Test recapitulare: algebră, funcții și statistică

Exerciții

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul $E=\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{50}$.

a) Adu expresia $E$ la forma cea mai simplă (scoate factorii de sub radical). b) Arată, fără calculator, că $E>8$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dau intervalele $A=[-3,4)$ și $B=(0,6]$.

a) Determină $A\cap B$. b) Determină $A\cup B$. c) Câte numere întregi conține mulțimea $A\cap B$?

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră inecuația, în mulțimea numerelor reale: $$\frac{2x-1}{3}\ge x-2.$$

a) Rezolvă inecuația și scrie mulțimea soluțiilor sub formă de interval. b) Scrie mulțimea soluțiilor naturale ale inecuației.

Exercițiul 4 (6 puncte)

Efectuează calculele, folosind formulele de calcul prescurtat (câte 2 puncte):

a) $(2x-3{)}^2$; b) $(x+5)(x-5)$; c) arată că $(3-x)(3+x)+(x-1{)}^2=10-2x$.

Exercițiul 5 (6 puncte)

Descompune în factori (câte 1,5 puncte):

a) $x^2-16$; b) $x^2+10x+25$; c) $3x^2-12x$; d) $ax+ay+bx+by$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră fracția algebrică $F=\frac{x^2-9}{x^2+3x}$.

a) Determină valorile reale ale lui $x$ pentru care fracția există (are sens). b) Simplifică fracția $F$.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuațiile, prin descompunere în factori (câte 2 puncte):

a) $x^2-7x+10=0$; b) $x^2-49=0$; c) $2x^2-8x=0$.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Graficul unei funcții liniare $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, trece prin punctele $A(-1,1)$ și $B(2,7)$.

a) Determină numerele $a$ și $b$ și scrie legea funcției $f$. b) Determină coordonatele punctelor în care graficul intersectează axele $Oy$ și $Ox$. c) Precizează, cu justificare, dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică răspunsul (câte 2 puncte):

a) $\sqrt{(-5{)}^2}=-5$. b) Numărul $-2$ aparține intervalului $(-2,3]$. c) Ecuația $x^2+1=0$ nu are soluții reale.

Exercițiul 10 (6 puncte)

Notele obținute de cei $10$ elevi ai unei grupe la un test au fost: $$7,9,5,7,10,8,7,6,9,7.$$

a) Calculează media aritmetică a notelor. b) Determină mediana șirului de note. c) Determină modul (valoarea cu frecvența cea mai mare). d) Calculează amplitudinea șirului de note.

Exercițiul 11 (6 puncte)

Un elev are $50$ de lei. Cumpără un caiet care costă $8$ lei și vrea să mai cumpere pixuri, fiecare pix costând $3$ lei.

a) Notează cu $n$ numărul de pixuri și scrie inecuația care exprimă faptul că elevul se încadrează în suma de $50$ de lei. b) Rezolvă inecuația. c) Câte pixuri poate cumpăra elevul cel mult?

Exercițiul 12 (6 puncte)

O firmă închiriază biciclete percepând o taxă fixă de $10$ lei plus $4$ lei pentru fiecare oră de folosire. Notăm cu $x$ numărul de ore și cu $C(x)$ costul, în lei.

a) Scrie legea funcției $C(x)$ și precizează semnificația numerelor $10$ și $4$. b) Cât plătește un client care folosește bicicleta $3$ ore? c) Câte ore a folosit bicicleta un client care a plătit $34$ de lei?

Exercițiul 13 (5 puncte)

Se dă expresia $E=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}$.

a) Precizează valorile lui $x$ pentru care expresia are sens. b) Adu expresia la forma cea mai simplă (o singură fracție).

Exercițiul 14 (6 puncte)

Un dreptunghi are lungimea cu $3$ cm mai mare decât lățimea, iar aria sa este de $40{\text{cm}}^2$.

a) Notează cu $x$ lățimea (în cm) și scrie ecuația care rezultă din datele problemei. b) Rezolvă ecuația prin descompunere în factori. c) Determină dimensiunile dreptunghiului (respinge soluția care nu convine problemei).

