Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Matrice: sumă și scalar

Cum arăt că 2A(1) + A(4) = 3A(2)?

Calculezi fiecare matrice separat, înlocuind $x$ , apoi înmulțești și aduni poziție cu poziție. Pentru $A (x) = (3 x + 1 2 x x - 4 6 - x)$ avem $2 A (1) + A (4) = (84 - 6 10) + (13802) = (2112 - 6 12)$ , iar $3 A (2)$ dă aceeași matrice, deci egalitatea este adevărată. Proba rapidă: $\frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 4}{3} = 2$ , adică exact parametrul din dreapta. Numerele din fața lui $A$ înmulțesc matricea, nu valoarea parametrului.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Două matrice se adună sau se scad numai dacă au aceeași dimensiune, iar operația se face poziție cu poziție: $(A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$ . Fiecare poziție are sensul ei, un obiect și o mărime, așa că aduni numai numere care vorbesc despre același lucru. Înmulțirea cu un număr $k$ înlocuiește fiecare element cu $k$ ori el însuși și nu schimbă dimensiunea.

Pentru $k = 0$ rezultă matricea nulă, iar pentru $k = - 1$ matricea opusă. Diferența $A - B$ este $A$ plus opusa lui $B$ , deci ordinea contează: un element negativ arată că $B$ are acolo valoarea mai mare. Adunarea este comutativă și asociativă, iar $k (A + B) = k A + k B$ , de unde un al doilea drum de calcul pentru verificare.

Când elementele depind de un parametru, înlocuiești întâi valoarea lui, apoi înmulțești: $2 A (1)$ este dublul matricei $A (1)$ , nu matricea $A (2)$ . Dacă o egalitate conține o necunoscută, scrii câte o ecuație pe poziție și verifici valoarea găsită pe toate.

Controlezi aducând coloanele la un total înainte și după operație sau refăcând expresia pe celălalt drum. Urmărești și unitatea fiecărei coloane.

De reținut

suma și diferența se fac poziție cu poziție, la aceeași dimensiune
$k A$ înmulțește fiecare element cu $k$
$2 A (1)$ este dublul lui $A (1)$ , nu $A (2)$

Greșeala tipică

Se scrie $2 A (1)$ ca $A (2)$ . Dublul matricei nu este matricea pentru dublul parametrului: întâi calculezi $A (1)$ , apoi îl înmulțești cu 2, element cu element.

Exerciții din această mini-lecție

Prețurile a patru produse dintr-un magazin sunt în matricea $P = (32184570)$ , în lei. Toate prețurile cresc cu $20 %$ . Care expresie dă matricea noilor prețuri?
- a) $P + 0, 2$
- b) $1, 2 P$
- c) $0, 2 P$
- d) $20 P$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1, 2 P$

O creștere cu $20 %$ înseamnă $100 % + 20 % = 120 %$ din prețul vechi, deci fiecare element se înmulțește cu $1, 2$ : de exemplu 32 de lei devin 38,4 lei. Expresia $0, 2 P$ dă doar mărimea creșterii, $P + 0, 2$ adaugă 0,2 lei la fiecare preț, iar $20 P$ înmulțește cu 20.
La un bloc cu două scări se citesc indexurile contoarelor, în kWh, cu scările pe linii și contorul de zi, respectiv de noapte, pe coloane. Luna aceasta indexurile sunt $C = (128415309621107)$ , iar luna trecută $V = (119714629051058)$ . Consumul lunii este matricea $C - V$ . Cât este elementul de pe linia 2 și coloana 1 al matricei $C - V$ , în kWh?
- a) $- 68$
- b) $2992$
- c) $68$
- d) $57$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $68$

Scazi poziție cu poziție, indexul curent minus cel vechi: $1530 - 1462 = 68$ kWh. Răspunsul $- 68$ scade în ordine inversă. Numărul 2992 adună cele două indexuri, iar 57 este elementul de pe poziția $(1, 2)$ , nu cel de pe $(2, 1)$ .
O fabrică de panouri notează producția a două schimburi, $S_{1} = (34412819)$ și $S_{2} = (29383627)$ , cu liniile ateliere și coloanele tipuri de panou, iar rebuturile în $R = (3652)$ . Câte panouri bune dă atelierul 2 la tipul 2 în cele două schimburi, adică elementul de pe linia 2, coloana 2 al matricei $S_{1} + S_{2} - R$ ?
- a) $44$
- b) $48$
- c) $46$
- d) $25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $44$

Pe poziția $(2, 2)$ iei cele trei numere: $19 + 27 - 2 = 44$ . Rezultatul 48 adună și rebuturile, 46 le uită, iar 25 pornește de la $S_{2}$ , deci omite primul schimb.

Întrebări conexe

De ce 2A(1) nu este același lucru cu A(2)?

Expresia $2 A (1)$ este dublul matricei $A (1)$ , adică fiecare element al ei înmulțit cu 2, iar $A (2)$ înseamnă că pui $x = 2$ în formulele elementelor. Pentru $A (x) = (5 x x + 3)$ avem $2 A (1) = (108)$ , dar $A (2) = (105)$ : matricele diferă pe a doua poziție.

Cum aflu scalarul k din 4A − 3I = kB?

Calculezi mai întâi matricea din stânga, apoi cauți numărul care o duce în $B$ . Pentru $A = (710512)$ și $B = (5849)$ rezultă $4 A - 3 I_{2} = (25402045)$ , iar $25 = k \cdot 5$ și $20 = k \cdot 4$ dau $k = 5$ , la fel pe celelalte poziții.

Cum calculez media a două fișe de producție cu matrice?

Aduni cele două matrice poziție cu poziție și înmulțești suma cu $\frac{1}{2}$ . Pentru fișele $(120648590)$ și $(100709584)$ , suma este $(220134180174)$ , iar media este $(110679087)$ . Fiecare element al mediei stă între cele două valori de pe poziția lui.

Când mă ajută regula mijlocului ponderat?

Când fiecare element al lui $A (x)$ are forma $a x + b$ . Atunci o combinație de două valori, cu coeficienții $p$ și $q$ , este egală cu $p + q$ ori matricea calculată la media lor ponderată. Exemplu: $2 A (1) + A (7) = 3 A (3)$ , fiindcă $\frac{2 \cdot 1 + 7}{3} = 3$ . Regula îți arată dinainte matricea pe care trebuie s-o obții.

Ce fac dacă un element al matricei conține x pătrat?

Regula mijlocului nu se mai aplică, fiindcă $x^{2}$ nu este de gradul întâi, dar calculul direct rămâne valabil. Pentru elementul $x^{2} + 1$ , valoarea la $x = 1$ este 2, iar la $x = 3$ este 10; la $x = 2$ avem 5, nu media lor, 6.

Cum apare adunarea matricelor în probele oficiale?

Adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr au apărut în 44 de probe M_tehnologic din 2013–2026. Cerințele cer o egalitate cu matrice numerice, una cu $A (x)$ , un scalar sau doi parametri. Pe foaie scrii matricea obținută, apoi compari pozițiile.

Oamenii mai întreabă și: egalitate cu matricea A(x) pentru valori ale lui x · cum demonstrez o egalitate cu A(1), A(2) și A(4) · suma a două valori ale matricei A(x) · matrice cu parametru x la sumă și produs cu un număr