Test pedagogic recapitulativ: legi de compoziție ca la Bac

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Structuri algebrice: legi de compoziție, monoid, grup, inel, corp

Exerciții

Partea I – Prima lege de compoziție (30 de puncte)

Fiecare cerință valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=xy+15x+15y+210$.

Arătați că $(-14)\circ (-13)=-13$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Demonstrați că $x\circ y=(x+15)(y+15)-15$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Arătați că $e=-14$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați simetricul lui $-11$ în raport cu legea de compoziție „$\circ$”.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ x=10$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $(-20)\circ (-19)\circ (-18)\circ \dots \circ 19\circ 20$.

Partea a II-a – A doua lege de compoziție (30 de puncte)

Fiecare cerință valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (5 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-12$.

Arătați că $5\ast 7=0$.

Exercițiul 8 (5 puncte)

Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Verificați dacă $e=12$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast x\ast x=x$.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x\ast 2^x=-6$.

Exercițiul 12 (5 puncte)

Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\ast n\ast n<2n$.

Partea a III-a – A treia lege de compoziție (30 de puncte)

Fiecare cerință valorează 5 puncte.

Exercițiul 13 (5 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\frac{1}{2}xy-2x-2y+12$.

Arătați că $6\circ 2=2$.

Exercițiul 14 (5 puncte)

Demonstrați că $x\circ y=\frac{1}{2}(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Exercițiul 15 (5 puncte)

Arătați că $e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

Exercițiul 16 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $x\circ x\le 6$.

Exercițiul 17 (5 puncte)

Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale, cu $m<n$, pentru care $m\circ n=3$.

Exercițiul 18 (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$, $x>0$, pentru care $({\log }_{2}x)\circ ({\log }_{2}x)=12$.

Barem și răspunsuri

Punctele fiecărui pas sunt trecute între paranteze, iar o rezolvare corectă pe alt drum primește aceleași puncte. Fără calcul și fără justificare cerința nu ia punctele, chiar dacă rezultatul este corect. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar propoziția „Verificare” nu poartă puncte.

Exercițiul 1.

$(-14)\circ (-13)=(-14)\cdot (-13)+15\cdot (-14)+15\cdot (-13)+210$ (3 p), adică $182-210-195+210=-13$ (2 p). Verificare: cu forma de la cerința 2, $1\cdot 2-15=-13$. Cine scrie $(-14)\cdot (-13)=-182$ obține $-377$.

Exercițiul 2.

$(x+15)(y+15)-15=xy+15x+15y+225-15$ (3 p) $=xy+15x+15y+210=x\circ y$, pentru orice $x$ și $y$ (2 p). Verificare: pentru $x=1$ și $y=0$, $0+15+0+210=225$ și $16\cdot 15-15=225$. Cine uită pe $-15$ găsește termenul liber 225, nu 210.

Exercițiul 3.

$x\circ (-14)=(x+15)(-14+15)-15=x+15-15=x$ (3 p); legea este comutativă, deci și $(-14)\circ x=x$, pentru orice număr real $x$: $e=-14$ este elementul neutru (2 p). Verificare: $5\circ (-14)=-70+75-210+210=5$. Cine încearcă $e=-15$ găsește $5\circ (-15)=-15$: $-15$ „înghite” orice număr.

Exercițiul 4.

Simetricul $x^{\prime }$ verifică $(-11)\circ x^{\prime }=-14$, adică $4(x^{\prime }+15)-15=-14$, deci $4(x^{\prime }+15)=1$ (2 p). Rezultă $x^{\prime }+15=\frac{1}{4}$, adică $x^{\prime }=-\frac{59}{4}$ (3 p). Verificare: $(-11)\circ \left(-\frac{59}{4}\right)=4\cdot \frac{1}{4}-15=-14$. Cine pune $(-11)\circ x^{\prime }=0$ ia neutrul adunării în locul neutrului legii și obține $x^{\prime }=-\frac{45}{4}$.

Exercițiul 5.

$x\circ x=(x+15{)}^2-15=10$, deci $(x+15{)}^2=25$ (2 p). Atunci $x+15=\pm 5$, adică $x\in \{-20;-10\}$ (3 p). Verificare: $(-10)\circ (-10)=100-150-150+210=10$ și $(-20)\circ (-20)=400-300-300+210=10$. Cine păstrează doar $x+15=5$ pierde soluția $-20$.

Exercițiul 6.

$(-15)\circ x=0\cdot (x+15)-15=-15$ și $x\circ (-15)=-15$, pentru orice $x$ (2 p). Numărul $-15$ este în lanț, iar legea este asociativă, deci rezultatul este $-15$ (3 p). Verificare: $(-16)\circ (-15)=(-1)\cdot 0-15=-15$. Cine calculează pe rând primele compuneri ajunge la numere foarte mari, fără să vadă că $-15$ le anulează.

Exercițiul 7.

