Test sumativ — Semestrul al II-lea (Clasa a VI-a)

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a · Evaluare sumativă semestrială

Acest test verifică, într-o singură evaluare, principalele competențe formate în semestrul al II-lea: operații cu numere întregi și raționale, unghiuri, perpendicularitate, paralelism, cercul și congruența triunghiurilor. Itemii sunt formulați în contexte de calcul, raționament și aplicații practice, gradați de la simplu la complex.

Exerciții

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați, respectând ordinea operațiilor: $$E=(-3{)}^2-5\cdot (-2)+(-18):3.$$

Exercițiul 2 (5 puncte)

Efectuați și aduceți rezultatul la forma cea mai simplă: $$F=\frac{2}{3}+\frac{5}{6}-\frac{3}{4}.$$

Exercițiul 3 (5 puncte)

Ordonați crescător numerele raționale: $$-\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1;\frac{2}{3};-0,2.$$

Exercițiul 4 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația cu modul: $$|x-3|=4.$$

Exercițiul 5 (5 puncte)

Aflați numărul rațional $x$ din ecuația: $$3x-7=-2x+8.$$

Exercițiul 6 (6 puncte)

Un elev citește o carte în trei zile. În prima zi citește $\frac{1}{4}$ din carte, în a doua zi $\frac{2}{5}$ din carte, iar în a treia zi termină ultimele 70 de pagini.

• a) Ce fracție din carte reprezintă cele 70 de pagini? (2p)
• b) Câte pagini are cartea în total? (2p)
• c) Câte pagini a citit în fiecare dintre primele două zile? (2p)

Exercițiul 7 (5 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt:

• a) Orice număr întreg negativ este mai mic decât orice număr natural.
• b) $|-7|<|5|$.
• c) Numărul $-0,75$ este egal cu $-\frac{3}{4}$.
• d) Suma a două numere raționale negative este tot un număr rațional negativ.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt suplementare, iar $m(\widehat{AOB})=3\cdot m(\widehat{BOC})$.

• a) Aflați măsura fiecărui unghi. (4p)
• b) Sunt cele două unghiuri ascuțite, drepte sau obtuze? Precizați pentru fiecare. (2p)

Exercițiul 9 (5 puncte)

Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $\widehat{AOB}$, iar $m(\widehat{AOB})=84°$. Pe semidreapta $OB$ se ia un unghi $m(\widehat{BON})=20°$, cu $ON$ în exteriorul unghiului $\widehat{AOB}$.

• a) Aflați $m(\widehat{AOM})$. (2p)
• b) Aflați $m(\widehat{MON})$. (3p)

Exercițiul 10 (5 puncte)

Dacă unghiul $(2x+10)°$ este unul dintre unghiurile formate de dreptele perpendiculare $a\perp b$, aflați valoarea lui $x$ și justificați.

Exercițiul 11 (7 puncte)

Folosind $a\parallel b$, aflați și justificați (prin tipul de unghiuri):

• a) măsura unghiului corespondent celui de $115°$, format la dreapta $b$; (2p)
• b) măsura unghiului altern intern corespunzător; (2p)
• c) măsura unghiului intern de aceeași parte a secantei (conjugat intern). (3p)

Exercițiul 12 (5 puncte)

Un cerc are centrul $O$ și raza $R=6$ cm.

• a) Cât este lungimea diametrului? (1p)
• b) Precizați poziția față de cerc a punctelor $P$, $Q$, $S$, știind că $OP=6$ cm, $OQ=4$ cm, $OS=9$ cm. (3p)
• c) Poate o coardă a acestui cerc să măsoare $13$ cm? Justificați. (1p)

Exercițiul 13 (6 puncte)

• a) Precizați cazul de congruență prin care $△ABC\equiv △DEF$. (3p)
• b) Scrieți toate perechile de elemente congruente care rezultă din congruența celor două triunghiuri. (3p)

Exercițiul 14 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se știe că $AB=AC$ și că $\hat{B}\equiv \hat{C}$.

