Test: Trunchiul de con, sfera și probleme aplicative

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Corpuri rotunde: cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera

Exerciții

Partea I – Formule și noțiuni

Exercițiul 1 (5 puncte)

Completează formulele (folosește $R$, $r$, $h$, $G$): a) Aria laterală a conului: $A_l=$ ______ . b) Volumul conului: $V=$ ______ . c) Aria sferei: $A=$ ______ . d) Volumul sferei: $V=$ ______ . e) Volumul trunchiului de con: $V=$ ______ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt (câte 1 p). a) Volumul unei sfere de rază $R$ este $4\pi R^2$. b) Generatoarea unui trunchi de con se calculează cu $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}$. c) Dacă raza unei sfere se dublează, atunci volumul ei se dublează. d) La un con, aria totală este egală cu aria laterală plus aria bazei. e) Aria unei sfere de diametru $d$ este $\pi d^2$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Asociază fiecărui corp desfășurarea suprafeței sale laterale (câte 1 p; ultima afirmație valorează 2 p): a) Cilindrul circular drept → ______ . b) Conul circular drept → ______ . c) Trunchiul de con circular drept → ______ . d) Sfera → ______ .

Variante: (1) un sector de cerc de rază $G$; (2) un dreptunghi cu dimensiunile $2\pi R$ și $h$; (3) nu se poate desfășura în plan (suprafață nedesfășurabilă); (4) o porțiune dintr-o coroană circulară (mărginită de două arce de cerc).

Partea a II-a – Cilindru și con

Exercițiul 4 (6 puncte)

Un rezervor are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei $R=5$ cm și înălțimea $h=12$ cm.

a) Calculează aria laterală. b) Calculează aria totală. c) Calculează volumul.

Exercițiul 5 (6 puncte)

Un con circular drept are raza bazei $R=6$ cm și înălțimea $h=8$ cm.

a) Determină generatoarea $G$. b) Calculează aria laterală și aria totală. c) Calculează volumul.

Partea a III-a – Trunchiul de con

Exercițiul 6 (6 puncte)

Un trunchi de con circular drept are raza bazei mari $R=6$ cm, raza bazei mici $r=3$ cm și înălțimea $h=4$ cm.

a) Calculează generatoarea $G$. b) Calculează aria laterală și aria totală. c) Calculează volumul.

Exercițiul 7 (6 puncte)

O găleată are forma unui trunchi de con fără capac (are doar fundul, nu și gura de sus). Raza gurii (baza mare) este $R=16$ cm, raza fundului (baza mică) este $r=10$ cm, iar înălțimea este $h=8$ cm.

a) Determină generatoarea $G$. b) Calculează aria de tablă necesară confecționării găleții (suprafața laterală plus fundul). c) Calculează capacitatea găleții și exprim-o în litri (folosește $\pi \approx 3,14$).

Exercițiul 8 (6 puncte)

Un con circular drept are raza bazei $R=3$ cm și generatoarea $G=9$ cm. Se desfășoară suprafața laterală a conului.

a) Cât este lungimea arcului sectorului obținut prin desfășurare? b) Determină măsura unghiului la centru al sectorului. c) Calculează aria laterală a conului.

Partea a IV-a – Sfera

Exercițiul 9 (5 puncte)

O sferă are raza $R=6$ cm.

a) Calculează aria sferei. b) Calculează volumul sferei.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Aria unei sfere este $100\pi {\text{cm}}^2$. a) Determină raza sferei. b) Determină diametrul sferei. c) Calculează volumul sferei.

Partea a V-a – Probleme aplicative

Exercițiul 11 (6 puncte)

O bilă sferică de plumb cu raza $R=3$ cm se topește și tot metalul se toarnă într-o formă cilindrică cu raza bazei de $2$ cm. Presupunem că nu se pierde material. a) Calculează volumul bilei. b) Determină înălțimea la care se ridică plumbul topit în forma cilindrică.

Exercițiul 12 (7 puncte)

Un cornet de înghețată are forma unui con cu raza $R=3$ cm, înălțimea $h=4$ cm și generatoarea $G=5$ cm, peste care se așază o emisferă (jumătate de sferă) de aceeași rază $R=3$ cm.

a) Calculează volumul conului. b) Calculează volumul emisferei. c) Calculează volumul total al înghețatei. d) Calculează aria suprafeței exterioare a înghețatei (partea laterală a conului plus suprafața emisferei).

