Abaterea standard a unui set de date este $$0$$. Ce se poate spune sigur?

toate valorile setului sunt egale

Câte date sunt în intervalul media ± σ?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Abaterea standard

Numeri direct valorile dintre $\overset{x}{ˉ} - σ$ și $\overset{x}{ˉ} + σ$ ; pentru datele în formă de clopot, sunt de obicei cam două treimi. Exemplu: măsurătorile $12$ , $14$ , $15$ , $15$ , $16$ , $16$ , $17$ , $18$ , $18$ , $19$ au media $16$ și suma pătratelor abaterilor $40$ , deci $σ = \frac{40}{10} = 2$ . În intervalul $[14, 18]$ se află $8$ din cele $10$ valori, adică $80%$ .

Abaterea standard măsoară cât de departe stau, de obicei, valorile unui set față de media lor. Se calculează în ordine: media, diferența fiecărei valori față de medie, pătratul fiecărei diferențe, media acestor pătrate și, la final, rădăcina pătrată:

$σ = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n} .$

Control din mers. Diferențele față de medie au mereu suma zero; dacă nu iese zero, media sau o scădere e greșită. Rezultatul nu poate fi negativ, e zero doar când toate valorile coincid și nu trece de cea mai mare abatere, luată în valoare absolută.

Citirea. Abaterea standard are unitatea datelor. În laborator, o serie de măsurători se raportează ca medie plus-minus abatere standard. O singură valoare aflată departe de celelalte poate mări mult rezultatul, fiindcă pătratul amplifică diferențele mari.

Eșantion. Dacă valorile sunt doar o parte dintr-un întreg, abaterea standard calculată pe ele, tot cu împărțire la $n$ , doar aproximează împrăștierea întregului. Foile de calcul au o funcție care împarte la $n$ și alta care împarte la $n - 1$ ; verifici întotdeauna care a fost folosită.

De reținut

$σ = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ , în unitatea datelor
la date în formă de clopot, cam două treimi cad în $[\overset{x}{ˉ} - σ, \overset{x}{ˉ} + σ]$
o valoare depărtată mărește mult abaterea standard

Greșeala tipică

Se extrage radicalul din fiecare pătrat înainte de a face media, adică se face media distanțelor; pentru $12$ , …, $19$ ar ieși $1, 6$ în loc de $σ = 2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Masele unor fructe sunt date în grame. În ce unitate se exprimă abaterea standard a acestor mase?
- a) grame
- b) grame la pătrat
- c) nu are unitate
- d) procente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) grame

Pătratele abaterilor sunt în grame la pătrat, dar radicalul de la final readuce rezultatul în unitatea datelor.
Abaterea standard a setului $4, 7, 10, 11$ este aproximativ:
- a) $7, 5$
- b) $3, 16$
- c) $2, 74$
- d) $2, 50$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2, 74$

Media este $8$ , abaterile $- 4, - 1, 2, 3$ , suma pătratelor $16 + 1 + 4 + 9 = 30$ , deci $σ = \frac{30}{4} = 7, 5 \approx 2, 74$ .
Abaterea standard a unui set de date este $0$ . Ce se poate spune sigur?
- a) media setului este $0$
- b) toate valorile setului sunt egale
- c) toate valorile sunt $0$
- d) setul are o singură valoare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) toate valorile setului sunt egale

Suma pătratelor abaterilor este zero numai dacă fiecare abatere e zero, adică fiecare valoare e egală cu media.

Întrebări conexe

Cum calculez abaterea standard cu formula scurtă?

Folosești $σ^{2} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ , apoi extragi radicalul. Pentru cele $10$ măsurători $12$ , $14$ , $15$ , $15$ , $16$ , $16$ , $17$ , $18$ , $18$ , $19$ , suma pătratelor este $2600$ , media pătratelor $260$ , iar $260 - 1 6^{2} = 4$ , deci $σ = 2$ .

Cum influențează o valoare depărtată abaterea standard?

O mărește mult, pentru că pătratul amplifică abaterile mari. Setul $3$ , $5$ , $7$ are $σ \approx 1, 63$ ; adăugând $30$ , media devine $11, 25$ , iar $σ \approx 10, 92$ . O singură valoare suspectă se verifică înainte de a raporta rezultatul.

Poate abaterea standard să fie mai mare decât amplitudinea?

Nu. Fiecare abatere față de medie este cel mult egală cu amplitudinea, iar abaterea standard nu depășește cea mai mare abatere în valoare absolută. La setul $2$ , $4$ , $9$ , amplitudinea e $7$ , iar $σ \approx 2, 94$ .

Ce abatere standard are un set format din două valori?

Media este mijlocul lor, iar ambele abateri au modulul egal cu jumătatea distanței, deci $σ = \frac{∣ a - b ∣}{2}$ . Pentru $10$ și $16$ , media este $13$ , abaterile $- 3$ și $3$ , iar $σ = \frac{9 + 9}{2} = 3$ .

Cum calculez abaterea standard dintr-un tabel de frecvențe?

Ponderezi cu frecvențele atât media, cât și media pătratelor. Valorile $1$ , $2$ , $3$ cu frecvențele $2$ , $5$ , $3$ au media $\frac{2 + 10 + 9}{10} = 2, 1$ , iar media pătratelor este $\frac{2 + 20 + 27}{10} = 4, 9$ . Rezultă $σ^{2} = 4, 9 - 4, 41 = 0, 49$ și $σ = 0, 7$ .

Oamenii mai întreabă și: intervalul medie plus minus abatere standard · câte valori sunt la o abatere standard de medie · procentul datelor în jurul mediei · abaterea standard și distribuția datelor