Abaterea standard: σ pentru populație, s pentru eșantion: pe scurt

Abaterea standard măsoară cât de departe stau, în medie, valorile unui set față de media lor — folosind, spre deosebire de amplitudine sau $\text{IQR}$, toate datele deodată. Suma abaterilor simple $x_i-\bar{x}$ este mereu $0$, deci nu poate măsura nimic; de aceea le ridicăm la pătrat, facem media pătratelor și, la final, extragem rădăcina pătrată, ca rezultatul să revină la unitatea inițială a datelor.

Există două formule, cu simboluri diferite. Pentru o populație (setul de date este chiar tot grupul studiat) se folosește $\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$. Pentru un eșantion (o submulțime extrasă dintr-o populație mai mare) se folosește $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$. Regula: dacă enunțul nu spune altfel, se lucrează cu $\sigma$, iar situația de „întreagă populație" se precizează explicit; termenul „eșantion" cere $s$.

$\sigma \ge 0$ întotdeauna, se exprimă în unitatea datelor și este $0$ doar când toate valorile sunt egale. Translația (adunarea unei constante) nu schimbă abaterea standard; dilatarea (înmulțirea cu $k$) o multiplică cu $k$. În foaia de calcul, STDEV.P corespunde lui $\sigma$, iar STDEV.S lui $s$.

Exerciții din această mini-lecție

1. De ce se ridică la pătrat abaterile $x_i-\bar{x}$ înainte de a le face media, în loc să se folosească direct media abaterilor?

   • a) Pentru că suma abaterilor simple este întotdeauna $0$, deci media lor nu ar măsura nimic.
   • b) Pentru că pătratele se calculează mai ușor decât diferențele.
   • c) Pentru că mediana o cere.
   • d) Pentru că altfel rezultatul ar fi negativ.
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) Pentru că suma abaterilor simple este întotdeauna $0$, deci media lor nu ar măsura nimic.

   $\sum (x_i-\bar{x})=\sum x_i-n\bar{x}=0$ pentru orice set de date, pentru că abaterile pozitive și cele negative se anulează exact. Ridicarea la pătrat elimină semnele fără să piardă informația despre mărime.

2. Un cercetător măsoară o caracteristică la TOȚI cei $30$ de elevi ai unei clase (populația completă, nu un eșantion). Ce formulă folosește pentru abaterea standard?

   • a) $s$, cu împărțire la $n-1$.
   • b) $\sigma$, cu împărțire la $n$.
   • c) Oricare dintre ele, rezultatul e identic.
   • d) Niciuna — abaterea standard cere obligatoriu un eșantion.
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\sigma$, cu împărțire la $n$.

   Când setul de date este chiar întreaga populație studiată, se folosește $\sigma$, cu împărțire la $n$. Formula cu $n-1$ ($s$) se folosește doar când datele sunt un eșantion dintr-o populație mai mare.

3. Patru pachete de făină, considerate întreaga populație controlată, au greutățile $994,994,1006,1006$ de grame. Cât este abaterea standard $\sigma$?

   • a) $3$ grame
   • b) $12$ grame
   • c) $6$ grame
   • d) $36$ grame
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $6$ grame

   Media este $\bar{x}=1000$ grame. Abaterile sunt $-6,-6,6,6$, cu pătratele $36,36,36,36$, sumă $144$. Atunci $\sigma =\sqrt{\frac{144}{4}}=\sqrt{36}=6$ grame.