Exercițiul 13 (6 puncte)

Un rezervor cilindric de apă are raza bazei $R=2$ m și înălțimea $h=3$ m. a) Calculează volumul rezervorului (în ${\text{m}}^3$). b) Câți litri de apă încap în rezervor? (Folosește $\pi \approx 3,14$ și $1{\text{m}}^3=1000$ litri.) c) Ce arie totală de tablă (se consideră rezervor închis, cu ambele baze) este necesară? Exprimă rezultatul în funcție de $\pi$.

Exercițiul 14 (6 puncte)

Într-un cilindru este înscrisă o sferă (sfera atinge cele două baze și suprafața laterală a cilindrului). Sfera are raza $R=3$ cm.

a) Determină înălțimea și raza bazei cilindrului. b) Calculează volumul sferei și volumul cilindrului. c) Ce fracție din volumul cilindrului reprezintă volumul sferei?

Exercițiul 15 (5 puncte)

Dintr-un cub cu muchia de $6$ cm se scobește (se scoate) o sferă cât mai mare care încape în interior (sfera înscrisă, tangentă la toate fețele).

a) Determină raza sferei scoase. b) Ce procent din volumul cubului reprezintă volumul sferei? (Folosește $\pi \approx 3,14$.)

Exercițiul 16 (5 puncte)

Un abajur are forma suprafeței laterale a unui trunchi de con (fără baze). Raza cercului mare este $R=20$ cm, raza cercului mic este $r=12$ cm, iar înălțimea este $h=6$ cm. a) Determină generatoarea $G$ și aria de material necesară unui abajur. b) Câte abajururi întregi se pot confecționa dintr-o coală de material cu aria de $1{\text{m}}^2$? (Folosește $\pi \approx 3,14$ și $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$.)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 5 puncte — câte 1 p pentru fiecare formulă. a) $A_l=\pi RG$; b) $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}$; c) $A=4\pi R^2$; d) $V=\frac{4\pi R^3}{3}$; e) $V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$.

Exercițiul 2 · 5 puncte — câte 1 p (valoare + motivare). a) F. $4\pi R^2$ este aria sferei; volumul este $\frac{4\pi R^3}{3}$. b) A. Este chiar formula generatoarei trunchiului (din triunghiul dreptunghic cu catetele $h$ și $R-r$). c) F. Volumul depinde de $R^3$; dacă raza se dublează, volumul se face de $2^3=8$ ori mai mare. d) A. $A_t=A_l+A_{baz\breve{a}}=\pi RG+\pi R^2=\pi R(R+G)$. e) A. $A=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2=4\pi \cdot \frac{d^2}{4}=\pi d^2$.

Exercițiul 3 · 5 puncte a) Cilindrul → (2) dreptunghi cu dimensiunile $2\pi R$ și $h$ (1 p). b) Conul → (1) sector de cerc de rază $G$ (1 p). c) Trunchiul de con → (4) porțiune dintr-o coroană circulară (1 p). d) Sfera → (3) nu se poate desfășura în plan (2 p).

Exercițiul 4 · 6 puncte — Cilindru $R=5$, $h=12$. a) $A_l=2\pi Rh=2\pi \cdot 5\cdot 12=120\pi {\text{cm}}^2$ (2 p). b) $A_t=2\pi R(R+h)=2\pi \cdot 5\cdot (5+12)=2\pi \cdot 5\cdot 17=170\pi {\text{cm}}^2$ (2 p). c) $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 25\cdot 12=300\pi {\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 5 · 6 puncte — Con $R=6$, $h=8$. a) $G=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm (2 p). b) $A_l=\pi RG=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi {\text{cm}}^2$; $A_t=\pi R(R+G)=\pi \cdot 6\cdot 16=96\pi {\text{cm}}^2$ (2 p). c) $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 36\cdot 8}{3}=96\pi {\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 6 · 6 puncte — Trunchi $R=6$, $r=3$, $h=4$. a) $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ cm (2 p). b) $A_l=\pi G(R+r)=\pi \cdot 5\cdot 9=45\pi {\text{cm}}^2$; $A_t=A_l+\pi R^2+\pi r^2=45\pi +36\pi +9\pi =90\pi {\text{cm}}^2$ (2 p). c) $V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)=\frac{\pi \cdot 4}{3}\left(36+18+9\right)=\frac{4\pi }{3}\cdot 63=84\pi {\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 7 · 6 puncte — Găleată $R=16$, $r=10$, $h=8$. a) $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm (2 p). b) Material $=A_l+\text{fundul}=\pi G(R+r)+\pi r^2=\pi \cdot 10\cdot 26+\pi \cdot 100=260\pi +100\pi =360\pi {\text{cm}}^2$ (≈ $1130,4{\text{cm}}^2$) (2 p). c) $V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)=\frac{\pi \cdot 8}{3}\left(256+160+100\right)=\frac{8\pi }{3}\cdot 516=1376\pi {\text{cm}}^3$. Cu $\pi \approx 3,14$: $\approx 4320,64{\text{cm}}^3\approx 4,32$ litri (2 p).

