Adunarea matricelor: loturi, depozite, tehnologic

La o fabrică de paste făinoase, fișa unui schimb este un tabel cu depozitele pe rânduri și sortimentele pe coloane. Fișa zilei întregi se obține punând cele două tabele alături și adunând număr cu număr. Pe acest gest se sprijină adunarea matricelor. Elevii de clasa a XI-a de la filiera tehnologică o învață odată cu înmulțirea unei matrice cu un număr. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), cele două operații apar la Subiectul al II-lea, atât cu matrice numerice, cât și cu matrice care depind de un parametru.

Situația de pornire

O fabrică de paste făinoase livrează zilnic patru sortimente, spaghete, penne, fusilli și cornuri, la trei depozite regionale: Nord, Centru și Sud. Fabrica lucrează în două schimburi, iar la sfârșitul fiecăruia șeful de schimb trece în fișă câte cutii de ambalaj, cu paste de 6 kg, au plecat spre fiecare depozit din loturile lui.

Șeful de producție vrea fișa întregii zile, apoi planul pentru o săptămână de cinci zile identice și, în sfârșit, diferența dintre cele două schimburi, ca să vadă unde schimbul de după-amiază produce mai mult.

Întrebare: câte cutii pleacă într-o zi spre fiecare depozit, câte într-o săptămână de cinci zile identice și cu cât depășește dimineața după-amiaza pe fiecare poziție?

De la situație la model

Fiecare fișă este o matrice, cu depozitele pe linii și sortimentele pe coloane, la fel ca în matrice: tabelul de comenzi. Ce urmează se bazează pe o idee simplă: operațiile cu matrice se fac poziție cu poziție, iar fiecare poziție păstrează înțelesul ei, un depozit și un sortiment.

Când poți aduna două matrice?

Două matrice se adună numai dacă au aceeași dimensiune. Suma lor se obține adunând elementele de pe aceleași poziții: $(A+B{)}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$. Fișa dimineții, cu 3 linii și 4 coloane, nu se poate aduna cu un tabel de 3 linii și 3 coloane, pentru că în al doilea tabel unele poziții nu au corespondent.

Ce face înmulțirea cu un număr?

Produsul dintre numărul $k$ și matricea $A$ se obține înmulțind cu $k$ fiecare element al lui $A$. Pentru $k=0$ rezultă matricea nulă $O$, iar pentru $k=-1$ rezultă matricea opusă $-A$, cu toate elementele schimbate la semn. Diferența $A-B$ este suma dintre $A$ și opusa lui $B$. Dacă un element al diferenței este negativ, atunci în $B$ stă un număr mai mare decât în $A$ pe acea poziție.

Ce proprietăți te scutesc de calcul?

Adunarea este comutativă și asociativă: $A+B=B+A$ și $(A+B)+C=A+(B+C)$. Matricea nulă nu schimbă nimic ($A+O=A$), iar $A+(-A)=O$. Înmulțirea cu un număr se distribuie: $k(A+B)=kA+kB$ și $(k+l)A=kA+lA$. De aceea poți calcula planul săptămânii fie ca $5(D+P)$, fie ca $5D+5P$, și poți verifica un rezultat pe cealaltă cale.

Cum lucrezi cu o matrice care depinde de un parametru?

Într-o matrice $A(x)$, elementele depind de un număr $x$, de pildă sub forma $ax+b$. Atunci $A(2)$ se obține punând $x=2$ în fiecare element, iar $2A(1)$ înseamnă dublul matricei $A(1)$, nu matricea $A(2)$. Când elementele sunt de gradul întâi în $x$, o combinație $pA(x_1)+qA(x_2)$ este egală cu $(p+q)$ înmulțit cu matricea de la mijlocul ponderat al lui $x_1$ și $x_2$, cum arată Fișa de mai jos. Regula e o medie ponderată, ca în media ponderată a notelor și a prețurilor, doar că se aplică unei matrice întregi.