Exercițiul 15 (5 puncte)

Calculează, aducând rezultatul la forma cea mai simplă:

a) $\frac{10}{\sqrt{5}}$ (raționalizează numitorul); b) $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}$; c) $(\sqrt{7}{)}^2-\sqrt{9}$.

Exercițiul 16 (5 puncte)

Într-o clasă s-a înregistrat numărul de frați ai fiecărui elev. Datele sunt trecute în tabelul de frecvențe de mai jos:

a) Câți elevi sunt în clasă? b) Calculează media aritmetică a numărului de frați pe elev. c) Care este modul (numărul de frați cel mai des întâlnit)?

Barem și răspunsuri

Se acordă 10 puncte din oficiu. Punctajul de mai jos însumează 90 de puncte pe cei 16 itemi; total 100 de puncte. Se acordă punctaj parțial pentru etapele de rezolvare corecte.

Exercițiul 1. (5p) a) (3p) $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, deci $E=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=6\sqrt{2}$. b) (2p) Comparăm $6\sqrt{2}$ cu $8$ prin ridicare la pătrat: $(6\sqrt{2}{)}^2=72$ și $8^2=64$. Cum $72>64$ și ambele numere sunt pozitive, rezultă $6\sqrt{2}>8$, adică $E>8$.

Exercițiul 2. (5p) a) (2p) $A\cap B=(0,4)$ (partea comună; deschis în $0$ și în $4$). b) (2p) $A\cup B=[-3,6]$. c) (1p) Numerele întregi din $(0,4)$ sunt $1,2,3$, deci 3 numere întregi.

Exercițiul 3. (6p) a) (4p) Înmulțim cu $3$: $2x-1\ge 3(x-2)\Rightarrow 2x-1\ge 3x-6\Rightarrow -1+6\ge 3x-2x\Rightarrow 5\ge x$. Deci $x\le 5$, iar mulțimea soluțiilor este $(-\infty ,5]$. b) (2p) Soluțiile naturale: $\{0,1,2,3,4,5\}$.

Exercițiul 4. (6p) (câte 2p) a) $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$. b) $(x+5)(x-5)=x^2-25$. c) $(3-x)(3+x)+(x-1{)}^2=(9-x^2)+(x^2-2x+1)=10-2x$. Adevărat.

Exercițiul 5. (6p) (câte 1,5p) a) $x^2-16=(x-4)(x+4)$. b) $x^2+10x+25=(x+5{)}^2$. c) $3x^2-12x=3x(x-4)$. d) $ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$.

Exercițiul 6. (5p) a) (2p) Numitorul $x^2+3x=x(x+3)\ne 0\Rightarrow x\ne 0$ și $x\ne -3$. b) (3p) $F=\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\frac{x-3}{x}$ (pentru $x\ne 0,x\ne -3$).

Exercițiul 7. (6p) (câte 2p) a) $x^2-7x+10=0\Rightarrow (x-2)(x-5)=0\Rightarrow x\in \{2,5\}$. b) $x^2-49=0\Rightarrow (x-7)(x+7)=0\Rightarrow x\in \{-7,7\}$. c) $2x^2-8x=0\Rightarrow 2x(x-4)=0\Rightarrow x\in \{0,4\}$.

Exercițiul 8. (6p) a) (3p) Panta $a=\frac{7-1}{2-(-1)}=\frac{6}{3}=2$. Din $A$: $1=2\cdot (-1)+b\Rightarrow b=3$. Deci $f(x)=2x+3$. b) (2p) Cu $Oy$: $x=0\Rightarrow f(0)=3$, punctul $(0,3)$. Cu $Ox$: $2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$, punctul $\left(-\frac{3}{2},0\right)$. c) (1p) $a=2>0\Rightarrow$ funcția este crescătoare.

