Test: rapoarte, proporții și proporții derivate

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Scrieți sub formă de raport ireductibil (fracție simplificată la maxim): a) raportul numerelor 18 și 24; b) raportul numerelor 0,6 și 1,5; c) raportul dintre 45 de minute și 2 ore (atenție la aceeași unitate de măsură).

Exercițiul 2 (6 puncte)

Completați: a) 35% scris ca raport ireductibil este … ; b) raportul $\frac{3}{4}$ scris sub formă de procent este … ; c) numărul 0,08 scris sub formă de procent este … .

Exercițiul 3 (5 puncte)

O geacă costă 240 de lei. La promoție se aplică o reducere de 15%. a) Cât reprezintă reducerea, în lei? b) Cât plătește clientul după reducere?

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se știe că 18% dintr-un număr este egal cu 54. Aflați numărul.

Exercițiul 5 (6 puncte)

Pe un bon fiscal apare prețul total de 605 lei, care include TVA de 21%. a) Care era prețul produsului fără TVA? b) Cât reprezintă TVA-ul, în lei?

Exercițiul 6 (6 puncte)

O persoană depune la bancă 4000 de lei, cu o dobândă simplă de 5% pe an. a) Ce dobândă primește după un an? b) Ce sumă va avea în cont după 2 ani (dobânda nu se reinvestește)?

Exercițiul 7 (5 puncte)

Stabiliți dacă egalitatea $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ formează o proporție. Justificați răspunsul folosind proprietatea fundamentală a proporțiilor (produsul mezilor egal cu produsul extremilor).

Exercițiul 8 (6 puncte)

Aflați termenul necunoscut din fiecare proporție: a) $\frac{x}{12} = \frac{15}{20}$ ; b) $\frac{8}{y} = \frac{12}{9}$ .

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se știe că $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{2}{3}$ și că $a + c = 12$ . Folosind o proporție derivată, aflați valoarea sumei $b + d$ .

Exercițiul 10 (6 puncte)

Trei elevi împart o sumă de 360 de lei, primită ca premiu, în părți direct proporționale cu numerele 2, 3 și 4 (un șir de rapoarte egale). Ce sumă revine fiecăruia?

Exercițiul 11 (5 puncte)

5 caiete identice costă 35 de lei. Câți lei costă 8 caiete de același fel? Precizați ce tip de mărimi sunt numărul de caiete și costul.

Exercițiul 12 (5 puncte)

6 muncitori termină o lucrare în 8 zile, lucrând în același ritm. În câte zile ar termina aceeași lucrare 4 muncitori? Precizați ce tip de mărimi sunt numărul de muncitori și numărul de zile.

Exercițiul 13 (5 puncte)

Un automobil consumă 7 litri de carburant la fiecare 100 km parcurși. De câți litri are nevoie pentru un drum de 250 km? Rezolvați folosind regula de trei simplă.

Exercițiul 14 (6 puncte)

Pe o hartă cu scara 1 : 200 000, distanța dintre două localități este de 4,5 cm.

Care este distanța reală dintre cele două localități, exprimată în kilometri?

Exercițiul 15 (8 puncte)

Un produs costă inițial 480 de lei. a) În prima săptămână se scumpește cu 10%. Care este noul preț? b) În a doua săptămână se ieftinește cu 10% față de prețul deja scumpit. Care este prețul după a doua săptămână? c) Este prețul final egal cu prețul inițial? Justificați răspunsul prin calcul.

Exercițiul 16 (4 puncte)

Numerele $a$ , $b$ , $c$ sunt direct proporționale cu 3, 4 și 5, iar suma lor este $a + b + c = 60$ . Aflați cele trei numere, folosind un șir de rapoarte egale.

Barem și răspunsuri

Punctajul fiecărui subpunct se acordă numai cu calcul/justificare scrisă. La itemii de tip adevărat/fals, răspunsul fără motivare se punctează cu cel mult jumătate.

1. (6p) câte 2p pe subpunct. a) $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (am simplificat cu 6). b) $\frac{0 , 6}{1 , 5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ (am amplificat cu 10, apoi am simplificat cu 3). c) 2 ore = 120 de minute, deci $\frac{45}{120} = \frac{3}{8}$ (simplificat cu 15).

2. (6p) câte 2p pe subpunct. a) $35% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$ . b) $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75%$ . c) $0, 08 = \frac{8}{100} = 8%$ .