$5\ast 7=5+7-12$ (3 p) $=0$ (2 p). Verificare: $0+12=5+7$. Cine adună 12 în loc să-l scadă obține 24.

Exercițiul 8.

$(x\ast y)\ast z=(x+y-12)+z-12=x+y+z-24$ (2 p) și $x\ast (y\ast z)=x+(y+z-12)-12=x+y+z-24$ (2 p); cele două expresii sunt egale pentru orice numere reale $x$, $y$, $z$, deci legea este asociativă (1 p). Verificare: $(1\ast 2)\ast 3=(-9)\ast 3=-18$ și $1\ast (2\ast 3)=1\ast (-7)=-18$. Cine scade 12 o singură dată nu vede că fiecare compunere aduce încă un $-12$.

Exercițiul 9.

$x\ast 12=x+12-12=x$ (2 p) și $12\ast x=12+x-12=x$ (2 p), pentru orice număr real $x$, deci $e=12$ este elementul neutru: răspunsul este $\mathbf{da}$ (1 p). Verificare: $(-3)\ast 12=-3$. Cine ia $e=0$, neutrul adunării, găsește $5\ast 0=-7$, nu 5.

Exercițiul 10.

$x\ast x\ast x=3x-24$, iar ecuația devine $3x-24=x$ (3 p), deci $x=12$ (2 p). Verificare: $12\ast 12=12$ și încă o compunere cu 12 dă tot 12, fiindcă 12 este neutru. Cine scrie $x\ast x\ast x=3x-12$ obține $x=6$, dar $6\ast 6=0$ și $0\ast 6=-6$.

Exercițiul 11.

Cu $t=2^x>0$, $4^x=t^2$, iar ecuația devine $t^2+t-12=-6$, adică $t^2+t-6=0$ (2 p). Rădăcinile sunt $t=2$ și $t=-3$; cum $2^x>0$, rămâne $2^x=2$, deci $x=1$ (3 p). Verificare: $4\ast 2=4+2-12=-6$. Cine păstrează și $t=-3$ caută un $x$ cu $2^x=-3$, care nu există.

Exercițiul 12.

$n\ast n\ast n=3n-24$, iar inecuația devine $3n-24<2n$, adică $n<24$ (3 p). Numerele naturale cerute sunt $n\in \{0;1;2;\dots ;23\}$ (2 p). Verificare: pentru $n=23$, $69-24=45<46$; pentru $n=24$, $72-24=48$, care nu este mai mic decât 48. Cine scrie $n\le 24$ adaugă greșit pe 24, pentru care inegalitatea strictă nu are loc.

Exercițiul 13.

$6\circ 2=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2-2\cdot 6-2\cdot 2+12$ (3 p), adică $6-12-4+12=2$ (2 p). Verificare: cu forma de la cerința 14, $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-2)+4=2$. Cine uită factorul $\frac{1}{2}$ obține $12-12-4+12=8$.

Exercițiul 14.

$\frac{1}{2}(x-4)(y-4)+4=\frac{1}{2}(xy-4x-4y+16)+4=\frac{1}{2}xy-2x-2y+8+4$ (3 p) $=\frac{1}{2}xy-2x-2y+12=x\circ y$, pentru orice $x$ și $y$ (2 p). Verificare: pentru $x=0$ și $y=0$, ambele dau 12. Cine nu înmulțește și termenul liber 16 cu $\frac{1}{2}$ obține $16+4=20$ în loc de 12.

Exercițiul 15.

$x\circ 6=\frac{1}{2}(x-4)\cdot 2+4=x-4+4=x$ (3 p); legea este comutativă, deci și $6\circ x=x$, pentru orice număr real $x$: $e=6$ este elementul neutru (2 p). Verificare: $10\circ 6=30-20-12+12=10$. Cine încearcă $e=4$ găsește $10\circ 4=4$: 4 „înghite” orice număr.

Exercițiul 16.

$x\circ x=\frac{1}{2}(x-4{)}^2+4\le 6$ dă $(x-4{)}^2\le 4$ (2 p), adică $-2\le x-4\le 2$, deci $x\in [2;6]$ (3 p). Verificare: $2\circ 2=2-4-4+12=6$ și $6\circ 6=18-12-12+12=6$, iar $4\circ 4=8-8-8+12=4\le 6$. Cine păstrează doar $x-4\le 2$ scrie $x\le 6$ și primește și numere ca $x=0$, pentru care $0\circ 0=12$.

Exercițiul 17.

$m\circ n=3$ înseamnă $\frac{1}{2}(m-4)(n-4)+4=3$, adică $(m-4)(n-4)=-2$ (2 p). Factorii întregi sunt $(1,-2)$, $(2,-1)$, $(-1,2)$, $(-2,1)$; condiția $m<n$ păstrează doar $m-4=-1,n-4=2$ și $m-4=-2,n-4=1$, deci $(m,n)\in \{(2,5);(3,6)\}$ (3 p). Verificare: $2\circ 5=5-4-10+12=3$ și $3\circ 6=9-6-12+12=3$. Cine încearcă doar descompunerea $-2=(-1)\cdot 2$ și uită $-2=(-2)\cdot 1$ găsește o singură pereche.

