Test: Puteri, medii și ecuația x² = a

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Operații cu numere reale și radicali"

Exerciții

Exercițiul 1 — Puteri cu exponent număr întreg (6 puncte)

Calculează, scriind rezultatul ca fracție ireductibilă sau ca număr întreg:

a) $2^{-3}$ b) $(-3{)}^0$ c) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}$ d) $(-2{)}^{-4}$ e) $10^{-2}$ f) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$

Exercițiul 2 — Ordinea efectuării operațiilor (6 puncte)

Calculează, respectând ordinea operațiilor (întâi puterile, apoi înmulțiri/împărțiri, apoi adunări/scăderi; parantezele au prioritate):

a) $2^4-3\cdot 2^2+5$ b) $(5-2{)}^2\cdot 2-6^2:3$ c) $\frac{4^3:4}{2^3}+(-1{)}^5$

Exercițiul 3 — Reguli de calcul cu puteri: Adevărat / Fals (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt:

a) $a^0=1$ pentru orice număr real $a$. b) $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ (pentru $a\ne 0$). c) ${\left(a^m\right)}^n=a^{m+n}$. d) $2^{-3}=-2^3$.

Exercițiul 4 — Scrierea ca o singură putere (5 puncte)

Scrie fiecare expresie ca o singură putere, folosind regulile de calcul:

a) $2^5\cdot 2^3$ b) $\frac{7^9}{7^6}$ c) ${\left(3^2\right)}^4$ d) $\frac{5^4\cdot 5^{-1}}{5^2}$

Exercițiul 5 — Scoaterea factorilor de sub radical (5 puncte)

Scrie sub forma $a\sqrt{b}$, cu $b$ număr natural cât mai mic (fără factori care sunt pătrate perfecte):

a) $\sqrt{72}$ b) $\sqrt{75}$ c) $\sqrt{180}$

Exercițiul 6 — Introducerea factorilor sub radical și comparare (5 puncte)

a) Introdu factorul sub radical: (i) $4\sqrt{3}$; (ii) $2\sqrt{10}$.

b) Compară numerele $5\sqrt{2}$ și $4\sqrt{3}$ (scrie $<$, $>$ sau $=$). Justifică prin introducerea factorilor sub radical, fără a folosi valori aproximative de la calculator.

Exercițiul 7 — Adunarea și scăderea numerelor reale (radicali) (6 puncte)

Efectuează, reducând termenii asemenea (aduci întâi radicalii la aceeași formă):

a) $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}$ b) $\sqrt{50}-\sqrt{8}$ c) $\sqrt{27}+\sqrt{12}-\sqrt{3}$ d) $2\sqrt{45}-\sqrt{20}$

Exercițiul 8 — Înmulțirea și împărțirea cu radicali (5 puncte)

Calculează, folosind $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ și $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$:

a) $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}$ b) $2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}$ c) $\sqrt{50}:\sqrt{2}$ d) $\frac{6\sqrt{18}}{2\sqrt{2}}$

Exercițiul 9 — Raționalizarea numitorului (5 puncte)

Raționalizează numitorul (amplifică fracția cu radicalul potrivit) și simplifică:

a) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ b) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ c) $\frac{10}{2\sqrt{5}}$

Exercițiul 10 — Ordinea operațiilor cu radicali (5 puncte)

Calculează, respectând ordinea operațiilor:

a) $2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{16}$ b) ${\left(\sqrt{5}\right)}^2+3\cdot \sqrt{4}-2^3$ c) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}+\sqrt{49}$

Exercițiul 11 — Media aritmetică ponderată (6 puncte)

a) La matematică, un elev are notele $8$, $9$ și $10$, cu ponderile (coeficienții de importanță) $1$, $2$ și, respectiv, $2$. Calculează media ponderată.

b) La un examen, media finală este media ponderată a probei scrise (pondere $2$) și a probei orale (pondere $1$). Un candidat a obținut $8,5$ la proba scrisă. Ce notă trebuie să obțină la proba orală pentru ca media finală să fie exact $9$?

Exercițiul 12 — Media geometrică (5 puncte)

Calculează media geometrică $\sqrt{a\cdot b}$ a numerelor:

a) $a=4$ și $b=25$ b) $a=3$ și $b=27$ c) $a=2$ și $b=6$ (scrie rezultatul sub formă de radical simplificat $a\sqrt{b}$)

Exercițiul 13 — Ecuația de forma $x^2=a$ (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$, precizând de fiecare dată câte soluții reale are ecuația:

a) $x^2=25$ b) $x^2=5$ c) $x^2=0$ d) $x^2=-9$ e) $x^2=12$

Exercițiul 14 — Aplicație: latura unei plăci pătrate (6 puncte)

O placă pătrată are aria de $32{\text{dm}}^2$. Notăm cu $x$ (în dm) lungimea laturii.

a) Scrie ecuația de forma $x^2=a$ verificată de latura $x$. b) Rezolvă ecuația și alege soluția cu sens pentru o lungime (scrie sub forma $a\sqrt{b}$). Explică de ce o soluție se respinge. c) Este lungimea laturii un număr rațional sau irațional? Dă o valoare aproximativă, cu o zecimală.

