Test pedagogic: sisteme liniare și metoda Cramer

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Matrice inversabile, ecuații matriceale și sisteme liniare

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Care este matricea sistemului $\{\begin{array}{l}2x-y+3z=4\\ x+5z=-1\\ 3y-z=2\end{array}$?

Variantele: a) „$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 5& 0\\ 3& -1& 0\end{array}\right)$”; b) „$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 0& 5\\ 0& 3& -1\end{array}\right)$”; c) „$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 0& 3\\ 3& 5& -1\end{array}\right)$”; d) „$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 0& 5\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Verifică dacă tripletul $(2,-1,3)$ este soluție a sistemului $\{\begin{array}{l}x+y+z=4\\ 2x-y+z=8\\ x+3y-z=-4\end{array}$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvă prin metoda Cramer sistemul $\{\begin{array}{l}4x-3y=18\\ 5x+2y=11\end{array}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Pentru sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y-z=-3\\ 2x-y+z=8\\ x+y+2z=7\end{array}$, calculează determinantul $\Delta$ al sistemului și determinantul ${\Delta }_z$, apoi află necunoscuta $z$ prin metoda Cramer.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determină numerele reale $m$ pentru care sistemul $\{\begin{array}{l}mx+9y=1\\ x+my=2\end{array}$ nu este de tip Cramer.

Exercițiul 6 (5 puncte)

(Programa școlară, nu programa de examen.) Rezolvă prin metoda Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x+y+4z=16\\ x+3y+3z=16\end{array}$.

Partea a II-a – Situații din școală și din grădiniță (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

La târgul de Crăciun al școlii, elevii unei clase a III-a vând felicitări, cu $x$ lei bucata, și semne de carte, cu $y$ lei bucata. În prima zi au vândut 12 felicitări și 15 semne de carte, pe 141 de lei, iar în a doua zi 9 felicitări și 20 de semne de carte, pe 132 de lei.

a) (5 puncte) Scrie sistemul care descrie cele două zile și calculează determinantul $\Delta$ al sistemului.

b) (5 puncte) Calculează ${\Delta }_x$ și ${\Delta }_y$ și află, prin metoda Cramer, prețul unei felicitări și prețul unui semn de carte.

Exercițiul 8 (10 puncte)

O grădiniță cumpără puzzle-uri, cu $x$ lei bucata, seturi de cuburi, cu $y$ lei setul, și mingi, cu $z$ lei bucata. Grupa mică primește 2 puzzle-uri, un set de cuburi și o minge, care costă împreună 98 de lei; grupa mijlocie primește un puzzle, 3 seturi de cuburi și o minge, în valoare de 100 de lei, iar grupa mare primește un puzzle, un set de cuburi și 2 mingi, în valoare de 76 de lei.

a) (5 puncte) Scrie sistemul sub forma $A\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=B$ și calculează $\Delta =\det A$.

b) (5 puncte) Calculează ${\Delta }_x$ și ${\Delta }_z$ și află prețul unui puzzle și prețul unei mingi.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Într-o fișă de lucru, învățătoarea a scris sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y=4\\ 3x+6y=m\end{array}$, unde $m$ este un număr real, și le-a cerut elevilor de la practica pedagogică să-l discute.

a) (5 puncte) Calculează determinantul sistemului și explică de ce metoda Cramer nu se poate folosi, oricare ar fi $m$.

b) (5 puncte) Arată că pentru $m=10$ sistemul nu are soluții, iar pentru $m=12$ are o infinitate de soluții; dă două soluții diferite pentru $m=12$.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& m& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$ și sistemul (S) $\{\begin{array}{l}x+y+z=4\\ 2x+my+z=9\\ x-y+2z=1\end{array}$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(m))=m-4$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Pentru $m=4$, arătați că sistemul (S) nu are soluții.

c) (5 puncte) Pentru $m=3$, rezolvați sistemul (S).

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ 4& a+2\end{array}\right)$ și sistemul $A(a)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -5\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(a))=(a+4)(a-2)$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) (5 puncte) Pentru $a=-5$, rezolvați sistemul prin metoda Cramer.

