Test pedagogic: recapitulare pe Subiectul al III-lea

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Matrice inversabile, ecuații matriceale și sisteme liniare

Exerciții

Partea I – Matrice de ordinul doi cu parametru (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Partea I, cerința 1

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x+1& 2\\ -2& x-3\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

Arătați că $\det (A(3))=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Partea I, cerința 2

Arătați că $A(2)+A(6)=2A(4)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Partea I, cerința 3

Arătați că $\det (A(x))=(x-1{)}^2$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Partea I, cerința 4

Determinați numărul real $x$ pentru care matricea $A(x)$ nu este inversabilă.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Partea I, cerința 5

Determinați numărul real $a$ pentru care $A(0)\cdot A(2)=a{I}_2$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Partea I, cerința 6

Rezolvați în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ecuația $A(0)\cdot X=A(2)$.

Partea a II-a – Două matrice fixe de ordinul doi (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (5 puncte)

Partea a II-a, cerința 1

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 3& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ -3& 4\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Arătați că $\det A=5$.

Exercițiul 8 (5 puncte)

Partea a II-a, cerința 2

Arătați că $A+B=3I_2$.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Partea a II-a, cerința 3

Arătați că $A\cdot B=5I_2$.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Partea a II-a, cerința 4

Determinați inversa matricei $A$.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Partea a II-a, cerința 5

Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A+x{I}_2)=9$.

Exercițiul 12 (5 puncte)

Partea a II-a, cerința 6

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $xA+yB=\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ 3& 2\end{array}\right)$.

Partea a III-a – Matrice de ordinul trei și sistem (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 13 (5 puncte)

Partea a III-a, cerința 1

Pentru fiecare număr real $m$ se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& m& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$ și sistemul (S) $\{\begin{array}{l}x+y+2z=3\\ 2x+my+z=4\\ x+2y+3z=3\end{array}$.

Calculați $\det (A(0))$.

Exercițiul 14 (5 puncte)

Partea a III-a, cerința 2

Arătați că $\det (A(m))=m+1$, pentru orice număr real $m$.

Exercițiul 15 (5 puncte)

Partea a III-a, cerința 3

Determinați numerele reale $m$ pentru care $\det \left(A\left(m^2\right)\right)=\det (A(m))+2$.

Exercițiul 16 (5 puncte)

Partea a III-a, cerința 4

Pentru $m=1$, verificați dacă tripletul $(2,-1,1)$ este soluție a sistemului (S).

Exercițiul 17 (5 puncte)

Partea a III-a, cerința 5

Pentru $m=-1$, arătați că sistemul (S) nu are soluții.

Exercițiul 18 (5 puncte)

Partea a III-a, cerința 6

Pentru $m=0$, rezolvați sistemul (S).

Barem și răspunsuri

În barem, rezolvările sunt scrise pas cu pas, iar punctul fiecărui pas apare între paranteze; o rezolvare corectă, dar diferită, e tratată la fel, iar rezultatele finale sunt îngroșate. Se acordă 10 puncte din oficiu. Un răspuns corect, dar fără drumul spre el, nu ia punctajul cerinței.

Exercițiul 1.

$A(3)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$ (2 p), iar $\det (A(3))=4\cdot 0-2\cdot (-2)=0+4=4$ (3 p).

Exercițiul 2.

$A(2)+A(6)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ -4& 2\end{array}\right)$ (3 p). $2A(4)=2\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ -4& 2\end{array}\right)$, deci egalitatea este adevărată (2 p).

Exercițiul 3.

$\det (A(x))=(x+1)(x-3)-2\cdot (-2)=x^2-2x-3+4$ (3 p) $=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, pentru orice număr real $x$ (2 p).

Exercițiul 4.

$A(x)$ nu este inversabilă exact când $\det (A(x))=0$, adică $(x-1{)}^2=0$ (3 p), deci $x=1$ (2 p). Verificare: $A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& -2\end{array}\right)$ are a doua linie egală cu opusa primei.

Exercițiul 5.

$A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& -3\end{array}\right)$, $A(2)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& -1\end{array}\right)$ și $A(0)\cdot A(2)=\left(\begin{array}{cc}3-4& 2-2\\ -6+6& -4+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ (3 p). Aceasta este $-I_2$, deci $a=-1$ (2 p).

Exercițiul 6.