Exercițiul 15 — Problemă aplicată: preț mediu (5 puncte)

Un comerciant a cumpărat $20$ kg de mere cu $3$ lei/kg și $30$ kg de mere cu $5$ lei/kg.

a) Calculează prețul mediu pe kilogram al întregii cantități (medie ponderată a prețurilor). b) Media aritmetică simplă a celor două prețuri este $\frac{3+5}{2}=4$ lei/kg. Explică în una–două propoziții de ce prețul mediu real nu este egal cu $4$ lei/kg.

Exercițiul 16 — Geometrie: teorema lui Pitagora și ecuația $x^2=a$ (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=2$ cm și $AC=4$ cm. Notăm cu $x$ lungimea ipotenuzei $BC$.

a) Scrie relația dată de teorema lui Pitagora și adu-o la forma $x^2=a$. b) Rezolvă și scrie lungimea ipotenuzei sub forma $a\sqrt{b}$ (radical simplificat). c) Dă o valoare aproximativă a ipotenuzei, cu o zecimală.

Exercițiul 17 — Sinteză: Adevărat / Fals cu motivare (4 puncte)

Stabilește A sau F și motivează (dă, unde e cazul, un contraexemplu):

a) Ecuația $x^2=a$ are întotdeauna două soluții reale. b) $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ pentru orice $a\ge 0$ și $b\ge 0$. c) $\sqrt{a^2}=a$ pentru orice număr real $a$. d) $5^{-2}=\frac{1}{25}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 17 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (6 p — câte 1 p)

a) $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$ b) $(-3{)}^0=1$ (orice bază nenulă la puterea $0$ dă $1$) c) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}={\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$ d) $(-2{)}^{-4}=\frac{1}{(-2{)}^4}=\frac{1}{16}$ e) $10^{-2}=\frac{1}{100}=0,01$ f) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$

Exercițiul 2 (6 p — câte 2 p)

a) $2^4-3\cdot 2^2+5=16-3\cdot 4+5=16-12+5=9$ b) $(5-2{)}^2\cdot 2-6^2:3=3^2\cdot 2-36:3=9\cdot 2-12=18-12=6$ c) $\frac{4^3:4}{2^3}+(-1{)}^5=\frac{64:4}{8}+(-1)=\frac{16}{8}-1=2-1=1$

Exercițiul 3 (5 p)

a) F (1,5 p) — egalitatea $a^0=1$ este valabilă doar pentru $a\ne 0$; pentru $a=0$, $0^0$ nu este definit. b) A (1 p) — la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună. c) F (1,5 p) — corect este ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$ (exponenții se înmulțesc), nu $a^{m+n}$. d) F (1 p) — $2^{-3}=\frac{1}{8}$ (pozitiv), pe când $-2^3=-8$.

Exercițiul 4 (5 p)

a) $2^5\cdot 2^3=2^8$ (1 p) b) $\frac{7^9}{7^6}=7^{9-6}=7^3$ (1 p) c) ${\left(3^2\right)}^4=3^{2\cdot 4}=3^8$ (1,5 p) d) $\frac{5^4\cdot 5^{-1}}{5^2}=5^{4+(-1)-2}=5^1=5$ (1,5 p)

Exercițiul 5 (5 p)

a) $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$ (1,5 p) b) $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$ (1,5 p) c) $\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$ (2 p)

Exercițiul 6 (5 p)

a) (i) $4\sqrt{3}=\sqrt{4^2\cdot 3}=\sqrt{48}$; (ii) $2\sqrt{10}=\sqrt{2^2\cdot 10}=\sqrt{40}$. (2 p) b) $5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}$ și $4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}$. Cum $50>48$, rezultă $\sqrt{50}>\sqrt{48}$, deci $5\sqrt{2}>4\sqrt{3}$. (3 p)

Exercițiul 7 (6 p)

a) $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3+5-1)\sqrt{2}=7\sqrt{2}$ (1,5 p) b) $\sqrt{50}-\sqrt{8}=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ (1,5 p) c) $\sqrt{27}+\sqrt{12}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ (1,5 p) d) $2\sqrt{45}-\sqrt{20}=2\cdot 3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=6\sqrt{5}-2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$ (1,5 p)

Exercițiul 8 (5 p)

a) $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ (1 p) b) $2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{10}$ (1,5 p) c) $\sqrt{50}:\sqrt{2}=\sqrt{25}=5$ (1 p) d) $\frac{6\sqrt{18}}{2\sqrt{2}}=3\cdot \sqrt{\frac{18}{2}}=3\sqrt{9}=3\cdot 3=9$ (1,5 p)

