Test recapitulativ: Funcția liniară f(x) = ax + b

Exerciții

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se dau funcțiile de mai jos, definite pe $R$ . Precizează care dintre ele sunt funcții liniare (de forma $f (x) = a x + b$ ):

$f (x) = 2 x - 5, g (x) = x^{2} - 3, h (x) = 7, p (x) = - \frac{x}{3} + 1, q (x) = \frac{3}{x} .$

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 3 x + 4$ . Calculează:

$f (0), f (2), f (- 1) .$

Exercițiul 3 (6 puncte)

Pentru fiecare dintre funcțiile de mai jos precizează panta $a$ , ordonata la origine $b$ și stabilește dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare:

a) $f (x) = 2 x - 1$ ; \qquad b) $g (x) = - x + 3$ ; \qquad c) $h (x) = \frac{1}{2} x$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 6$ . Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axa $O y$ și, respectiv, axa $O x$ .

Exercițiul 5 (6 puncte)

Graficul unei funcții liniare $f (x) = a x + b$ trece prin punctele $A (0, 2)$ și $B (1, 5)$ . Determină numerele $a$ și $b$ , apoi scrie legea funcției.

Exercițiul 6 (6 puncte)

În figura de mai jos este reprezentată o dreaptă care este graficul unei funcții liniare $f (x) = a x + b$ . Dreapta trece prin punctele $(0, - 1)$ și $(2, 3)$ .

a) Citește de pe grafic ordonata la origine $b$ . b) Calculează panta $a$ folosind cele două puncte și scrie legea funcției $f$ .

Exercițiul 7 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică răspunsul (câte 2 puncte):

a) Graficul funcției $f (x) = - 2 x + 7$ intersectează axa $O y$ în punctul $(0, 7)$ . b) Funcția $f (x) = - 5 x + 1$ este crescătoare. c) Punctul $M (3, 0)$ aparține graficului funcției $f (x) = 2 x - 6$ .

Exercițiul 8 (6 puncte)

Un taximetrist calculează costul unei curse după regula $C (x) = 2, 5 \cdot x + 5$ (lei), unde $x$ este numărul de kilometri parcurși.

a) Cât costă „pornirea” cursei, adică plecarea de la $0$ km? b) Cât costă o cursă de $8$ km? c) Câți kilometri parcurge un client care plătește $40$ de lei?

Exercițiul 9 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 3 x + 4$ .

a) Determină valoarea reală $m$ pentru care punctul $A (2, m)$ aparține graficului funcției. b) Determină valoarea lui $x$ pentru care $f (x) = 10$ .

Exercițiul 10 (5 puncte)

Se dau funcțiile $f (x) = (2 m - 1) x + 3$ și $g (x) = 5 x - 2$ . Determină valoarea reală a lui $m$ pentru care graficele celor două funcții sunt drepte paralele.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Determină funcția liniară $f (x) = a x + b$ știind că $f (1) = 4$ și $f (- 1) = - 2$ .

Exercițiul 12 (6 puncte)

Două oferte de telefonie mobilă au costul lunar dat de funcțiile:

$Oferta A: A (m) = 15 + 0, 10 \cdot m Oferta B: B (m) = 5 + 0, 20 \cdot m,$

unde $m$ este numărul de minute vorbite într-o lună (cost în lei).

a) Calculează costul fiecărei oferte pentru $80$ de minute vorbite. Care ofertă este mai ieftină în acest caz? b) Pentru câte minute vorbite cele două oferte costă la fel?

Exercițiul 13 (5 puncte)

Graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 4$ , împreună cu axele de coordonate, determină un triunghi. Calculează aria acestui triunghi.

Exercițiul 14 (6 puncte)

Se consideră funcția $f (x) = (m + 2) x - 1$ , unde $m$ este un număr real.

a) Determină valorile lui $m$ pentru care funcția este crescătoare. b) Determină valoarea lui $m$ pentru care graficul funcției trece prin punctul $P (1, 3)$ .