Exercițiul 8 · 6 puncte — Con $R=3$, $G=9$. a) Arcul sectorului = circumferința bazei conului $=2\pi R=2\pi \cdot 3=6\pi$ cm (2 p). b) La un cerc de rază $G=9$, întregul de $360^{\circ }$ are lungimea $2\pi G=18\pi$. Sectorului îi corespunde arcul $6\pi$, deci unghiul este $\frac{6\pi }{18\pi }\cdot 360^{\circ }=\frac{1}{3}\cdot 360^{\circ }=120^{\circ }$ (echivalent: $\frac{R}{G}\cdot 360^{\circ }=\frac{3}{9}\cdot 360^{\circ }$) (2 p). c) $A_l=\pi RG=\pi \cdot 3\cdot 9=27\pi {\text{cm}}^2$ (verificare: $\frac{120}{360}\cdot \pi G^2=\frac{1}{3}\cdot 81\pi =27\pi$) (2 p).

Exercițiul 9 · 5 puncte — Sferă $R=6$. a) $A=4\pi R^2=4\pi \cdot 36=144\pi {\text{cm}}^2$ (2,5 p). b) $V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 216}{3}=288\pi {\text{cm}}^3$ (2,5 p).

Exercițiul 10 · 5 puncte — $A=100\pi$. a) $4\pi R^2=100\pi \Rightarrow R^2=25\Rightarrow R=5$ cm (2 p). b) diametrul $d=2R=10$ cm (1 p). c) $V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 125}{3}=\frac{500\pi }{3}{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 11 · 6 puncte — Conservarea volumului. Bilă $R=3$ → cilindru cu raza $2$. a) $V_{sfer\breve{a}}=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 27}{3}=36\pi {\text{cm}}^3$ (3 p). b) Volumul se păstrează: $\pi \cdot 2^2\cdot h=36\pi \Rightarrow 4\pi h=36\pi \Rightarrow h=9$ cm (3 p).

Exercițiul 12 · 7 puncte — Cornet: con $R=3$, $h=4$, $G=5$ + emisferă $R=3$. a) $V_{con}=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 9\cdot 4}{3}=12\pi {\text{cm}}^3$ (2 p). b) $V_{emisfer\breve{a}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4\pi R^3}{3}=\frac{2\pi R^3}{3}=\frac{2\pi \cdot 27}{3}=18\pi {\text{cm}}^3$ (2 p). c) $V_{total}=12\pi +18\pi =30\pi {\text{cm}}^3$ (1,5 p). d) $A=A_{l,con}+A_{emisfer\breve{a}}=\pi RG+2\pi R^2=\pi \cdot 3\cdot 5+2\pi \cdot 9=15\pi +18\pi =33\pi {\text{cm}}^2$ (1,5 p). (Suprafața emisferei = jumătate din aria sferei $=\frac{1}{2}\cdot 4\pi R^2=2\pi R^2$.)

Exercițiul 13 · 6 puncte — Cilindru $R=2$ m, $h=3$ m. a) $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 4\cdot 3=12\pi {\text{m}}^3$ (2 p). b) $12\pi \approx 12\cdot 3,14=37,68{\text{m}}^3$; cum $1{\text{m}}^3=1000$ litri, rezultă $\approx 37,68\cdot 1000=37680$ litri (2 p). c) $A_t=2\pi R(R+h)=2\pi \cdot 2\cdot (2+3)=2\pi \cdot 2\cdot 5=20\pi {\text{m}}^2$ (2 p).

