formula nu se schimbă când schimbi $x$ cu $y$, deci legea este comutativă (1 p). Din $1+\frac{x\circ y}{100}=\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{y}{100}\right)$ rezultă că $1+\frac{(x\circ y)\circ z}{100}$ este produsul celor trei factori $\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{y}{100}\right)\left(1+\frac{z}{100}\right)$ (1 p); același produs dă și $1+\frac{x\circ (y\circ z)}{100}$, iar înmulțirea este asociativă, deci $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ (2 p).

b) (5 p) $x\circ 0=x+0+0=x$ și $0\circ x=x$, deci $e=0$, adică „nicio modificare” (2 p). Simetricul lui 25 verifică $25+x^{\prime }+\frac{25x^{\prime }}{100}=0$, adică $\frac{5}{4}{x}^{\prime }=-25$, deci $x^{\prime }=-20$ (2 p). O scumpire cu $25\%$ urmată de o ieftinire cu $20\%$ readuce prețul la cel inițial (1 p).

Verificare: a) un preț de 100 de lei devine 110 lei, apoi $110\cdot 1,2=132$ de lei, adică $+32\%$. b) 100 de lei devin 125 de lei, iar $125\cdot 0,8=100$ de lei. Cine ia simetricul lui 25 egal cu $-25$ obține $25\circ (-25)=-6,25$, nu 0: după o scumpire și o ieftinire cu același procent prețul scade.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Tabla are liniile $0,1,2,3$ / $1,2,3,0$ / $2,3,0,1$ / $3,0,1,2$ (linia lui $x$, coloanele $0$, $1$, $2$, $3$); toate rezultatele sunt în $M$ (2 p). Tabla este simetrică față de diagonala principală, deci legea este comutativă (1 p). Linia și coloana lui 0 repetă antetul, deci elementul neutru este $0$ (2 p).

b) (5 p) 0 și 2 sunt propriii lor simetrici, iar 1 și 3 sunt simetrice unul altuia: $1\circ 3=0$ (3 p). Legea este internă pe $M$, asociativă, are element neutru și fiecare element are simetric, deci $(M,\circ )$ este grup (2 p).

Verificare: a) $2\circ 3=1$, fiindcă $5=4+1$: două anotimpuri și încă trei înseamnă un an întreg și încă un anotimp. b) $2\circ 2=0$: după două mutări cu câte două anotimpuri revii în același anotimp. Cine caută simetricul lui 1 printre numerele negative, $-1$, iese din $M$; în $M$, același efect îl are 3.

Exercițiul 10.

a) (5 p) $2(x-5)(y-5)+5=2(xy-5x-5y+25)+5=2xy-10x-10y+50+5$ (3 p), adică $2xy-10x-10y+55=x\circ y$, pentru orice $x$ și $y$ (2 p).

b) (5 p) $x\circ \frac{11}{2}=2(x-5)\left(\frac{11}{2}-5\right)+5=2(x-5)\cdot \frac{1}{2}+5=x$ (3 p); legea este comutativă, deci și $\frac{11}{2}\circ x=x$, pentru orice $x$: $e=\frac{11}{2}$ este elementul neutru (2 p).

c) (5 p) Simetricul $x^{\prime }$ al lui 6 verifică $6\circ x^{\prime }=\frac{11}{2}$, adică $2\cdot 1\cdot (x^{\prime }-5)+5=\frac{11}{2}$ (2 p); de aici $x^{\prime }-5=\frac{1}{4}$, deci $x^{\prime }=\frac{21}{4}$ (3 p).

Verificare: a) pentru $x=0$ și $y=1$: $0-0-10+55=45$ și $2\cdot (-5)\cdot (-4)+5=45$. b) $7\circ \frac{11}{2}=77-70-55+55=7$. c) $6\circ \frac{21}{4}=63-60-\frac{105}{2}+55=\frac{11}{2}$. Cine pune $6\circ x^{\prime }=0$ confundă elementul neutru al legii cu 0 de la adunare și obține $x^{\prime }=\frac{5}{2}$.