Barem și răspunsuri

În barem, rezolvările sunt scrise pas cu pas, iar punctul fiecărui pas apare între paranteze; o rezolvare corectă, dar diferită, e tratată la fel, iar rezultatele finale sunt îngroșate. Se acordă 10 puncte din oficiu. La Partea a III-a, un răspuns corect, dar fără drumul spre el, nu ia punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Matricea sistemului are câte o linie pentru fiecare ecuație și câte o coloană pentru fiecare necunoscută, în ordinea $x$, $y$, $z$ (2 p). A doua ecuație nu îl conține pe $y$, iar a treia nu îl conține pe $x$, deci pe acele locuri se scrie $0$: liniile sunt $2,-1,3$ / $1,0,5$ / $0,3,-1$ (2 p). Răspunsul este $\mathbf{b})$ (1 p). Verificare: varianta a) mută coeficienții spre stânga în loc să pună 0, varianta c) scrie ecuațiile pe coloane, iar varianta d) pierde semnul lui $-z$.

Exercițiul 2.

Prima ecuație: $2+(-1)+3=4$, adevărat (1 p). A doua ecuație: $2\cdot 2-(-1)+3=4+1+3=8$, adevărat (2 p). A treia ecuație: $2+3\cdot (-1)-3=2-3-3=-4$, adevărat, deci tripletul $\mathbf{este}$ soluție a sistemului (2 p). Verificare: un triplet este soluție numai dacă verifică toate cele trei ecuații; o singură ecuație verificată nu ajunge.

Exercițiul 3.

$\Delta =\det \left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 5& 2\end{array}\right)=8+15=23\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer (1 p). ${\Delta }_x=\det \left(\begin{array}{cc}18& -3\\ 11& 2\end{array}\right)=36+33=69$ și ${\Delta }_y=\det \left(\begin{array}{cc}4& 18\\ 5& 11\end{array}\right)=44-90=-46$ (2 p). Atunci $x=\frac{69}{23}=3$ și $y=\frac{-46}{23}=-2$ (2 p). Verificare: $4\cdot 3-3\cdot (-2)=18$ și $5\cdot 3+2\cdot (-2)=11$.

Exercițiul 4.

$\Delta =\det \left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& -1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)=1\cdot (-2-1)-2\cdot (4-1)+(-1)\cdot (2+1)=-3-6-3=-12$ (2 p). În ${\Delta }_z$, coloana lui $z$ se înlocuiește cu coloana termenilor liberi: ${\Delta }_z=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& -1& 8\\ 1& 1& 7\end{array}\right)=1\cdot (-7-8)-2\cdot (14-8)+(-3)\cdot (2+1)=-15-12-9=-36$ (2 p). Atunci $z=\frac{-36}{-12}=3$ (1 p). Verificare: sistemul are soluția $(2,-1,3)$, iar $2-2-3=-3$, $4+1+3=8$ și $2-1+6=7$.

Exercițiul 5.

Sistemul nu este de tip Cramer exact când determinantul lui este 0 (1 p). $\Delta =\det \left(\begin{array}{cc}m& 9\\ 1& m\end{array}\right)=m^2-9$ (2 p). Din $m^2-9=0$ rezultă $m=-3$ sau $m=3$ (2 p). Verificare: pentru $m=3$, $\Delta =3\cdot 3-9\cdot 1=0$.

Exercițiul 6.

Scădem din a doua ecuație dublul primei și din a treia ecuație prima: obținem $-y+2z=4$ și $2y+2z=10$, adică $y+z=5$ (2 p). Adunând ecuațiile $-y+2z=4$ și $y+z=5$, obținem $3z=9$, deci $z=3$, iar apoi $y=5-3=2$ (2 p). Din prima ecuație, $x=6-2-3=1$, deci soluția este $(1,2,3)$ (1 p). Verificare: $2+2+12=16$ și $1+6+9=16$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Sistemul este $\{\begin{array}{l}12x+15y=141\\ 9x+20y=132\end{array}$ (2 p). $\Delta =12\cdot 20-15\cdot 9=240-135=105$ (3 p).

b) (5 p) ${\Delta }_x=141\cdot 20-15\cdot 132=2820-1980=840$ și ${\Delta }_y=12\cdot 132-141\cdot 9=1584-1269=315$ (3 p). O felicitare costă $x=\frac{840}{105}=8$ lei, iar un semn de carte $y=\frac{315}{105}=3$ lei (2 p). Verificare: $12\cdot 8+15\cdot 3=96+45=141$ și $9\cdot 8+20\cdot 3=72+60=132$.