• a) Cum se numește acest tip de triunghi? (1p)
• b) Dacă $m(\hat{A})=50°$, aflați $m(\hat{B})$ și $m(\hat{C})$. (3p)
• c) Poate triunghiul $ABC$ să fie și dreptunghic? Justificați pentru ce valoare a unghiului $\hat{A}$. (2p)

Exercițiul 15 (4 puncte)

Stabiliți valoarea de adevăr (A/F) și justificați scurt:

• a) Dacă două unghiuri sunt congruente, atunci ele sunt opuse la vârf.
• b) Diametrul este cea mai lungă coardă a unui cerc.
• c) Dacă două drepte distincte sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă (în plan), atunci ele sunt paralele.
• d) Un triunghi poate avea două unghiuri drepte.

Exercițiul 16 (10 puncte)

În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$ se duce $AD\perp BC$, $D\in (BC)$, și se știe că $m(\widehat{BAC})=40°$.

• a) Aflați $m(\hat{B})$ și $m(\hat{C})$. (2p)
• b) Demonstrați că $△ABD\equiv △ACD$ și precizați cazul de congruență. (4p)
• c) Deduceți că $AD$ este bisectoarea unghiului $\widehat{BAC}$ și aflați $m(\widehat{BAD})$. (2p)
• d) Justificați că $D$ este mijlocul segmentului $BC$. (2p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p pe itemi + 10 p din oficiu = 100 p. La itemii de justificare, jumătate din punctaj se acordă pentru raționament corect chiar dacă rezultatul final are o eroare de calcul minoră.

Exercițiul 1 (5p) — E = 13

$(-3{)}^2=9$; $5\cdot (-2)=-10$, deci $-5\cdot (-2)=+10$; $(-18):3=-6$. $E=9+10-6=13$. (2p ordinea operațiilor + 3p calcul)

Exercițiul 2 (5p) — F = 3/4

Numitor comun $12$: $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$, $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$. $F=\frac{8+10-9}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$. (3p aducere la același numitor + 2p simplificare)

Exercițiul 3 (5p) — Ordine crescătoare:

$$-1<-\frac{3}{4}<-0,2<\frac{1}{2}<\frac{2}{3}.$$ (Reper: $-\frac{3}{4}=-0,75$, $\frac{2}{3}\approx 0,67$. Negativele se ordonează invers față de module.) (5p — corect tot; 2p dacă o singură inversiune)

Exercițiul 4 (5p) — x ∈ {7, −1}

$|x-3|=4\Rightarrow x-3=4$ sau $x-3=-4$, deci $x=7$ sau $x=-1$. (câte 2,5p pe soluție)

Exercițiul 5 (5p) — x = 3

$3x+2x=8+7\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3$. (3p izolarea termenilor + 2p rezultat)

Exercițiul 6 (6p)

• a) Citite în primele 2 zile: $\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{5+8}{20}=\frac{13}{20}$. Rămas: $1-\frac{13}{20}=\frac{7}{20}$. (2p)
• b) $\frac{7}{20}$ din carte $=70$ pagini $\Rightarrow$ $\frac{1}{20}=10$ pagini $\Rightarrow$ total $=200$ de pagini. (2p)
• c) Ziua 1: $\frac{1}{4}\cdot 200=50$ pagini; ziua 2: $\frac{2}{5}\cdot 200=80$ de pagini. (2p)

Exercițiul 7 (5p) — câte ~1,25p pe subpunct

• a) A — orice negativ $<0\le$ orice număr natural.
• b) F — $|-7|=7$, $|5|=5$, iar $7>5$.
• c) A — $-0,75=-\frac{75}{100}=-\frac{3}{4}$.
• d) A — adunând două numere mai mici decât $0$, rezultatul rămâne mai mic decât $0$.