Exercițiul 11.

a) (5 p) $\frac{1}{2}(x-12)(y-12)+12=\frac{1}{2}(xy-12x-12y+144)+12=\frac{1}{2}xy-6x-6y+72+12=x\circ y$ (2 p). Pentru $x,y>12$, ambii factori sunt pozitivi, deci $\frac{1}{2}(x-12)(y-12)>0$ și $x\circ y>12$: $G$ este parte stabilă (3 p).

b) (5 p) $(x\circ y)\circ z=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(x-12)(y-12)\cdot (z-12)+12=\frac{1}{4}(x-12)(y-12)(z-12)+12$ și, la fel, $x\circ (y\circ z)=\frac{1}{4}(x-12)(y-12)(z-12)+12$, deci legea este asociativă (3 p). $x\circ 14=\frac{1}{2}(x-12)\cdot 2+12=x$ și, legea fiind comutativă, $14\circ x=x$: $e=14$ (2 p).

c) (5 p) $x\circ x^{\prime }=14$ înseamnă $\frac{1}{2}(x-12)(x^{\prime }-12)=2$, adică $(x-12)(x^{\prime }-12)=4$, deci $x^{\prime }=12+\frac{4}{x-12}$, care este mai mare decât 12, adică în $G$ (2 p). Pentru $x=16$: $x^{\prime }=12+\frac{4}{4}=13$ (2 p). Legea este internă, asociativă, cu neutru, fiecare element are simetric și legea este comutativă, deci $(G,\circ )$ este grup comutativ (1 p).

Verificare: a) $15\circ 16=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4+12=18>12$. b) $(13\circ 13)\circ 13=\frac{25}{2}\circ 13=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1+12=\frac{49}{4}=\frac{1}{4}\cdot 1\cdot 1\cdot 1+12$. c) $16\circ 13=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1+12=14$. Pe tot $\mathbb{R}$ legea nu ar da grup: $12\circ x=12$ pentru orice $x$, deci 12 nu are simetric.

Pentru părinți și profesori

Testul este al doilea din capitolul „Structuri algebrice” al clasei a XI-a, profilul pedagogic. După legea de compoziție și partea stabilă, el verifică proprietățile legii: comutativitatea, asociativitatea, elementul neutru și elementele simetrizabile, apoi primele structuri construite pe ele, monoidul și grupul. Inelul, corpul și clasele de resturi rămân pentru testul despre ${\mathbb{Z}}_n$.

• Punctaj: din exerciții iei cel mult 90 de puncte; la ele se adaugă 10 puncte din oficiu, deci lucrarea are maximum 100 de puncte.
• Timp de lucru: 50 de minute.
• Cum se lucrează: pe foaie, fără calculator, fiecare exercițiu cu calculele lui; la Partea a III-a nu ajunge rezultatul, trebuie arătat și drumul până la el. Ghidajul desparte exercițiul în pași mici: întâi o întrebare cu patru răspunsuri, apoi un număr de aflat, iar o variantă greșită vine cu explicația ei. Îl pornești numai când exercițiul nu iese singur.
• 90–100 de puncte: proprietățile legilor sunt stăpânite; treci la forma factorizată și la ecuațiile cu legi.
• 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul, doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
• 60–74 de puncte: pentru fiecare exercițiu cu mai puțin de jumătate din puncte citești lecția din tabel, apoi lucrezi din nou testul peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi lecțiile din tabel, una după alta, apoi lucrezi testul de la început, cu ghidajul alături.
• Formule de reținut: legea este comutativă când $x\circ y=y\circ x$ și asociativă când $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$, pentru orice elemente; o singură pereche sau un singur triplet cu rezultate diferite respinge proprietatea; elementul neutru $e$ verifică $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$, iar simetricul $x^{\prime }$ al lui $x$ verifică $x\circ x^{\prime }=x^{\prime }\circ x=e$; un monoid este o mulțime cu o lege asociativă care are element neutru; un grup este un monoid în care fiecare element are simetric; pentru $x\circ y=k(x-a)(y-a)+a$, numărul $a$ „înghite” orice element, $a\circ x=a$, deci nu are simetric.

Exercițiile 2 și 10 poartă marcajul „tip Bacalaureat M_pedagogic”: urmează formele cerințelor de la Subiectul al II-lea, dar cu legi și numere care nu apar în probele oficiale 2013–2026.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M_pedagogic din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006), la capitolul „Structuri algebrice”. În cele 60 de probe oficiale din 2013–2026, Subiectul al II-lea a cerut elementul neutru în 35 de probe, comutativitatea în 20, asociativitatea în 14 și simetricul unui element în 5. Monoidul și grupul nu au apărut ca cerințe în aceste probe; fiind în programă, pot fi cerute. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 au alt plan-cadru: la profilul pedagogic, disciplina Matematică nu mai are ore în clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 4152/2026; la specializarea pedagogia învățământului primar rămâne, separat, disciplina „Aritmetică” (curriculum de specialitate), o oră pe săptămână în clasele a XI-a și a XII-a), iar la Bacalaureat ea poate fi doar o probă aleasă, pe materia claselor a IX-a și a X-a (OMEC 4138/2026); testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.