Exercițiul 8.

a) (5 p) $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}98\\ 100\\ 76\end{array}\right)$ (2 p). $\Delta =2\cdot (6-1)-1\cdot (2-1)+1\cdot (1-3)=10-1-2=7$ (3 p).

b) (5 p) ${\Delta }_x=\det \left(\begin{array}{ccc}98& 1& 1\\ 100& 3& 1\\ 76& 1& 2\end{array}\right)=98\cdot 5-1\cdot (200-76)+1\cdot (100-228)=490-124-128=238$ (2 p). ${\Delta }_z=\det \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 98\\ 1& 3& 100\\ 1& 1& 76\end{array}\right)=2\cdot (228-100)-1\cdot (76-100)+98\cdot (1-3)=256+24-196=84$ (2 p). Un puzzle costă $x=\frac{238}{7}=34$ de lei, iar o minge $z=\frac{84}{7}=12$ lei (1 p). Verificare: din prima ecuație, setul de cuburi costă $98-68-12=18$ lei, iar $34+3\cdot 18+12=100$ și $34+18+2\cdot 12=76$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) $\Delta =\det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right)=6-6=0$ (3 p). Metoda Cramer cere $\Delta \ne 0$, iar aici determinantul este 0 pentru orice $m$, fiindcă $m$ nu apare în matricea sistemului (2 p).

b) (5 p) Membrul stâng al celei de-a doua ecuații este triplul membrului stâng al primei: $3x+6y=3(x+2y)=3\cdot 4=12$ pentru orice soluție a primei ecuații (2 p). Pentru $m=10$, a doua ecuație ar cere ca numărul 12 să fie egal cu 10, ceea ce este fals, deci sistemul nu are soluții (1 p). Pentru $m=12$, a doua ecuație este prima înmulțită cu 3, deci orice soluție a ecuației $x+2y=4$ este soluție a sistemului; de exemplu $(4,0)$ și $(2,1)$ (2 p). Verificare: $3\cdot 2+6\cdot 1=12$ și $3\cdot 4+6\cdot 0=12$.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Dezvoltând după prima linie, $\det (A(m))=1\cdot (2m+1)-1\cdot (4-1)+1\cdot (-2-m)$ (3 p) $=2m+1-3-2-m=m-4$ (2 p).

b) (5 p) Pentru $m=4$, coeficienții celei de-a doua ecuații, $2,4,1$, se obțin scăzând coeficienții celei de-a treia ecuații din triplul coeficienților primei: $3\cdot (1,1,1)-(1,-1,2)=(2,4,1)$ (2 p). Dacă $(x,y,z)$ ar fi o soluție, atunci $2x+4y+z=3\cdot 4-1=11$ (2 p). Dar a doua ecuație cere $2x+4y+z=9$, iar $11\ne 9$, deci sistemul nu are soluții (1 p).

c) (5 p) Pentru $m=3$, $\Delta =3-4=-1\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer (1 p). ${\Delta }_x=\det \left(\begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 9& 3& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right)=28-17-12=-1$, ${\Delta }_y=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 2& 9& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)=17-12-7=-2$ și ${\Delta }_z=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 2& 3& 9\\ 1& -1& 1\end{array}\right)=12+7-20=-1$ (3 p). Soluția este $x=1$, $y=2$, $z=1$ (1 p). Verificare: $1+2+1=4$, $2+6+1=9$ și $1-2+2=1$.

Exercițiul 11.

a) (5 p) $\det (A(a))=a(a+2)-2\cdot 4=a^2+2a-8$ (3 p). Cum $(a+4)(a-2)=a^2-2a+4a-8=a^2+2a-8$, egalitatea este adevărată (2 p).

b) (5 p) Sistemul are soluție unică exact când este de tip Cramer, adică $\det (A(a))\ne 0$ (2 p). Din $(a+4)(a-2)\ne 0$ rezultă $a\ne -4$ și $a\ne 2$ (2 p), deci $a\in \mathbb{R}\setminus \{-4,2\}$ (1 p).