Exercițiul 8 (6p)

• a) $m(\widehat{BOC})=x$, $m(\widehat{AOB})=3x$; suplementare $\Rightarrow 3x+x=180°\Rightarrow x=45°$. Deci $m(\widehat{BOC})=45°$ și $m(\widehat{AOB})=135°$. (4p)
• b) $\widehat{BOC}=45°$ este ascuțit; $\widehat{AOB}=135°$ este obtuz. (2p)

Exercițiul 9 (5p)

• a) $OM$ bisectoare $\Rightarrow m(\widehat{AOM})=\frac{84°}{2}=42°$. (2p)
• b) $\widehat{MON}=\widehat{MOB}+\widehat{BON}=42°+20°=62°$ ($M$ și $N$ de o parte și de alta a lui $OB$). (3p)

Exercițiul 10 (5p) — x = 40

Drepte perpendiculare $\Rightarrow$ unghiul format are $90°$: $2x+10=90\Rightarrow 2x=80\Rightarrow x=40$. (2p ideea $90°$ + 3p calcul)

Exercițiul 11 (7p) — Folosind $a\parallel b$ tăiate de secantă:

• a) Unghi corespondent $=115°$ (corespondentele sunt congruente). (2p)
• b) Unghi altern intern $=115°$ (alternele interne sunt congruente). (2p)
• c) Unghi conjugat intern (intern de aceeași parte) $=180°-115°=65°$ (suplementare). (3p)

Exercițiul 12 (5p)

• a) Diametrul $=2R=12$ cm. (1p)
• b) $OP=6=R\Rightarrow P$ pe cerc; $OQ=4<R\Rightarrow Q$ în interior; $OS=9>R\Rightarrow S$ în exterior. (3p)
• c) Nu — cea mai lungă coardă este diametrul, $12$ cm, iar $13>12$. (1p)

Exercițiul 13 (6p)

• a) Cazul L.U.L. (latură–unghi–latură): $AB=DE$, $\hat{B}\equiv \hat{E}$, $BC=EF$. (3p)
• b) Din congruență: $AC\equiv DF$ (latura a treia), $\hat{A}\equiv \hat{D}$ și $\hat{C}\equiv \hat{F}$. (3p — câte 1p)

Exercițiul 14 (6p)

• a) Triunghi isoscel. (1p)
• b) $m(\hat{B})+m(\hat{C})=180°-50°=130°$, iar $\hat{B}\equiv \hat{C}\Rightarrow m(\hat{B})=m(\hat{C})=65°$. (3p)
• c) Da, dacă $m(\hat{A})=90°$; atunci $\hat{B}=\hat{C}=45°$ (triunghi dreptunghic isoscel). (2p)

Exercițiul 15 (4p) — câte 1p

• a) F — unghiurile opuse la vârf sunt congruente, dar reciproc nu: două unghiuri pot fi congruente fără a fi opuse la vârf.
• b) A — diametrul trece prin centru și este cea mai lungă coardă.
• c) A — în plan, două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.
• d) F — suma unghiurilor ar depăși $180°$ ($90°+90°=180°$, fără al treilea unghi).

Exercițiul 16 (10p)

• a) $m(\hat{B})=m(\hat{C})=\frac{180°-40°}{2}=70°$. (2p)
• b) În $△ABD$ și $△ACD$: $AB=AC$ (ipoteză), $AD$ latură comună, $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90°$ ($AD\perp BC$). Conform cazului I.C. (ipotenuză–catetă) la triunghiuri dreptunghice $\Rightarrow △ABD\equiv △ACD$. (4p) (Se acceptă și justificarea prin C.U. / I.U. cu $\hat{B}\equiv \hat{C}$.)
• c) Din congruență $\Rightarrow \widehat{BAD}\equiv \widehat{CAD}$, deci $AD$ este bisectoarea lui $\widehat{BAC}$; $m(\widehat{BAD})=\frac{40°}{2}=20°$. (2p)
• d) Din aceeași congruență $\Rightarrow BD\equiv DC$, deci $D$ este mijlocul lui $BC$ (iar $AD$ este și mediană/mediatoare). (2p)

Total: 90 puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

• Cum se aplică: copilul lucrează individual, fără calculator și fără ajutor, pe foaie separată. Geometriile se rezolvă cu rigla; figurile marcate cu 🖼️ pot fi schițate de elev după enunț.
• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum citiți rezultatul: 90–100 = foarte bine; 70–89 = bine; 50–69 = satisfăcător; sub 50 = e nevoie de recapitulare. Folosiți baremul de la final pentru a discuta împreună fiecare greșeală — explicația scurtă arată exact unde s-a pierdut punctajul.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Lucrați ordonat și justificați răspunsurile la itemii care cer aceasta.