$\det (A(0))=(0-1{)}^2=1\ne 0$, deci $A(0)$ este inversabilă, iar din cerința 5, $A(0)\cdot (-A(2))=I_2$, deci $A(0{)}^{-1}=-A(2)=\left(\begin{array}{cc}-3& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$ (2 p). $X=A(0{)}^{-1}\cdot A(2)=\left(\begin{array}{cc}-3& -2\\ 2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& -4\\ 4& 3\end{array}\right)$ (3 p). Verificare: $A(0)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}-5+8& -4+6\\ 10-12& 8-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& -1\end{array}\right)=A(2)$.

Exercițiul 7.

$\det A=4\cdot (-1)-(-3)\cdot 3$ (3 p) $=-4+9=5$ (2 p).

Exercițiul 8.

$A+B=\left(\begin{array}{cc}4-1& -3+3\\ 3-3& -1+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ (3 p), iar $3I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$, deci $A+B=3I_2$ (2 p).

Exercițiul 9.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-3)& 4\cdot 3+(-3)\cdot 4\\ 3\cdot (-1)+(-1)\cdot (-3)& 3\cdot 3+(-1)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$ (3 p), adică $A\cdot B=5I_2$ (2 p).

Exercițiul 10.

$\det A=5\ne 0$, deci $A$ este inversabilă (1 p). Din cerința 3, $A\cdot \left(\frac{1}{5}B\right)=\frac{1}{5}\cdot 5I_2=I_2$ (2 p), deci $A^{-1}=\frac{1}{5}B=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{5}& \frac{3}{5}\\ -\frac{3}{5}& \frac{4}{5}\end{array}\right)$ (2 p). Verificare: cu formula inversei, $\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ -3& 4\end{array}\right)$, aceeași matrice.

Exercițiul 11.

$A+x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}4+x& -3\\ 3& -1+x\end{array}\right)$, iar $\det (A+x{I}_2)=(4+x)(-1+x)+9=x^2+3x+5$ (2 p). Ecuația $x^2+3x+5=9$ devine $x^2+3x-4=0$, adică $(x+4)(x-1)=0$ (2 p), deci $x=-4$ sau $x=1$ (1 p).

Exercițiul 12.

$xA+yB=\left(\begin{array}{cc}4x-y& -3x+3y\\ 3x-3y& -x+4y\end{array}\right)$ (2 p). Pozițiile $(1,1)$ și $(1,2)$ dau $4x-y=7$ și $-3x+3y=-3$, adică $-x+y=-1$; adunându-le, $3x=6$, deci $x=2$ și $y=1$ (2 p). Verificare pe celelalte poziții: $3\cdot 2-3\cdot 1=3$ și $-2+4\cdot 1=2$ (1 p).

Exercițiul 13.

$A(0)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$ (1 p). Dezvoltând după prima linie, $\det (A(0))=1\cdot (0-2)-1\cdot (6-1)+2\cdot (4-0)=-2-5+8$ (3 p) $=1$ (1 p).

Exercițiul 14.

Dezvoltând după prima linie, $\det (A(m))=1\cdot (3m-2)-1\cdot (6-1)+2\cdot (4-m)$ (3 p) $=3m-2-5+8-2m=m+1$, pentru orice număr real $m$ (2 p).

Exercițiul 15.

Din cerința 2, $\det \left(A\left(m^2\right)\right)=m^2+1$, deci ecuația devine $m^2+1=m+1+2$, adică $m^2-m-2=0$ (3 p). Din $(m-2)(m+1)=0$ rezultă $m=-1$ sau $m=2$ (2 p). Verificare: pentru $m=2$, $\det (A(4))=5=3+2$.

Exercițiul 16.

Pentru $m=1$, prima ecuație dă $2-1+2=3$ și a doua $2\cdot 2+1\cdot (-1)+1=4$ (3 p). A treia ecuație dă $2-2+3=3$, deci toate trei sunt verificate, iar tripletul $\mathbf{este}$ soluție a sistemului (2 p).

Exercițiul 17.

Pentru $m=-1$, coeficienții celei de-a doua ecuații, $2,-1,1$, se obțin din coeficienții primei și ai celei de-a treia: $5\cdot (1,1,2)-3\cdot (1,2,3)=(2,-1,1)$ (2 p). Dacă $(x,y,z)$ ar fi o soluție, atunci $2x-y+z=5\cdot 3-3\cdot 3=6$ (2 p). Dar a doua ecuație cere $2x-y+z=4$, iar $6\ne 4$, deci sistemul nu are soluții (1 p).

Exercițiul 18.