Exercițiul 9 (5 p)

a) $\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ (1,5 p) b) $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ (1,5 p) c) $\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\frac{10\sqrt{5}}{10}=\sqrt{5}$ (2 p)

Exercițiul 10 (5 p)

a) $2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{16}=2\cdot 3-4=6-4=2$ (1,5 p) b) ${\left(\sqrt{5}\right)}^2+3\cdot \sqrt{4}-2^3=5+3\cdot 2-8=5+6-8=3$ (1,5 p) c) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}+\sqrt{49}=\sqrt{36}+7=6+7=13$ (2 p)

Exercițiul 11 (6 p)

a) Media ponderată $=\frac{8\cdot 1+9\cdot 2+10\cdot 2}{1+2+2}=\frac{8+18+20}{5}=\frac{46}{5}=9,2$. (3 p) b) Fie $x$ nota la oral: $\frac{2\cdot 8,5+1\cdot x}{2+1}=9\Rightarrow 17+x=27\Rightarrow x=10$. (3 p)

Exercițiul 12 (5 p)

a) $\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt{100}=10$ (1,5 p) b) $\sqrt{3\cdot 27}=\sqrt{81}=9$ (1,5 p) c) $\sqrt{2\cdot 6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ (2 p)

Exercițiul 13 (6 p)

a) $x^2=25\Rightarrow x=\pm 5$ (două soluții reale). (1 p) b) $x^2=5\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}$ (două soluții reale). (1,5 p) c) $x^2=0\Rightarrow x=0$ (o singură soluție). (1 p) d) $x^2=-9$ — nicio soluție reală (un pătrat nu poate fi negativ). (1 p) e) $x^2=12\Rightarrow x=\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$ (două soluții reale). (1,5 p)

Exercițiul 14 (6 p)

a) $x^2=32$. (2 p) b) $x=\pm \sqrt{32}=\pm 4\sqrt{2}$; se respinge $-4\sqrt{2}$ (o lungime nu poate fi negativă), deci latura este $x=4\sqrt{2}$ dm. (3 p) c) Irațional ($2$ nu este pătrat perfect $\Rightarrow \sqrt{2}$ irațional, deci și $4\sqrt{2}$); $4\sqrt{2}\approx 4\cdot 1,414=5,656\approx 5,7$ dm. (1 p)

Exercițiul 15 (5 p)

a) Preț mediu $=\frac{20\cdot 3+30\cdot 5}{20+30}=\frac{60+150}{50}=\frac{210}{50}=4,2$ lei/kg. (3 p) b) Prețul mediu este o medie ponderată: cantitatea mai mare ($30$ kg) este cea mai scumpă ($5$ lei/kg), deci „trage" media în sus față de media simplă $4$ lei/kg. Cele două prețuri nu au aceeași pondere. (2 p)

Exercițiul 16 (5 p)

a) Teorema lui Pitagora: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, deci $x^2=2^2+4^2=4+16=20$. (2 p) b) $x=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ cm (păstrăm doar rădăcina pozitivă, fiind o lungime). (2 p) c) $2\sqrt{5}\approx 2\cdot 2,24=4,48\approx 4,5$ cm. (1 p)

Exercițiul 17 (4 p — câte 1 p)

a) F — depinde de $a$: dacă $a>0$ sunt două soluții, dacă $a=0$ este una singură ($x=0$), iar dacă $a<0$ nu există soluții reale. b) A — aceasta este chiar regula de înmulțire a radicalilor pentru numere nenegative. c) F — corect este $\sqrt{a^2}=|a|$; de exemplu $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3=|-3|$, nu $-3$. d) A — $5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$.

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică operațiile de bază din prima unitate de algebră a clasei a VII-a: puterile cu exponent număr întreg (inclusiv exponenți negativi) și regulile lor, ordinea efectuării operațiilor cu numere reale, lucrul cu radicali (scoaterea și introducerea factorilor de sub radical, adunarea/scăderea, înmulțirea și împărțirea, raționalizarea unui numitor de forma $a\sqrt{b}$), media aritmetică ponderată și media geometrică, precum și rezolvarea ecuației de forma $x^2=a$. Doi itemi de geometrie plană conectează aceste noțiuni cu teorema lui Pitagora și cu aria pătratului.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 17 itemi însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. La cerințele „justifică", „arată că" sau „adevărat/fals cu motivare" se punctează doar răspunsurile însoțite de raționament. La itemii de geometrie se recomandă realizarea unei figuri.
• Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație folosită: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (pentru $a\ne 0$); $\sqrt{a}$ este radicalul (rădăcina pătrată) a lui $a\ge 0$; $|a|$ este modulul (valoarea absolută) a lui $a$; media geometrică a două numere pozitive $a$ și $b$ este $\sqrt{a\cdot b}$.