3. (5p) a) Reducerea $= 15% \cdot 240 = \frac{15}{100} \cdot 240 = 36$ lei. (2p) b) Preț plătit $= 240 - 36 = 204$ lei. (3p)

4. (5p) Dacă 18% din număr = 54, atunci numărul $= 54 : 18% = \frac{54}{0 , 18} = \frac{54 \cdot 100}{18} = 300$ . (5p) Verificare: $18% \cdot 300 = 54$ . ✓

5. (6p) Prețul total reprezintă $100% + 21% = 121%$ din prețul fără TVA. a) Preț fără TVA $= \frac{605}{1 , 21} = 500$ lei. (4p) b) TVA $= 605 - 500 = 105$ lei (sau $21% \cdot 500 = 105$ ). (2p)

6. (6p) a) Dobânda pe un an $= 5% \cdot 4000 = \frac{5}{100} \cdot 4000 = 200$ lei. (3p) b) Dobândă simplă pe 2 ani $= 2 \cdot 200 = 400$ lei, deci suma din cont $= 4000 + 400 = 4400$ lei. (3p)

7. (5p) Verificăm proprietatea fundamentală: produsul extremilor $= 6 \cdot 15 = 90$ ; produsul mezilor $= 9 \cdot 10 = 90$ . (3p) Cum $6 \cdot 15 = 9 \cdot 10$ , egalitatea $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ este o proporție (răspuns: adevărat). (2p)

8. (6p) câte 3p pe subpunct. a) $\frac{x}{12} = \frac{15}{20} \Rightarrow 20 x = 12 \cdot 15 = 180 \Rightarrow x = 9$ . b) $\frac{8}{y} = \frac{12}{9} \Rightarrow 12 y = 8 \cdot 9 = 72 \Rightarrow y = 6$ .

9. (6p) Din proporția derivată a șirului de rapoarte egale: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{2}{3}$ . (3p) Cum $a + c = 12$ , obținem $\frac{12}{b + d} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2 \cdot (b + d) = 36 \Rightarrow b + d = 18$ . (3p)

10. (6p) Notăm părțile $2 k$ , $3 k$ , $4 k$ . Atunci $2 k + 3 k + 4 k = 9 k = 360 \Rightarrow k = 40$ . (3p) Sumele sunt: $2 \cdot 40 = 80$ lei, $3 \cdot 40 = 120$ lei, $4 \cdot 40 = 160$ lei. (3p) Verificare: $80 + 120 + 160 = 360$ . ✓

11. (5p) Mărimi direct proporționale (mai multe caiete → cost mai mare). (2p) Costul unui caiet $= 35 : 5 = 7$ lei, deci 8 caiete $= 8 \cdot 7 = 56$ lei. (3p)

12. (5p) Mărimi invers proporționale (mai puțini muncitori → mai multe zile). (2p) Produsul rămâne constant: $6 \cdot 8 = 48$ (muncitori·zile). Pentru 4 muncitori: $48 : 4 = 12$ zile. (3p)

13. (5p) Regula de trei simplă (direct proporțional): $100 km \to 7 l$ $250 km \to x l$ $x = \frac{250 \cdot 7}{100} = \frac{1750}{100} = 17, 5$ litri. (5p)

14. (6p) Scara 1 : 200 000 înseamnă că 1 cm pe hartă = 200 000 cm în realitate. Distanța reală $= 4, 5 \cdot 200000 = 900000$ cm. (3p) $900000$ cm $= 9000$ m $= 9$ km. (3p)

15. (8p) a) Preț după scumpire $= 480 + 10% \cdot 480 = 480 + 48 = 528$ lei (sau $480 \cdot 1, 1$ ). (3p) b) Reducerea se aplică la 528: $10% \cdot 528 = 52, 8$ lei, deci preț $= 528 - 52, 8 = 475, 2$ lei. (3p) c) Nu, prețul final (475,2 lei) este mai mic decât cel inițial (480 lei), cu 4,8 lei. Motivul: cei 10% se calculează din valori diferite (scumpirea din 480, ieftinirea din 528, care e mai mare), deci scumpirea și ieftinirea nu se compensează. (2p)

16. (4p) Din $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{a + b + c}{3 + 4 + 5} = \frac{60}{12} = 5$ . (2p) Rezultă: $a = 3 \cdot 5 = 15$ , $b = 4 \cdot 5 = 20$ , $c = 5 \cdot 5 = 25$ . (2p) Verificare: $15 + 20 + 25 = 60$ . ✓

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test verifică temeinic capitolul „Rapoarte, proporții și procente" din programa actuală de clasa a VI-a: raportul a două numere, procentul ca raport, aflarea unui procent dintr-un număr și a numărului când se cunoaște un procent, probleme cu procente (reduceri, scumpiri, TVA, dobândă), proporția și proprietatea fundamentală, aflarea unui termen necunoscut, proporții derivate, șir de rapoarte egale, mărimi direct și invers proporționale, regula de trei simplă și scara unei hărți.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, scriind calculele complete pe foaie. Răspunsurile fără justificare nu primesc punctaj integral. După rezolvare, comparați cu Baremul și răspunsurile de la final și discutați doar itemii greșiți.
Notă orientativă: se adună punctele obținute și se împart la 10 (ex.: 84 de puncte ≈ nota 8,40).