Exercițiul 18.

Cu $t={\log }_{2}x$, ecuația devine $\frac{1}{2}(t-4{)}^2+4=12$, adică $(t-4{)}^2=16$, deci $t\in \{0;8\}$ (2 p). Atunci $x=2^0=1$ sau $x=2^8=256$, deci $x\in \{1;256\}$ (3 p). Verificare: ${\log }_{2}1=0$ și $0\circ 0=12$; ${\log }_{2}256=8$ și $8\circ 8=32-16-16+12=12$. Cine respinge $t=0$ crezând că logaritmul nu poate fi 0 pierde soluția $x=1$.

Pentru părinți și profesori

Testul încheie capitolul „Structuri algebrice” al clasei a XI-a, profilul pedagogic, în forma în care legea de compoziție apare la Bacalaureat: o lege dată prin formulă și șase cerințe a câte 5 puncte, ca la Subiectul al II-lea. Testul are trei astfel de probleme, cu legi de tipuri diferite: una care se factorizează cu coeficientul 1, una de forma $x+y+c$ și una cu coeficientul $\frac{1}{2}$. Cerințele adună tot capitolul: calculul legii, forma factorizată, asociativitatea, elementul neutru, simetricul, ecuații și inecuații, ecuații cu puteri și logaritmi, lanțuri de compuneri, numere naturale.

• Punctaj: din exerciții iei cel mult 90 de puncte; la ele se adaugă 10 puncte din oficiu, deci lucrarea are maximum 100 de puncte.
• Timp de lucru: 90 de minute, câte 30 de minute pentru fiecare problemă. La clasă, unde ora are 50 de minute, testul se poate da pe două ore: cerințele 1–9 în prima oră și cerințele 10–18 în a doua, câte 45 de minute de lucru.
• Cum se lucrează: pe foaie, fără calculator; fiecare cerință se rezolvă complet, cu calculul și justificarea ei, ca la examen. Ghidajul desparte cerința în pași mici: întâi o întrebare cu patru răspunsuri, apoi un număr de aflat, iar o variantă greșită vine cu explicația ei. Îl pornești numai când cerința nu iese singură.
• 90–100 de puncte: capitolul este stăpânit; Subiectul al II-lea se poate lucra în timp de examen.
• 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul, doar cerințele la care ai pierdut puncte.
• 60–74 de puncte: pentru fiecare tip de cerință ratată citești lecția din tabel, apoi lucrezi din nou testul peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: reiei testele capitolului, de la legea de compoziție la forma factorizată, apoi lucrezi acest test cu ghidajul alături.
• Formule de reținut: o lege $xy+ax+ay+c$ cu $c=a^2-a$ se scrie $(x+a)(y+a)-a$, iar una cu $\frac{1}{2}xy$ se factorizează după ce scoți $\frac{1}{2}$ în fața produsului; la legea $x+y+c$, $(x\ast y)\ast z=x+y+z+2c$, elementul neutru este $-c$, iar $\underset{n}{\underbrace{x\ast x\ast \dots \ast x}}=nx+(n-1)c$; în ecuațiile cu $2^x$, $4^x$ sau ${\log }_{2}x$ se notează puterea sau logaritmul cu $t$ și se păstrează doar valorile posibile ($2^x>0$); un lanț asociativ care conține numărul ce „înghite” orice element dă chiar acel număr.

Cele trei probleme sunt de tip Bacalaureat M_pedagogic: urmează formele cerințelor de la Subiectul al II-lea, dar cu legi și numere care nu apar în probele oficiale 2013–2026.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M_pedagogic din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006), la „Legi de compoziție, proprietăți”. În cele 60 de probe oficiale din 2013–2026, Subiectul al II-lea a fost de fiecare dată o problemă cu o lege de compoziție și șase cerințe a câte 5 puncte; elementul neutru a fost cerut în 35 de probe, forma factorizată în 34, simetricul în 5. Clasele de resturi, grupul, inelul și corpul nu au apărut în aceste probe; fiind în programă, pot fi cerute, și le exersează testul despre ${\mathbb{Z}}_n$. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 au alt plan-cadru: la profilul pedagogic, disciplina Matematică nu mai are ore în clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 4152/2026; la specializarea pedagogia învățământului primar rămâne, separat, disciplina „Aritmetică” (curriculum de specialitate), o oră pe săptămână în clasele a XI-a și a XII-a), iar la Bacalaureat ea poate fi doar o probă aleasă, pe materia claselor a IX-a și a X-a (OMEC 4138/2026); testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.