Test: perechi de unghiuri și bisectoarea

Exerciții

Exercițiul 1 (4 puncte)

Completează spațiile libere: a) Două unghiuri se numesc complementare dacă suma măsurilor lor este de ........°. b) Două unghiuri se numesc suplementare dacă suma măsurilor lor este de ........°.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculează măsura: a) complementului unui unghi de 37°; b) suplementului unui unghi de 124°.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Două drepte se intersectează în punctul $O$ , formând patru unghiuri. Unul dintre ele are măsura de 68°.

Determină măsurile celorlalte trei unghiuri și precizează care dintre ele este opus la vârf cu unghiul de 68°.

Exercițiul 4 (6 puncte)

Unghiurile $A O B$ și $B O C$ sunt adiacente, cu $m (A O B) = 53°$ și $m (B O C) = 47°$ .

a) Calculează $m (A O C)$ . b) Cum se numesc, după suma măsurilor lor, unghiurile $A O B$ și $B O C$ ?

Exercițiul 5 (6 puncte)

În jurul punctului $O$ se formează patru unghiuri în jurul punctului, cu măsurile: $90°$ , $115°$ , $x$ și $65°$ .

Determină valoarea lui $x$ .

Exercițiul 6 (6 puncte)

Definește bisectoarea unui unghi. Apoi, dacă $[O M$ este bisectoarea unghiului $A O B$ cu $m (A O B) = 78°$ , calculează $m (A O M)$ .

Exercițiul 7 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează răspunsul: a) Două unghiuri opuse la vârf sunt întotdeauna congruente. b) Două unghiuri suplementare pot fi amândouă obtuze. c) Un unghi de 90° are complement.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Suma a două unghiuri complementare este împărțită astfel: unul dintre unghiuri este de 4 ori mai mare decât celălalt. Determină măsurile celor două unghiuri.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Două unghiuri sunt suplementare. Măsura unuia este cu 30° mai mare decât a celuilalt. Află măsurile celor două unghiuri.

Exercițiul 10 (7 puncte)

Semidreapta $[O C$ este bisectoarea unghiului $A O B$ . Se știe că $m (A O C) = (2 x + 10) °$ și $m (C O B) = (3 x - 5) °$ .

a) Determină valoarea lui $x$ . b) Calculează $m (A O B)$ .

Exercițiul 11 (6 puncte)

Descrie, în pași, construcția bisectoarei unui unghi $A O B$ folosind compasul și rigla negradată.

Exercițiul 12 (7 puncte)

Două drepte se intersectează în $O$ . Unul dintre cele patru unghiuri formate are măsura $(5 x - 20) °$ , iar unghiul adiacent cu el (suplementar) are măsura $(3 x + 40) °$ .

a) Determină $x$ . b) Calculează măsurile tuturor celor patru unghiuri.

Exercițiul 13 (7 puncte)

Unghiurile $A O B$ și $B O C$ sunt adiacente suplementare (deci $A$ , $O$ , $C$ sunt coliniare). $[O M$ este bisectoarea unghiului $A O B$ , iar $[O N$ este bisectoarea unghiului $B O C$ .

Arată că $m (M O N) = 90°$ , indiferent de măsura unghiului $A O B$ .

Exercițiul 14 (7 puncte)

Un ceas analogic arată ora 2:00 fix.

a) Ce măsură are unghiul (cel mai mic) format de cele două ace? b) Care este măsura suplementului acestui unghi? c) Dacă tragem bisectoarea unghiului dintre ace, ce măsură are fiecare dintre cele două unghiuri obținute?

Exercițiul 15 (8 puncte)

Trei semidrepte $[O A$ , $[O B$ , $[O C$ pleacă din punctul $O$ , în aceeași parte a unei drepte, astfel încât $A O B$ și $B O C$ sunt adiacente. Se dau $m (A O B) = 64°$ și $m (B O C) = 50°$ . $[O D$ este bisectoarea unghiului $A O B$ , iar $[O E$ este bisectoarea unghiului $B O C$ .

Calculează $m (D O E)$ .

Exercițiul 16 (8 puncte)

Justifică riguros: dacă două unghiuri sunt congruente și suplementare, atunci fiecare are măsura de 90°. (Pornește de la condiții și ajunge la concluzie prin calcul.)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 puncte (suma punctajelor celor 16 itemi). Nota finală ≈ punctaj ÷ 10.

1. (4p) a) complementare ⇒ suma măsurilor este 90°. (2p) b) suplementare ⇒ suma măsurilor este 180°. (2p)

2. (5p) a) Complementul lui 37° = $90° - 37° =$ 53°. (2,5p) b) Suplementul lui 124° = $180° - 124° =$ 56°. (2,5p)

3. (5p) Cele patru unghiuri formate de două drepte concurente sunt două perechi de unghiuri opuse la vârf.

Unghiul opus la vârf cu cel de 68° are tot 68° (unghiurile opuse la vârf sunt congruente). (2p)
Celelalte două unghiuri sunt suplementare cu cel de 68° (adiacente cu el): $180° - 68° =$ 112° fiecare. (3p) Răspuns: 68°, 112°, 112°; opusul la vârf are 68°.