Exercițiul 15 (6 puncte)

În figura de mai jos este reprezentată dreapta ce constituie graficul unei funcții liniare $f (x) = a x + b$ . Dreapta intersectează axa $O x$ în $(- 1, 0)$ și axa $O y$ în $(0, 2)$ .

a) Scrie coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu cele două axe. b) Determină legea funcției $f$ . c) Calculează $f (3)$ .

Exercițiul 16 (5 puncte)

Un rezervor conține $200$ de litri de apă și se golește uniform cu $8$ litri pe minut. Volumul de apă (în litri) rămas după $t$ minute este $V (t) = 200 - 8 t$ .

a) Ce volum de apă rămâne în rezervor după $10$ minute? b) După câte minute rezervorul se golește complet? c) Ce semnificație are, în acest context, panta funcției $V$ ?

Exercițiul 17 (2 puncte)

Explică pe scurt, folosind noțiunea de pantă, de ce graficul oricărei funcții liniare $f (x) = a x + b$ este o dreaptă și nu o curbă.

Barem și răspunsuri

Se acordă 10 puncte din oficiu. Punctajul de mai jos însumează 90 de puncte pe cei 17 itemi; total 100 de puncte. Se acordă punctaj parțial pentru etape de rezolvare corecte.

Exercițiul 1. (5p) Funcții liniare: $f (x) = 2 x - 5$ , $h (x) = 7$ și $p (x) = - \frac{x}{3} + 1$ . (câte 1p pentru fiecare identificată corect, 2p pentru eliminarea corectă a lui $g$ și $q$ ) Explicație: $g (x) = x^{2} - 3$ conține $x^{2}$ (funcție de gradul II — nu este liniară), iar $q (x) = \frac{3}{x}$ are necunoscuta la numitor. $h (x) = 7$ este caz particular de funcție liniară cu $a = 0$ (funcție constantă), $p$ are $a = - \frac{1}{3}$ , $b = 1$ .

Exercițiul 2. (5p) $f (0) = 4$ ; $f (2) = - 3 \cdot 2 + 4 = - 6 + 4 = - 2$ ; $f (- 1) = - 3 \cdot (- 1) + 4 = 3 + 4 = 7$ . (câte ~1,5p per valoare)

Exercițiul 3. (6p) (câte 2p pe subpunct) a) $a = 2$ , $b = - 1$ ; $a > 0 \Rightarrow$ crescătoare. b) $a = - 1$ , $b = 3$ ; $a < 0 \Rightarrow$ **descrescătoare**. c) $a = \frac{1}{2}$ , $b = 0$ ; $a > 0 \Rightarrow$ crescătoare.

Exercițiul 4. (5p) Cu $O y$ : $x = 0 \Rightarrow f (0) = - 6$ , deci $A (0, - 6)$ . (2p) Cu $O x$ : $f (x) = 0 \Rightarrow 3 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ , deci $B (2, 0)$ . (3p)

Exercițiul 5. (6p) Din $A (0, 2)$ : $f (0) = b = 2$ . (2p) Din $B (1, 5)$ : $a \cdot 1 + 2 = 5 \Rightarrow a = 3$ . (3p) Deci $f (x) = 3 x + 2$ . (1p)

Exercițiul 6. (6p) a) $b = - 1$ (ordonata punctului în care dreapta taie $O y$ ). (2p) b) $a = \frac{3 - ( - 1 )}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$ . (3p) Deci $f (x) = 2 x - 1$ . (1p)

Exercițiul 7. (6p) (câte 2p: 1p răspuns + 1p justificare) a) A — ordonata la origine este $b = 7$ , deci graficul taie $O y$ în $(0, 7)$ . b) F — panta este $a = - 5 < 0$ , deci funcția este descrescătoare. c) A — $f (3) = 2 \cdot 3 - 6 = 0$ , deci $M (3, 0)$ aparține graficului.

Exercițiul 8. (6p) (câte 2p) a) $C (0) = 5$ lei. b) $C (8) = 2, 5 \cdot 8 + 5 = 20 + 5 = 25$ lei. c) $2, 5 x + 5 = 40 \Rightarrow 2, 5 x = 35 \Rightarrow x = 14$ km.