Exercițiul 9. (6p) (câte 2p: 0,5p pentru A/F + 1,5p pentru justificare) a) FALS. $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5$ (radicalul dă un rezultat nenegativ; $\sqrt{a^2}=|a|$). b) FALS. Intervalul $(-2,3]$ este deschis în $-2$, deci $-2$ nu aparține intervalului. c) ADEVĂRAT. $x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1$, imposibil, deoarece $x^2\ge 0$ pentru orice $x$ real.

Exercițiul 10. (6p) a) (2p) Suma notelor: $7+9+5+7+10+8+7+6+9+7=75$; media $=\frac{75}{10}=7,5$. b) (2p) Ordonat: $5,6,7,7,7,7,8,9,9,10$. Mediana (10 valori) $=\frac{7+7}{2}=7$. c) (1p) Modul $=7$ (apare de $4$ ori, cel mai des). d) (1p) Amplitudinea $=10-5=5$.

Exercițiul 11. (6p) a) (2p) $8+3n\le 50$. b) (3p) $3n\le 42\Rightarrow n\le 14$. c) (1p) Elevul poate cumpăra cel mult 14 pixuri.

Exercițiul 12. (6p) a) (2p) $C(x)=4x+10$; $10$ = taxa fixă (costul de pornire, independent de timp), $4$ = costul pentru o oră de folosire. b) (2p) $C(3)=4\cdot 3+10=22$ lei. c) (2p) $4x+10=34\Rightarrow 4x=24\Rightarrow x=6$ ore.

Exercițiul 13. (5p) a) (1p) Condiții de existență: $x-2\ne 0$ și $x+2\ne 0$, deci $x\ne 2$ și $x\ne -2$. b) (4p) $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{4}{x^2-4}$.

Exercițiul 14. (6p) a) (2p) Lățimea $x$, lungimea $x+3$; aria: $x(x+3)=40$, adică $x^2+3x-40=0$. b) (3p) $x^2+3x-40=0\Rightarrow (x-5)(x+8)=0\Rightarrow x=5$ sau $x=-8$. c) (1p) $x=-8$ se respinge (lungimea nu poate fi negativă), deci $x=5$. Dimensiunile: lățimea $=5$ cm, lungimea $=8$ cm (verificare: $5\cdot 8=40{\text{cm}}^2$).

Exercițiul 15. (5p) a) (2p) $\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$. b) (2p) $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$. c) (1p) $(\sqrt{7}{)}^2-\sqrt{9}=7-3=4$.

Exercițiul 16. (5p) a) (2p) $8+12+6+4=30$ elevi. b) (2p) Media $=\frac{0\cdot 8+1\cdot 12+2\cdot 6+3\cdot 4}{30}=\frac{0+12+12+12}{30}=\frac{36}{30}=1,2$ frați/elev. c) (1p) Modul $=1$ (valoarea cu frecvența cea mai mare, $12$ elevi).

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică, în format apropiat de Evaluarea Națională, dacă elevul stăpânește principalele conținuturi de algebră, funcții și statistică din clasa a VIII-a: numerele reale și operațiile cu radicali, intervalele și inecuațiile de gradul I, calculul algebric (formule de calcul prescurtat și descompuneri în factori), ecuațiile — inclusiv $a{x}^2+bx+c=0$ rezolvată prin descompunere — și fracțiile algebrice, funcția liniară $f(x)=ax+b$ și elementele de statistică.

• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu ciornă și instrument de scris, fără calculator. Fiecare item cere justificarea răspunsului, nu doar rezultatul final.
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 90 de puncte se distribuie pe cei 16 itemi (punctajul e trecut lângă fiecare cerință), iar 10 puncte se acordă din oficiu.
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Grile de reușită orientative: peste 45 p — noțiuni de bază însușite; peste 70 p — foarte bine; peste 85 p — nivel de excelență.

Baremul complet, cu explicații scurte, se află la finalul testului. Recomandăm ca elevul să rezolve întâi tot testul și abia apoi să verifice răspunsurile.