Metoda pas cu pas

1. Compară dimensiunile matricelor pe care vrei să le aduni sau să le scazi. Dacă ele diferă, operația nu se poate face, oricâte numere ar avea tabelele; nu completa în minte poziții lipsă. Un tabel de 3 linii și 4 coloane se adună numai cu altul de 3 linii și 4 coloane.
2. Așază matricele cu aceeași ordine a liniilor și a coloanelor (aceiași depozite, aceleași sortimente) și scrie, dacă e nevoie, ce înseamnă fiecare poziție, ca să nu aduni cutii cu kilograme sau un depozit cu altul fără să știi.
3. Efectuează operațiile pe poziții: aduni sau scazi elementele de pe aceeași poziție, iar la înmulțirea cu un număr îl aplici la fiecare element, nu doar la primul rând. La o diferență, scrie întâi ordinea: $A-B$ nu este $B-A$.
4. Dacă matricea depinde de un parametru $x$, înlocuiește pe rând valorile cerute și calculează fiecare matrice separat, sau scrie fiecare element ca $ax+b$ și lucrează pe coeficienți; atenție: $2A(1)$ și $A(2)$ sunt matrice diferite.
5. Compară rezultatul cu matricea dată sau cere egalitatea poziție cu poziție; pentru necunoscute (un scalar $x$, perechea $x$ și $y$), scrie câte o ecuație pentru fiecare poziție și verifică valoarea pe toate pozițiile, ca la egalitatea matricelor.
6. Verifică: adună totalurile pe coloane ale celor două matrice și compară cu totalul coloanei din rezultat, sau calculează rezultatul pe cealaltă cale, de pildă $5D+5P$ în loc de $5(D+P)$. La o egalitate cu parametru, pune valoarea găsită înapoi și parcurge toate pozițiile; la o conversie, controlează un element desfăcând numărul, de pildă $5,09\cdot 119=5\cdot 119+0,09\cdot 119$.

Fișa de buzunar

$$A+B=(a_{ij}+b_{ij}),kA=(k{a}_{ij}),A-B=A+(-1)B$$

$$k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA$$

$$pA(x_1)+qA(x_2)=(p+q)A\left(\frac{p{x}_1+q{x}_2}{p+q}\right)$$

Condiții: matricele se adună numai dacă au aceeași dimensiune; ultima regulă merge doar când fiecare element al lui $A(x)$ este de forma $ax+b$, iar $p+q\ne 0$. Verificare rapidă: pune în ambele părți ale unei egalități cu $A(x)$ o valoare ușoară a lui $x$ și compară.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Fișa zilei și planul săptămânii

Domeniu: alimentar.

Enunț. Reia fișele $D$ și $P$ din situație. a) Calculează $D+P$, producția întregii zile. b) Calculează $5(D+P)$, planul pentru cinci zile identice. c) Calculează $D-P$ și spune pe ce poziții schimbul de după-amiază produce mai mult.

Rezolvare. Operațiile se fac pe poziții, deci fiecare element al rezultatului păstrează înțelesul unui depozit și al unui sortiment. a) Aduni elementele de pe aceleași poziții: $D+P=\left(\begin{array}{cccc}131& 122& 93& 105\\ 154& 134& 107& 87\\ 93& 145& 121& 165\end{array}\right)$. b) Înmulțești fiecare element cu 5: $5(D+P)=\left(\begin{array}{cccc}655& 610& 465& 525\\ 770& 670& 535& 435\\ 465& 725& 605& 825\end{array}\right)$, adică pe poziția $(1,1)$ pleacă 655 de cutii cu spaghete spre Nord într-o săptămână; numărul 5 nu schimbă dimensiunea matricei. c) $D-P=\left(\begin{array}{cccc}37& 4& 11& -31\\ -12& 58& -17& 29\\ -15& -11& 55& -17\end{array}\right)$. Elementele negative sunt cele șase poziții în care după-amiaza produce mai mult decât dimineața, iar cele pozitive arată unde rămâne în urmă schimbul al doilea.

Capcană. Cine înmulțește cu 5 numai matricea $D$ și apoi adună $P$ obține $5D+P$, cu 467 pe poziția $(1,1)$ în loc de 655: spaghetele de dimineață au fost socotite de cinci ori, cele de după-amiază o singură dată.

Verificare. Pe alt drum, prin totaluri pe coloane. La spaghete, dimineața pleacă $84+71+39=194$ de cutii, după-amiaza $47+83+54=184$, iar în $D+P$ coloana întâi are $131+154+93=378$, adică $194+184$. În $5(D+P)$ aceeași coloană are $655+770+465=1890$, de cinci ori 378.