Exercițiul 14 · 6 puncte — Sferă înscrisă în cilindru, $R=3$. a) Sfera atinge peretele lateral ⇒ raza cilindrului $=R=3$ cm; sfera atinge ambele baze ⇒ înălțimea cilindrului $=2R=6$ cm (2 p). b) $V_{sfer\breve{a}}=\frac{4\pi \cdot 27}{3}=36\pi {\text{cm}}^3$; $V_{cilindru}=\pi \cdot 3^2\cdot 6=54\pi {\text{cm}}^3$ (2 p). c) $\frac{V_{sfer\breve{a}}}{V_{cilindru}}=\frac{36\pi }{54\pi }=\frac{2}{3}$ (rezultatul clasic al lui Arhimede) (2 p).

Exercițiul 15 · 5 puncte — Sferă înscrisă în cub cu muchia $6$. a) Diametrul sferei = muchia cubului ⇒ $2R=6\Rightarrow R=3$ cm (2 p). b) $V_{sfer\breve{a}}=\frac{4\pi \cdot 27}{3}=36\pi {\text{cm}}^3$; $V_{cub}=6^3=216{\text{cm}}^3$. Procent $=\frac{36\pi }{216}\cdot 100=\frac{\pi }{6}\cdot 100\approx \frac{3,14}{6}\cdot 100\approx 52,33\%$ (3 p).

Exercițiul 16 · 5 puncte — Abajur = suprafață laterală de trunchi, $R=20$, $r=12$, $h=6$. a) $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm; $A_l=\pi G(R+r)=\pi \cdot 10\cdot 32=320\pi {\text{cm}}^2\approx 1004,8{\text{cm}}^2$ (3 p). b) $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$; $\frac{10000}{1004,8}\approx 9,95$, deci se pot face 9 abajururi întregi (2 p).

Recomandare: dacă elevul greșește la itemii 6, 7 sau 16 (trunchi de con), reia mai întâi calculul generatoarei — ea este ipotenuza triunghiului dreptunghic cu catetele $h$ și $R-r$ — apoi formulele $A_l=\pi G(R+r)$ și $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$. La problemele aplicative (11–15), reține două idei-cheie: conservarea volumului (când un corp se topește și se toarnă în altul, volumul rămâne același) și transformarea unităților ($1\text{L}=1{\text{dm}}^3=1000{\text{cm}}^3$, $1{\text{m}}^3=1000\text{L}$). Pentru corpuri compuse (item 12), volumul total se adună, dar la suprafață se numără doar fețele expuse.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește ariile și volumele corpurilor rotunde: cilindrul circular drept (arie laterală, arie totală, volum, desfășurare), conul circular drept (generatoare, desfășurare, arie laterală, arie totală, volum), trunchiul de con circular drept (generatoare, arie laterală, arie totală, volum) și sfera (arie și volum). Accentul cade pe probleme aplicative: corpuri compuse, conservarea volumului (topire și returnare) și transformări de unități de măsură (cm³, dm³, litri, m³). Testul este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 60 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion, riglă și calculator (pentru aproximări). Rezultatele pot fi lăsate „în funcție de $\pi$" (formă exactă) sau aproximate cu $\pi \approx 3,14$; baremul arată ambele forme unde este util. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea formulelor și a problemelor din unitate.
• Formule de reținut:
  • Cilindru: $A_l=2\pi Rh$, $A_t=2\pi R(R+h)$, $V=\pi R^{2}h$.
  • Con: $G=\sqrt{R^2+h^2}$, $A_l=\pi RG$, $A_t=\pi R(R+G)$, $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}$.
  • Trunchi de con: $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}$, $A_l=\pi G(R+r)$, $A_t=\pi G(R+r)+\pi R^2+\pi r^2$, $V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$.
  • Sferă: $A=4\pi R^2$, $V=\frac{4\pi R^3}{3}$.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura care însoțește itemul; elevul o poate reface după descriere. Peste tot $R$ este raza bazei mari, $r$ raza bazei mici, $h$ înălțimea, $G$ generatoarea. Reține echivalențele: $1\text{litru}=1{\text{dm}}^3=1000{\text{cm}}^3$ și $1{\text{m}}^3=1000\text{litri}$.