Test pedagogic: statistică și sondaje

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Statistică (programa școlară, nu e la examen)

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Învățătoarea unei clase a IV-a a notat câte cărți a citit fiecare dintre cei 20 de elevi în vacanța de iarnă: 2, 3, 1, 4, 2, 3, 3, 0, 2, 5, 3, 2, 1, 3, 4, 2, 3, 1, 3, 2. Alcătuiește tabelul de frecvențe absolute. Care este modul datelor și ce procent din elevi a citit exact atâtea cărți?

Exercițiul 2 (5 puncte)

La un test, notele celor 25 de elevi ai unei clase sunt date în tabelul de mai jos. Calculează media notelor clasei.

Nota	5	6	7	8	9	10
Numărul de elevi	2	3	5	6	6	3

Exercițiul 3 (5 puncte)

Opt copii de la grupa mare a unei grădinițe au terminat un puzzle în 14, 9, 12, 20, 11, 9, 16 și 13 minute. Care este mediana timpilor?

Variantele: a) „15,5 minute”; b) „12,5 minute”; c) „13 minute”; d) „9 minute”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Cinci elevi au citit într-o zi 13, 6, 17, 9 și 15 pagini. Calculează media, dispersia și abaterea standard a numărului de pagini citite.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Media notelor celor 18 elevi ai unei clase la o lucrare este 7,5. Doi elevi care au absentat scriu lucrarea mai târziu și primesc notele 9 și 10. Care este media notelor tuturor celor 20 de elevi?

Exercițiul 6 (5 puncte)

Într-o diagramă circulară care prezintă răspunsurile celor 64 de părinți ai unei clase la un chestionar, sectorul răspunsului „de acord” are unghiul de $13 5^{\circ}$ . Câți părinți au răspuns „de acord”?

Partea a II-a – Situații din școală și din grădiniță (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Două grupe de câte 9 elevi au scris aceeași lucrare. Notele, ordonate crescător, sunt:

Grupa	Notele
A	6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10
B	3, 4, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10

a) (5 puncte) Calculează media și mediana notelor pentru fiecare grupă.

b) (5 puncte) Câți elevi din fiecare grupă au luat o notă mai mare decât media grupei lor? Explică de ce mediana descrie mai bine decât media un elev obișnuit din grupa B.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Două grupe de la clasa pregătitoare au lucrat aceeași fișă. Timpul de lucru, în minute, a fost:

Grupa	Timpii, în minute
X	17, 18, 20, 21, 21, 23
Y	14, 16, 20, 22, 22, 26

a) (5 puncte) Calculează media, dispersia și abaterea standard a timpilor grupei X.

b) (5 puncte) Calculează abaterea standard a timpilor grupei Y și amplitudinea fiecărei grupe. Care grupă a lucrat mai omogen?

Exercițiul 9 (10 puncte)

O școală primară are 480 de elevi: 150 în clasa pregătitoare și în clasa I, 130 în clasa a II-a, 110 în clasa a III-a și 90 în clasa a IV-a. Directoarea vrea să afle câți elevi citesc zilnic acasă și chestionează un eșantion de 48 de elevi.

a) (5 puncte) Eșantionul este stratificat proporțional: din fiecare nivel se aleg elevi în aceeași proporție ca în școală. Câți elevi se aleg din fiecare nivel?

b) (5 puncte) În eșantion, 18 elevi spun că citesc zilnic acasă. Ce procent din eșantion reprezintă și câți elevi din toată școala se estimează că citesc zilnic?

Partea a III-a – Studii de caz (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Studiu de caz.) Un sondaj printre 200 de părinți ai elevilor din ciclul primar a întrebat câte ore pe săptămână își ajută copilul la teme. Rezultatele sunt în tabel.

Ore pe săptămână	0	1	2	3	4	5
Numărul de părinți	12	30	54	48	36	20

a) (5 puncte) Calculează frecvența relativă, în procente, a fiecărei valori.

b) (5 puncte) Calculează media numărului de ore.

c) (5 puncte) Determină mediana și modul. Care dintre cele trei valori, media, mediana sau modul, răspunde la întrebarea „care este răspunsul dat de cei mai mulți părinți”?

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Studiu de caz.) Un studiu despre somnul școlarilor mici a înregistrat timpul de somn pe noapte pentru 50 de elevi, grupat pe clase de câte o oră.