c) (5 p) Pentru $a=-5$, sistemul este $\{\begin{array}{l}-5x+2y=1\\ 4x-3y=-5\end{array}$, iar $\Delta =(-5+4)(-5-2)=7$ (1 p). ${\Delta }_x=\det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -5& -3\end{array}\right)=-3+10=7$ și ${\Delta }_y=\det \left(\begin{array}{cc}-5& 1\\ 4& -5\end{array}\right)=25-4=21$ (2 p). Atunci $x=\frac{7}{7}=1$ și $y=\frac{21}{7}=3$ (2 p). Verificare: $-5+6=1$ și $4-9=-5$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică sistemele de ecuații liniare cu cel mult trei necunoscute la clasa a XII-a, profilul pedagogic: forma matriceală, metoda Cramer, sistemele cu parametru și metoda Gauss. Se sprijină pe șase lecții din traseul clasei: „Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală, matricea sistemului și matricea extinsă”, „Forma matriceală a unui sistem cu 3 necunoscute (M2, științe ale naturii)”, „Metoda lui Cramer, la cel mult 3 necunoscute (M2, științe ale naturii)”, „Cramer pas cu pas: sisteme 3×3 la tehnologic”, „Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare” și „Modelarea situațiilor practice cu sisteme de ecuații liniare”. Inversa și ecuațiile matriceale sunt verificate de testul anterior.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu, cu un maximum de 100 de puncte.
• Timp: 60 de minute (exercițiile 4, 8 și 10 cer mai mulți determinanți de ordinul trei).
• Cum se aplică: testul se lucrează individual, pe foaie, fără calculator; toate rezultatele ies exacte. Exercițiul 6 este din programa școlară (metoda Gauss), nu din programa de examen. La Partea a III-a contează și calculul scris, nu doar răspunsul. Ghidajul desparte fiecare exercițiu în etape mici: întâi o întrebare cu variante, apoi câte un număr de aflat, iar fiecare variantă greșită spune unde a apărut greșeala.
• La 90–100 de puncte: unitatea e stăpânită, poți trece la testul recapitulativ.
• La 75–89 de puncte: refă cu ghidajul doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
• La 60–74 de puncte: revezi lecțiile din ultima coloană a tabelului pentru exercițiile la care ai strâns mai puțin de jumătate dintre puncte, apoi repeți testul peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: reia cele șase lecții, în ordinea de mai sus, și lucrează testul din nou, cu ghidajul pornit de la primul pas.
• Formule de reținut: un sistem liniar se scrie $A\cdot X=B$, cu o linie pentru fiecare ecuație, o coloană pentru fiecare necunoscută și coeficientul 0 pentru necunoscuta care lipsește; sistemul este de tip Cramer când $\Delta =\det A\ne 0$, iar atunci are soluție unică, $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta }$, $z=\frac{{\Delta }_z}{\Delta }$, unde în ${\Delta }_x$ coloana lui $x$ se înlocuiește cu coloana termenilor liberi; când $\Delta =0$, sistemul fie nu are soluții, fie are o infinitate de soluții; metoda Gauss elimină pe rând necunoscutele, scăzând din ecuații multipli ai altor ecuații.

Exercițiile 10 și 11 au marcajul „tip Bacalaureat M4” și sunt scrise pe conținutul Subiectului al III-lea: exercițiul 10 are forma probelor din 2013 și a modelului din 2014 (o matrice de ordinul trei și un sistem cu parametru), iar exercițiul 11, forma probelor din iunie 2014 încoace (o matrice de ordinul doi și sistemul scris cu ea); cerințele sunt de tipul celor din probe, dar cu alte matrice și alte sisteme decât în probele oficiale. La examen, Subiectul al III-lea este o singură problemă cu șase cerințe de câte 5 puncte (forma din testul recapitulativ al clasei); aici sunt două probleme mai scurte, cu câte trei subpuncte.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen M_pedagogic pentru Bacalaureatul din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 4: OMEC 5959/2006). Metoda Gauss apare numai în programa școlară; programa de examen cere metoda Cramer. Sistemele se cer la Subiectul al III-lea. În cele 60 de probe oficiale M_pedagogic din 2013–2026, un sistem liniar a apărut în 8 probe: cele trei din 2013 și modelul din 2014, cu trei necunoscute, apoi august 2017, iunie 2018, iunie 2024 și august 2026, cu două necunoscute, scrise sub forma unui produs de matrice; în cele trei probe din 2013 s-a cerut rezolvarea unui sistem cu trei necunoscute, de tip Cramer (metoda nu era impusă). Fiind în programa de examen, sistemele și metoda Cramer pot fi cerute. Pentru elevii care dau Bacalaureatul din 2030, planul-cadru nou (OMEC 4152/2026) dă profilului pedagogic matematică în trunchiul comun numai la clasele a IX-a și a X-a, iar matematica rămâne o probă la alegere (OMEC 4138/2026); testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.