Pentru $m=0$, $\Delta =\det (A(0))=1\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer (1 p). ${\Delta }_x=\det \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 4& 0& 1\\ 3& 2& 3\end{array}\right)=-6-9+16=1$, ${\Delta }_y=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 4& 1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)=9-15+4=-2$ și ${\Delta }_z=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 2& 0& 4\\ 1& 2& 3\end{array}\right)=-8-2+12=2$ (3 p). Soluția este $x=1$, $y=-2$, $z=2$ (1 p). Verificare: $1-2+4=3$, $2+2=4$ și $1-4+6=3$.

Pentru părinți și profesori

Testul recapitulează toată materia de examen a clasei a XII-a la profilul pedagogic, în forma în care apare la Bacalaureat: trei probleme de tipul Subiectului al III-lea, fiecare cu șase cerințe de câte 5 puncte despre aceleași matrice. Prima problemă are forma probelor din iunie 2014 încoace (o matrice de ordinul doi cu parametru), a doua lucrează cu două matrice fixe de ordinul doi, iar a treia are forma probelor din 2013 și a modelului din 2014 (o matrice de ordinul trei cu parametru și un sistem). Se sprijină pe lecțiile traseului clasei, numite în tabelul de mai jos; testele de unitate de dinainte verifică aceleași lucruri pe bucăți.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu, cu un maximum de 100 de puncte.
• Timp: 120 de minute, câte 40 de minute pentru fiecare problemă. La examen, Subiectul al III-lea înseamnă o singură problemă de acest fel, cu 30 de puncte din 90, într-o probă de trei ore, deci cam o oră pentru el; aici, trei probleme la rând cer un ritm ceva mai alert decât la examen, dar realist pentru un elev care a lucrat testele de unitate. Volumul nu a fost redus, ca testul să păstreze forma probei: 18 cerințe de câte 5 puncte. La profilul pedagogic, cu o oră de matematică pe săptămână, testul se poate da și în trei ore de curs, câte o parte pe oră, cu punctajele adunate la final.
• Cum se aplică: testul se lucrează individual, pe foaie, fără calculator; toate rezultatele ies exacte. Contează calculul scris, nu doar răspunsul. Enunțul comun al fiecărei probleme stă la prima ei cerință; în aplicație, el se repetă la fiecare cerință. Ghidajul desparte fiecare cerință în etape mici: o întrebare cu variante, apoi un număr de aflat, iar fiecare variantă greșită spune unde a apărut greșeala.
• La 90–100 de puncte: materia clasei a XII-a e stăpânită; continuă cu probele oficiale din arhivă.
• La 75–89 de puncte: refă cu ghidajul doar cerințele la care ai pierdut puncte.
• La 60–74 de puncte: revezi lecțiile din ultima coloană a tabelului pentru cerințele la care ai pierdut puncte, apoi repeți testul peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: reia testele de unitate ale clasei, în ordine, apoi lucrează acest test din nou, cu ghidajul pornit de la primul pas.
• Formule de reținut: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$, iar pentru ordinul trei se folosește regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei nu este 0, iar ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$; dacă $A\cdot B=k{I}_2$, cu $k\ne 0$, atunci $A^{-1}=\frac{1}{k}B$; din $A\cdot X=B$ rezultă $X=A^{-1}B$; un sistem este de tip Cramer când $\Delta \ne 0$, iar atunci $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta }$, $z=\frac{{\Delta }_z}{\Delta }$.

Toate cele trei probleme sunt „tip Bacalaureat M4”: au structura Subiectului al III-lea (o problemă cu șase cerințe de câte 5 puncte), cu cerințe de tipul celor din probe, dar cu alte matrice și alte numere decât în probele oficiale.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen M_pedagogic pentru Bacalaureatul din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 4: OMEC 5959/2006). În cele 60 de probe oficiale M_pedagogic din 2013–2026, Subiectul al III-lea a fost de fiecare dată o problemă cu matrice: în toate cele 60 de probe s-au cerut operații cu matrice și un determinant, în 34 de probe inversa unei matrice, în 20 de probe o ecuație matriceală (rezolvată tot cu inversa), iar în 8 probe un sistem liniar. Matricele de ordinul trei și sistemele cu trei necunoscute au apărut numai în cele trei probe din 2013 și în modelul din 2014; după modelul din 2014, problema nu a mai folosit matrice de ordinul trei. Pentru elevii care dau Bacalaureatul din 2030, planul-cadru nou (OMEC 4152/2026) dă profilului pedagogic matematică în trunchiul comun numai la clasele a IX-a și a X-a, iar matematica rămâne o probă la alegere (OMEC 4138/2026); testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.