Ore de somn	$[7, 8)$	$[8, 9)$	$[9, 10)$	$[10, 11)$
Numărul de elevi	6	14	20	10

a) (5 puncte) Calculează frecvențele cumulate crescător și precizează clasa în care se află mediana.

b) (5 puncte) Calculează media timpului de somn, folosind mijlocul fiecărei clase ca valoare reprezentativă.

c) (5 puncte) Medicii recomandă școlarilor mici cel puțin 9 ore de somn pe noapte. Ce procent dintre elevii din studiu respectă recomandarea? Ce procent dintre ei doarme mai puțin de 8 ore?

Barem și răspunsuri

În barem, rezolvările sunt scrise pas cu pas, iar punctul fiecărui pas apare între paranteze; o rezolvare corectă, dar diferită, e tratată la fel, iar rezultatele finale sunt îngroșate. Se acordă 10 puncte din oficiu. La Partea a III-a, un răspuns corect, dar fără drumul spre el, nu ia punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Numărând fiecare valoare, frecvențele absolute sunt: 0 cărți – 1 elev, 1 carte – 3 elevi, 2 cărți – 6 elevi, 3 cărți – 7 elevi, 4 cărți – 2 elevi, 5 cărți – 1 elev; suma lor este $1 + 3 + 6 + 7 + 2 + 1 = 20$ (2 p). Valoarea cu frecvența cea mai mare este 3, deci modul este $3$ cărți (1 p). Frecvența relativă a modului este $\frac{7}{20} = 0, 35$ , adică $35$ % din elevi (2 p). Verificare: modul este valoarea care apare cel mai des, adică 3, nu numărul de apariții, 7.

Exercițiul 2.

Media se calculează cu frecvențele ca ponderi: suma notelor este $5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 6 + 10 \cdot 3$ (2 p), adică $10 + 18 + 35 + 48 + 54 + 30 = 195$ (2 p). Media este $195 : 25 = 7, 8$ (1 p). Verificare: media notelor distincte, $(5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) : 6 = 7, 5$ , ar ignora câți elevi au luat fiecare notă.

Exercițiul 3.

Ordonăm timpii crescător: 9, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 20 (2 p). Sunt 8 date, un număr par, deci mediana este media celor două valori din mijloc, a patra și a cincea: $(12 + 13) : 2 = 12, 5$ (2 p). Răspunsul este $b)$ (1 p). Verificare: 15,5 minute este media valorilor din mijloc ale listei neordonate, 20 și 11, 13 minute este media timpilor, iar 9 minute este modul.

Exercițiul 4.

Media este $\overset{x}{ˉ} = (13 + 6 + 17 + 9 + 15) : 5 = 60 : 5 = 12$ pagini (1 p). Abaterile de la medie sunt $1$ , $- 6$ , $5$ , $- 3$ și $3$ , iar pătratele lor sunt $1$ , $36$ , $25$ , $9$ și $9$ , cu suma $80$ (2 p). Dispersia este $σ^{2} = 80 : 5 = 16$ , iar abaterea standard este $σ = 16 = 4$ pagini (2 p). Verificare: suma abaterilor de la medie este $1 - 6 + 5 - 3 + 3 = 0$ , cum trebuie.

Exercițiul 5.

Suma notelor celor 18 elevi este $18 \cdot 7, 5 = 135$ (2 p). Cu cele două note noi, suma devine $135 + 9 + 10 = 154$ (2 p), iar media celor 20 de elevi este $154 : 20 = 7, 7$ (1 p). Verificare: media nu este $(7, 5 + 9 + 10) : 3$ , fiindcă 7,5 reprezintă 18 elevi, nu unul singur.

Exercițiul 6.

Frecvența relativă a sectorului este $\frac{135}{360} = \frac{3}{8}$ (2 p). Numărul părinților care au răspuns „de acord” este $\frac{3}{8} \cdot 64$ (2 p), adică $24$ (1 p). Verificare: 24 de părinți din 64 dau sectorul $\frac{24}{64} \cdot 36 0^{\circ} = 13 5^{\circ}$ .

Exercițiul 7.

a) (5 p) Suma notelor este 72 la ambele grupe, deci media este $72 : 9 = 8$ la A și tot $8$ la B (2 p). Sunt 9 note, deci mediana este a cincea notă din șirul ordonat: $8$ la grupa A și $9$ la grupa B (3 p).

b) (5 p) În grupa A, notele mai mari decât 8 sunt 9, 9 și 10, deci $3$ elevi; în grupa B, notele mai mari decât 8 sunt 9, 9, 9, 10, 10 și 10, deci $6$ elevi (2 p). În grupa B, două note foarte mici, 3 și 4, coboară media la 8, deși 7 dintre cei 9 elevi au cel puțin 8 (2 p). Mediana, 9, nu este influențată de cele două note mici și arată mai bine nota unui elev obișnuit din grupa B (1 p).