Exemplul 2 — Media a două luni de colectare

Domeniu: mediu.

Enunț. O primărie colectează separat hârtia, plasticul și sticla din trei cartiere. În septembrie, cantitățile în kilograme au fost $M_9=\left(\begin{array}{ccc}412& 287& 163\\ 355& 249& 198\\ 478& 336& 221\end{array}\right)$, iar în octombrie $M_{10}=\left(\begin{array}{ccc}438& 301& 175\\ 369& 273& 202\\ 466& 348& 233\end{array}\right)$, cu cartierele pe linii. Planul pentru noiembrie este media celor două luni, adică jumătate din $M_9$ plus jumătate din $M_{10}$. Calculează matricea planului.

Rezolvare. Matricea planului este $\frac{1}{2}{M}_9+\frac{1}{2}{M}_{10}=\frac{1}{2}(M_9+M_{10})$. Mai întâi suma: $M_9+M_{10}=\left(\begin{array}{ccc}850& 588& 338\\ 724& 522& 400\\ 944& 684& 454\end{array}\right)$. Apoi jumătatea, element cu element: $\frac{1}{2}(M_9+M_{10})=\left(\begin{array}{ccc}425& 294& 169\\ 362& 261& 200\\ 472& 342& 227\end{array}\right)$. În primul cartier se planifică 425 kg de hârtie, 294 kg de plastic și 169 kg de sticlă. Unitatea rămâne kilogramul, fiindcă ambele matrice sunt în kilograme.

Capcană. Cine înmulțește cu $\frac{1}{2}$ numai matricea din octombrie și o adună la cea din septembrie obține pe poziția $(1,1)$ valoarea $412+219=631$ kg, mai mare decât orice lună. O medie nu poate depăși valorile din care vine.

Verificare. Fiecare element al planului stă între elementul din septembrie și cel din octombrie: de pildă $412\le 425\le 438$ și $163\le 169\le 175$. Suma primei linii a planului, $425+294+169=888$, este media sumelor din cele două luni: $(862+914):2=888$.

Exemplul 3 — Tarife din euro în lei

Domeniu: turism.

Enunț. O agenție de turism primește de la un hotel de pe litoralul grecesc tarifele pe noapte, în euro: $T=\left(\begin{array}{cc}54& 62\\ 76& 87\\ 103& 119\end{array}\right)$, cu camerele pe linii (single, dublă, apartament) și lunile pe coloane (iunie, august). Agenția afișează prețurile în lei, cu cursul de 5,09 lei pentru un euro, rotunjite la leu. a) Scrie matricea $L$ a tarifelor în lei. b) Cât plătește o familie pentru 7 nopți în apartament, în august?

Rezolvare. Fiecare euro devine 5,09 lei, deci fiecare element se înmulțește cu același număr: $L$ este $5,09T$, rotunjit, iar unitatea trece din euro în lei. a) $54\cdot 5,09=274,86\approx 275$, $62\cdot 5,09=315,58\approx 316$, $76\cdot 5,09=386,84\approx 387$, $87\cdot 5,09=442,83\approx 443$, $103\cdot 5,09=524,27\approx 524$ și $119\cdot 5,09=605,71\approx 606$. Rezultă $L=\left(\begin{array}{cc}275& 316\\ 387& 443\\ 524& 606\end{array}\right)$, cu aceeași dimensiune ca $T$. b) Familia plătește $7\cdot 606=4242$ de lei.

Capcană. Cine rotunjește cursul la 5 lei obține pentru apartament, în august, $5\cdot 119=595$ de lei pe noapte, cu 11 lei mai puțin; pe 7 nopți agenția ar pierde 77 de lei. Se rotunjește doar rezultatul, nu cursul.

Verificare. Pe alt drum, desfăcând cursul: $5,09\cdot 119=5\cdot 119+0,09\cdot 119=595+10,71=605,71$, adică 606 lei, ca în $L$. Pentru b), $7\cdot 119=833$ de euro, iar $833\cdot 5,09=4239,97$, aproape 4240 de lei; diferența de 2 lei vine din rotunjirea fiecărei nopți.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: o matrice cu parametru

Domeniu: chimie.