4. (6p) a) $m (A O C) = 53° + 47° =$ 100° (unghiurile adiacente se adună). (3p) b) Suma este 100° ≠ 90° și ≠ 180°, deci nu sunt nici complementare, nici suplementare; sunt doar unghiuri adiacente. (Acceptă și observația că suma lor nu le încadrează în nicio categorie după sumă.) (3p)

5. (6p) Suma unghiurilor în jurul unui punct este 360°. (2p) $90° + 115° + x + 65° = 360°$ $270° + x = 360°$ → $x =$ 90°. (4p)

6. (6p) Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, situată în interiorul lui, care îl împarte în două unghiuri congruente (egale). (3p) $m (A O M) = 78° : 2 =$ 39°. (3p)

7. (6p) câte 2p, doar cu motivare corectă: a) A — unghiurile opuse la vârf sunt întotdeauna congruente (proprietate). (2p) b) F — dacă amândouă ar fi obtuze (peste 90°), suma ar depăși 180°; or suplementarele au suma exact 180°. Cel mult unul poate fi obtuz. (2p) c) F — complementul lui 90° ar fi $90° - 90° = 0°$ , care nu este unghi propriu; un unghi de 90° nu are complement (unghiul trebuie să fie ascuțit pentru a avea complement). (2p)

8. (6p) Fie unghiurile $a$ și $4 a$ , complementare: $a + 4 a = 90°$ . (2p) $5 a = 90° \to a = 18°$ . (2p) Unghiurile sunt 18° și $4 \cdot 18° =$ 72°. Verificare: $18° + 72° = 90°$ . ✓ (2p)

9. (6p) Fie unghiurile $a$ și $a + 30°$ , suplementare: $a + (a + 30°) = 180°$ . (2p) $2 a + 30° = 180° \to 2 a = 150° \to a = 75°$ . (2p) Unghiurile sunt 75° și 105°. Verificare: $75° + 105° = 180°$ . ✓ (2p)

10. (7p) Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente, deci $m (A O C) = m (C O B)$ : $2 x + 10 = 3 x - 5$ (2p) $10 + 5 = 3 x - 2 x \to x =$ 15. (2p) a) $x = 15$ . b) $m (A O C) = 2 \cdot 15 + 10 = 40°$ ; $m (C O B) = 3 \cdot 15 - 5 = 40°$ . $m (A O B) = 40° + 40° =$ 80°. (3p)

11. (6p) Pași de construcție (oricare formulare echivalentă, corectă):

Cu compasul, cu vârful în $O$ și o deschidere oarecare, trasez un arc care taie laturile unghiului în punctele $P$ (pe $[O A$ ) și $Q$ (pe $[O B$ ). (2p)
Cu aceeași deschidere (sau alta fixă), cu vârful pe rând în $P$ și în $Q$ , trasez două arce care se intersectează în interiorul unghiului, într-un punct $M$ . (2p)
Trasez semidreapta $[O M$ cu rigla; aceasta este bisectoarea unghiului $A O B$ . (2p)

12. (7p) Unghiurile adiacente formate (suplementare) au suma 180°: $(5 x - 20) + (3 x + 40) = 180$ (2p) $8 x + 20 = 180 \to 8 x = 160 \to x =$ 20. (2p) a) $x = 20$ . b) Un unghi: $5 \cdot 20 - 20 = 80°$ ; adiacentul: $3 \cdot 20 + 40 = 100°$ . Cele patru unghiuri: 80°, 100°, 80°, 100° (perechile opuse la vârf sunt egale). Verificare: $80 + 100 = 180$ ✓. (3p)

13. (7p) Notăm $m (A O B) = a$ . Atunci $m (B O C) = 180° - a$ (adiacente suplementare). (1p) $[O M$ bisectoare ⇒ $m (B O M) = \frac{a}{2}$ . (2p) $[O N$ bisectoare ⇒ $m (B O N) = \frac{180° - a}{2} = 90° - \frac{a}{2}$ . (2p) $m (M O N) = m (B O M) + m (B O N) = \frac{a}{2} + 90° - \frac{a}{2} =$ 90°, independent de $a$ . ✓ (2p)

14. (7p) Cadranul are 12 diviziuni, fiecare de $360° : 12 = 30°$ . (1p) a) Între 12 și 2 sunt 2 diviziuni: $2 \cdot 30° =$ 60°. (2p) b) Suplementul: $180° - 60° =$ 120°. (2p) c) Bisectoarea împarte unghiul de 60° în două unghiuri de $60° : 2 =$ 30° fiecare. (2p)

15. (8p) Bisectoarea $[O D$ împarte $A O B$ : $m (D O B) = 64° : 2 = 32°$ . (2p) Bisectoarea $[O E$ împarte $B O C$ : $m (B O E) = 50° : 2 = 25°$ . (2p) $[O B$ este între $[O D$ și $[O E$ , deci: $m (D O E) = m (D O B) + m (B O E) = 32° + 25° =$ 57°. (4p) Observație utilă: $m (D O E) = \frac{m ( A O B ) + m ( B O C )}{2} = \frac{64° + 50°}{2} = \frac{114°}{2} = 57°$ .

16. (8p) Fie unghiurile congruente, de măsură $a$ fiecare (din congruență, au aceeași măsură). (2p) Fiind suplementare: $a + a = 180°$ . (3p) $2 a = 180° \to a = 90°$ . (3p) Deci fiecare unghi are 90° (sunt unghiuri drepte). Concluzia este demonstrată. ✓

Pentru părinți

Acest test verifică temeinic capitolul „Unghiuri: perechi de unghiuri și bisectoarea" din programa de clasa a VI-a: unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, adiacente, complementare, suplementare și bisectoarea unui unghi (inclusiv construcția ei).

Punctaj total: 100 de puncte (suma punctajelor celor 16 itemi; punctajul fiecăruia este trecut în paranteză).
Timp recomandat: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu rigla și raportorul la îndemână pentru itemii de construcție. La itemii de tip „justificare" și „adevărat/fals" se cere obligatoriu motivarea, nu doar răspunsul final.
Notare orientativă: se adună punctele obținute; nota finală ≈ punctaj total ÷ 10.

Răspunsurile complete și explicate se află în secțiunea Barem și răspunsuri, la finalul testului. Recomandăm ca elevul să rezolve întâi tot testul, apoi să verifice.