Exercițiul 8.

a) (5 p) Media grupei X este $(17 + 18 + 20 + 21 + 21 + 23) : 6 = 120 : 6 = 20$ de minute (1 p). Abaterile sunt $- 3$ , $- 2$ , $0$ , $1$ , $1$ și $3$ , iar pătratele lor au suma $9 + 4 + 0 + 1 + 1 + 9 = 24$ (2 p). Dispersia este $24 : 6 = 4$ , iar abaterea standard este $4 = 2$ minute (2 p).

b) (5 p) Media grupei Y este tot $120 : 6 = 20$ , abaterile sunt $- 6$ , $- 4$ , $0$ , $2$ , $2$ și $6$ , iar $36 + 16 + 0 + 4 + 4 + 36 = 96$ , deci dispersia este $96 : 6 = 16$ și abaterea standard este $4$ minute (2 p). Amplitudinea este $23 - 17 = 6$ minute la X și $26 - 14 = 12$ minute la Y (2 p). Grupa X a lucrat mai omogen: are aceeași medie, dar abaterea standard și amplitudinea sunt de două ori mai mici (1 p).

Exercițiul 9.

a) (5 p) Eșantionul are 48 de elevi din 480, adică $\frac{48}{480} = \frac{1}{10}$ din fiecare nivel (2 p). Se aleg $15$ elevi din clasa pregătitoare și din clasa I, $13$ din clasa a II-a, $11$ din clasa a III-a și $9$ din clasa a IV-a (2 p). Verificare: $15 + 13 + 11 + 9 = 48$ (1 p).

b) (5 p) Frecvența relativă în eșantion este $\frac{18}{48} = 0, 375$ , adică $37, 5$ % (2 p). Estimarea pentru școală este $0, 375 \cdot 480$ (2 p), adică aproximativ $180$ de elevi (1 p). Verificare: eșantionul este a zecea parte din școală, iar $18 \cdot 10 = 180$ .

Exercițiul 10.

a) (5 p) În procente, frecvența relativă este numărul de părinți împărțit la 200 și înmulțit cu 100, adică împărțit la 2 (1 p): $12 : 2 = 6$ , $30 : 2 = 15$ , $54 : 2 = 27$ , $48 : 2 = 24$ , $36 : 2 = 18$ și $20 : 2 = 10$ , deci frecvențele relative sunt $6$ %, $15$ %, $27$ %, $24$ %, $18$ % și $10$ % (3 p). Verificare: $6 + 15 + 27 + 24 + 18 + 10 = 100$ (1 p).

b) (5 p) Suma tuturor orelor este $0 \cdot 12 + 1 \cdot 30 + 2 \cdot 54 + 3 \cdot 48 + 4 \cdot 36 + 5 \cdot 20$ (2 p) $= 0 + 30 + 108 + 144 + 144 + 100 = 526$ (2 p), iar media este $526 : 200 = 2, 63$ ore pe săptămână (1 p).

c) (5 p) Frecvențele cumulate crescător sunt 12, 42, 96, 144, 180 și 200; mediana este media valorilor de pe locurile 100 și 101, care sunt amândouă 3, deci mediana este $3$ ore (2 p). Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare, 54, deci modul este $2$ ore (2 p). La întrebarea „care este răspunsul dat de cei mai mulți părinți” răspunde modul, 2 ore; media, 2,63, nici nu este un răspuns posibil la sondaj (1 p).

Exercițiul 11.

a) (5 p) Frecvențele cumulate crescător sunt $6$ , $6 + 14 = 20$ , $20 + 20 = 40$ și $40 + 10 = 50$ (2 p). Sunt 50 de date, deci mediana este media valorilor de pe locurile 25 și 26 (1 p). Primii 20 de elevi sunt în primele două clase, iar locurile 21–40 sunt în clasa $[9, 10)$ , deci mediana se află în clasa $[9, 10)$ (2 p).

b) (5 p) Mijloacele claselor sunt 7,5, 8,5, 9,5 și 10,5 ore (1 p). Suma este $7, 5 \cdot 6 + 8, 5 \cdot 14 + 9, 5 \cdot 20 + 10, 5 \cdot 10 = 45 + 119 + 190 + 105 = 459$ (2 p), iar media este $459 : 50 = 9, 18$ ore (2 p).