Exercițiul 9. (5p) a) $m = f (2) = - 3 \cdot 2 + 4 = - 2$ . (2p) b) $- 3 x + 4 = 10 \Rightarrow - 3 x = 6 \Rightarrow x = - 2$ . (3p)

Exercițiul 10. (5p) Drepte paralele $\Rightarrow$ pante egale: $2 m - 1 = 5 \Rightarrow 2 m = 6 \Rightarrow m = 3$ . (4p) Verificare: ordonatele la origine sunt diferite ( $3 \neq = - 2$ ), deci dreptele sunt paralele, nu confundate. (1p)

Exercițiul 11. (5p) $f (1) = a + b = 4$ și $f (- 1) = - a + b = - 2$ . Adunând: $2 b = 2 \Rightarrow b = 1$ ; apoi $a = 3$ . (4p) Deci $f (x) = 3 x + 1$ . (1p)

Exercițiul 12. (6p) a) $A (80) = 15 + 0, 10 \cdot 80 = 15 + 8 = 23$ lei; $B (80) = 5 + 0, 20 \cdot 80 = 5 + 16 = 21$ lei. Oferta B este mai ieftină (21 < 23). (3p) b) $15 + 0, 10 m = 5 + 0, 20 m \Rightarrow 10 = 0, 10 m \Rightarrow m = 100$ minute (ambele oferte costă $25$ lei). (3p)

Exercițiul 13. (5p) Intersecțiile cu axele: $O y \to (0, 4)$ și $O x \to (2, 0)$ . (2p) Triunghiul dreptunghic are catetele de lungimi $4$ și $2$ , deci $A = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$ (unități de arie). (3p)

Exercițiul 14. (6p) a) Crescătoare $\Leftrightarrow a > 0 \Leftrightarrow m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2$ . (3p) b) $f (1) = (m + 2) \cdot 1 - 1 = m + 1 = 3 \Rightarrow m = 2$ . (3p)

Exercițiul 15. (6p) a) Cu $O x$ : $(- 1, 0)$ ; cu $O y$ : $(0, 2)$ . (2p) b) $b = 2$ ; panta $a = \frac{2 - 0}{0 - ( - 1 )} = \frac{2}{1} = 2$ , deci $f (x) = 2 x + 2$ . Verificare: $f (- 1) = - 2 + 2 = 0$ ✓. (2p) c) $f (3) = 2 \cdot 3 + 2 = 8$ . (2p)

Exercițiul 16. (5p) a) $V (10) = 200 - 8 \cdot 10 = 200 - 80 = 120$ litri. (2p) b) $200 - 8 t = 0 \Rightarrow 8 t = 200 \Rightarrow t = 25$ minute. (2p) c) Panta $a = - 8$ arată că volumul scade cu $8$ litri în fiecare minut (rata de golire). (1p)

Exercițiul 17. (2p) Panta $a$ este constantă: între oricare două puncte ale graficului, raportul dintre variația lui $y$ și variația lui $x$ este mereu același număr $a$ . Un raport de creștere constant înseamnă că punctele „urcă/coboară” uniform, deci se aliniază — graficul este o dreaptă, nu o curbă. (2p pentru orice justificare corectă care invocă panta constantă)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică, în format apropiat de Evaluarea Națională, dacă elevul stăpânește întreaga unitate „Funcția liniară $f (x) = a x + b$ ”: definiția și recunoașterea funcției liniare, interpretarea geometrică a pantei $a$ și a ordonatei la origine $b$ , intersecțiile graficului cu axele, lecturile grafice, determinarea funcției din condiții date și aplicațiile în probleme din viața reală.

Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu ciornă și instrument de scris, fără calculator. Fiecare item cere justificarea răspunsului (nu doar rezultatul final).
Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 90 de puncte se distribuie pe cei 17 itemi (punctajul e trecut lângă fiecare cerință), iar 10 puncte se acordă din oficiu.
Timp recomandat: 50 de minute.
Grile de reușită orientative: peste 45 p — noțiuni de bază însușite; peste 70 p — foarte bine; peste 85 p — nivel de excelență.

Baremul complet, cu explicații scurte, se află la finalul testului. Recomandăm ca elevul să rezolve întâi tot testul și abia apoi să verifice răspunsurile.