Exerciții rezolvate — Operații cu numere reale și radicali (clasa a VII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Operații cu numere reale și radicali", clasa a VII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Calculează $\sqrt{45}+\sqrt{20}$.

   • a) $5\sqrt{5}$
   • b) $5\sqrt{65}$
   • c) $\sqrt{65}$
   • d) $25$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $5\sqrt{5}$

   Simplifici: $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ și $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Sunt asemenea, deci aduni coeficienții: $3+2=5$, adică $5\sqrt{5}$.

   Lecția: Adunarea și scăderea numerelor reale →

2. Care sunt soluțiile reale ale ecuației $x^2=64$?

   • a) $x=8$
   • b) $x=8$ sau $x=-8$
   • c) $x=-8$
   • d) nu are soluții reale
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $x=8$ sau $x=-8$

   Cum $64>0$, ecuația are două soluții: $8^2=64$ și $(-8{)}^2=64$, deci $x=8$ sau $x=-8$. Varianta (a) uită soluția negativă.

   Lecția: Ecuația de forma x² = a →

3. Calculează $\sqrt{63}:\sqrt{7}$.

   • a) $3$
   • b) $7$
   • c) $9$
   • d) $21$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $3$

   Aplicăm regula de aur: $\sqrt{63}:\sqrt{7}=\sqrt{63:7}=\sqrt{9}=3$.

   Lecția: Împărțirea numerelor reale cu radicali →

4. Cât este $\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}$?

   • a) $\sqrt{9}$
   • b) $\sqrt{14}$
   • c) $9$
   • d) $2\sqrt{7}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\sqrt{14}$

   Se aplică regula $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{2\cdot 7}=\sqrt{14}$. Numărul $14$ nu are factor pătrat perfect, deci este forma finală.

   Lecția: Înmulțirea radicalilor: regula √a·√b = √(a·b) →

5. Introdu factorul sub radical: $4\sqrt{3}$.

   • a) $\sqrt{12}$
   • b) $\sqrt{48}$
   • c) $\sqrt{24}$
   • d) $\sqrt{7}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\sqrt{48}$

   Ridicăm factorul la pătrat: $4^2=16$, apoi înmulțim cu numărul de sub radical: $16\cdot 3=48$. Deci $4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}$. Greșeala tipică (varianta a) apare dacă înmulțești direct $4\cdot 3$ fără să ridici la pătrat.

   Lecția: Introducerea factorilor sub radical →

6. Calculează media aritmetică ponderată a numerelor $4$ și $9$ cu ponderile $1$ și $3$.

   • a) $6,5$
   • b) $7$
   • c) $7,75$
   • d) $8,25$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $7,75$

   Numărătorul este $1\cdot 4+3\cdot 9=4+27=31$, iar numitorul (suma ponderilor) este $1+3=4$. Media este $\frac{31}{4}=7,75$. Numărul $9$ a avut pondere mai mare, așa că rezultatul e „tras” spre el.

   Lecția: Media aritmetică ponderată și media geometrică →

7. Calculează: $E=4+3\cdot 2^2$.

   • a) $16$
   • b) $28$
   • c) $10$
   • d) $22$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $16$

   Întâi puterea: $2^2=4$. Apoi înmulțirea: $3\cdot 4=12$. La final adunarea: $4+12=16$. Dacă aduni înainte de a înmulți (greșit), obții $28$.

   Lecția: Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale →

8. Cât este $4^{-2}$?

   • a) $16$
   • b) $-16$
   • c) $\frac{1}{16}$
   • d) $8$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\frac{1}{16}$

   Aplic definiția: $4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$. Exponentul negativ dă inversul lui $4^2$, nu un număr negativ.

   Lecția: Puteri cu exponent număr întreg →

9. Care este cel mai simplu factor cu care se amplifică fracția $\frac{5}{3\sqrt{2}}$ pentru a raționaliza numitorul?

   • a) cu $\sqrt{2}$
   • b) cu $3\sqrt{2}$
   • c) cu $3$
   • d) cu $2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) cu $\sqrt{2}$

   Numărul $3$ este deja rațional și nu deranjează; doar radicalul $\sqrt{2}$ trebuie „curățat", deci amplificăm cu $\sqrt{2}$ (cea mai economică variantă, deși și cu $3\sqrt{2}$ s-ar ajunge la același rezultat, cu mai multă muncă).

   Lecția: Raționalizarea numitorului de forma a√b →

10. Adu radicalul $\sqrt{63}$ la cea mai simplă formă.

    • a) $3\sqrt{7}$
    • b) $7\sqrt{3}$
    • c) $9\sqrt{7}$
    • d) $\sqrt{63}$ nu se poate simplifica
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $3\sqrt{7}$

    $63=9\cdot 7$, iar $9$ este pătrat perfect, deci $\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{7}=3\sqrt{7}$.

    Lecția: Scoaterea factorilor de sub radical →

11. Care dintre următoarele perechi de radicali sunt radicali asemenea?

    • a) $\sqrt{18}$ și $\sqrt{2}$
    • b) $\sqrt{3}$ și $\sqrt{5}$
    • c) $2\sqrt{7}$ și $3\sqrt{11}$
    • d) $\sqrt{6}$ și $\sqrt{10}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\sqrt{18}$ și $\sqrt{2}$

    $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$, deci ambii radicali „ascund” $\sqrt{2}$ — sunt asemenea. La celelalte variante, radicanzii simplificați rămân diferiți.

    Lecția: Adunarea și scăderea numerelor reale →

12. Câte soluții reale are ecuația $x^2+12=5$?

    • a) o soluție
    • b) două soluții
    • c) nicio soluție reală
    • d) infinit de multe soluții
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) nicio soluție reală

    Izolăm: $x^2=5-12=-7$. Cum membrul drept este negativ, iar $x^2\ge 0$ pentru orice număr real, ecuația nu are nicio soluție reală.

    Lecția: Ecuația de forma x² = a →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.