c) (5 p) Cel puțin 9 ore dorm elevii din ultimele două clase: $20 + 10 = 30$ de elevi (2 p), iar $\frac{30}{50} = 0, 6$ , deci $60$ % dintre elevi respectă recomandarea (2 p). Mai puțin de 8 ore dorm cei 6 elevi din prima clasă, iar $\frac{6}{50} = 0, 12$ , adică $12$ % (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică unitatea de statistică a programei școlare de clasa a XII-a la profilul pedagogic: culegerea și reprezentarea datelor, media, mediana și modul, indicatorii de împrăștiere și interpretarea unui sondaj din domeniul educației. Se sprijină pe lecțiile unității de statistică din traseul clasei a XII-a, „Media ponderată la tehnologic: note, prețuri”, „Dispersia și abaterile de la medie (M2, științe ale naturii)”, „Abaterea standard: formulă și interpretare”, „Compararea a două seturi de date” și „Sondaj și abatere standard: liceu tehnologic”, și pe lecțiile de bază din traseul clasei a X-a, „Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute”, „Frecvențe relative și procente”, „Frecvențe cumulate”, „Gruparea datelor pe clase. Histograma”, „Diagrame circulare”, „Mediana unui set de date”, „Ce diagramă alegi: bare, boxplot, cerc, tehnologic” și „Eșantionare: sondaj aleator simplu și sondaj stratificat”.

Punctaj: 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu, cu un maximum de 100 de puncte.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: testul se lucrează individual, pe foaie, fără calculator; rezultatele ies exacte sau cu cel mult două zecimale. La Partea a III-a contează și calculul scris, nu doar răspunsul. Ghidajul desparte fiecare exercițiu în etape mici: întâi o întrebare cu variante, apoi câte un număr de aflat, iar fiecare variantă greșită spune unde a apărut greșeala.
La 90–100 de puncte: unitatea e stăpânită.
La 75–89 de puncte: refă cu ghidajul doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
La 60–74 de puncte: revezi lecțiile din ultima coloană a tabelului pentru exercițiile la care ai strâns mai puțin de jumătate dintre puncte, apoi repeți testul peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: reia lecțiile din tabel, în ordinea lui, și lucrează testul din nou, cu ghidajul pornit de la primul pas.
Formule de reținut: frecvența relativă a unei valori este frecvența ei absolută împărțită la numărul total de date; media este $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ , iar pentru date dintr-un tabel de frecvențe, $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} n _{1} + x _{2} n _{2} + \dots + x _{k} n _{k}}{n _{1} + n _{2} + \dots + n _{k}}$ ; mediana este valoarea din mijloc a datelor ordonate crescător, iar la un număr par de date, media celor două valori din mijloc; modul este valoarea cu frecvența cea mai mare; amplitudinea este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare; dispersia este $σ^{2} = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ , iar abaterea standard este $σ = σ^{2}$ ; într-o diagramă circulară, unghiul unui sector este frecvența relativă înmulțită cu $36 0^{\circ}$ .

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1	tabelul de frecvențe, modul și procentul lui	Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute
6	diagrama circulară: unghiul unui sector și frecvența relativă	Diagrame circulare (și lecția „Ce diagramă alegi: bare, boxplot, cerc, tehnologic”)
2, 5, 10	media, media ponderată (la 10, și procentele)	Media ponderată la tehnologic: note, prețuri (pentru 10, și lecția „Frecvențe relative și procente”)
3	mediana și modul	Mediana unui set de date
11	date grupate pe clase, frecvențe cumulate, mediana și media pe clase	Gruparea datelor pe clase. Histograma, apoi lecția „Frecvențe cumulate”
4, 8	dispersia și abaterea standard	Dispersia și abaterile de la medie (M2, științe ale naturii), apoi lecția „Abaterea standard: formulă și interpretare”
7	compararea a două seturi de date cu media și mediana	Compararea a două seturi de date
9	eșantionarea și estimarea dintr-un sondaj	Eșantionare: sondaj aleator simplu și sondaj stratificat, apoi lecția „Sondaj și abatere standard: liceu tehnologic”

Exercițiile 10 și 11 sunt studii de caz: datele vin dintr-un sondaj și dintr-un studiu pe teme din domeniul educației, cum cere programa școlară.

Programa și examenul. Unitatea de statistică este în programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 4: OMEC 5959/2006), care se aplică profilului pedagogic, dar nu este în programa de examen M_pedagogic a clasei a XII-a (OMEN 4430/2014, Anexa 2). Programa de examen cere statistica elementară la clasa a X-a: în cele 60 de probe oficiale M_pedagogic din 2013–2026, elementul acesta al programei nu a apărut în nicio probă. Testul de față verifică materia de la clasă și nu are exerciții pe model de examen. Pentru elevii care dau Bacalaureatul din 2030, planul-cadru nou (OMEC 4152/2026) dă profilului pedagogic matematică în trunchiul comun numai la clasele a IX-a și a X-a; testul de față nu este scris pentru ei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.