Enunț. Cerința are mai jos forma din probe, cu numere schimbate: „Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}3x-2& x+19\\ 5x& 41-x\end{array}\right)$. Arătați că $3A(2)+2A(7)=5A(4)$.” Ca situație, $A(x)$ ar fi tabelul cantităților a două reactive în două recipiente după $x$ ore de dozare cu ritm constant.

Rezolvare. Fiindcă numerele din fața lui $A$ sunt coeficienți și nu valori ale parametrului, înlocuiești întâi $x$, apoi înmulțești. Calculezi pe rând: $A(2)=\left(\begin{array}{cc}4& 21\\ 10& 39\end{array}\right)$, $A(7)=\left(\begin{array}{cc}19& 26\\ 35& 34\end{array}\right)$ și $A(4)=\left(\begin{array}{cc}10& 23\\ 20& 37\end{array}\right)$. Atunci $3A(2)+2A(7)=\left(\begin{array}{cc}12+38& 63+52\\ 30+70& 117+68\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}50& 115\\ 100& 185\end{array}\right)$, iar $5A(4)=\left(\begin{array}{cc}50& 115\\ 100& 185\end{array}\right)$. Matricele sunt egale pe toate cele patru poziții, deci egalitatea este adevărată. Nu ai nevoie de formule în plus: calculul direct, scris pe foaie, este soluția completă.

Capcană. Cine citește $3A(2)$ ca $A(6)$ ia matricea $A(6)=\left(\begin{array}{cc}16& 25\\ 30& 35\end{array}\right)$ și nu mai ajunge la rezultatul cerut. Numărul din fața lui $A$ înmulțește matricea, nu valoarea parametrului.

Verificare. Cu regula din Fișă: $\frac{3\cdot 2+2\cdot 7}{3+2}=\frac{20}{5}=4$, deci $3A(2)+2A(7)=5A(4)$ pentru orice matrice cu elemente de gradul întâi în $x$. Pe prima linie, $3\cdot 4+2\cdot 19=50$ și $5\cdot 10=50$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Se dau $A=\left(\begin{array}{ccc}37& 52& 18\\ 64& 29& 75\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}41& 26& 83\\ 19& 68& 34\end{array}\right)$. Calculează $A+B$ și $A-B$.

2. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}14& 27\\ 38& 51\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}9& 16\\ 22& 31\end{array}\right)$, calculează $7A$ și $6A-11B$.

3. Se dau matricele $X$, de dimensiune $2\times 3$, $Y$, de dimensiune $3\times 2$, $Z$, de dimensiune $2\times 3$, și $W$, de dimensiune $3\times 3$. Care dintre sumele $X+Y$, $X+Z$, $Y+W$ și $Z+X$ există? Justifică.

4. Determină matricea $X$ pentru care $X+A=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}23& 8\\ 41& 17\\ 6& 52\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}64& 31\\ 47& 49\\ 19& 93\end{array}\right)$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Un parc de aventură are două case de bilete. Biletele vândute în iulie, pe tipuri (adult, copil, familie), sunt $\left(\begin{array}{ccc}187& 94& 41\\ 163& 78& 36\end{array}\right)$, iar în august $\left(\begin{array}{ccc}201& 83& 47\\ 175& 91& 29\end{array}\right)$, cu casele de bilete pe linii. Calculează matricea vânzărilor pe cele două luni și matricea mediei lunare.

6. (Problemă aplicată.) Un depozit de materiale de construcții livrează paleți de BCA, de ciment și de adeziv spre trei șantiere. Paleții livrați în prima săptămână sunt $S=\left(\begin{array}{ccc}28& 46& 62\\ 34& 24& 52\\ 68& 38& 26\end{array}\right)$, cu șantierele pe linii. În a doua săptămână se zidește pe toate șantierele, iar livrările sunt cu 50 % mai mari, pe fiecare poziție. Calculează matricea paleților din a doua săptămână, apoi a celor două săptămâni împreună.

7. (Problemă aplicată.) La inventarul de la sfârșitul lunii, un magazin de materiale electrice are în evidență, pentru doze, prize și întrerupătoare din trei magazii, stocul scriptic $\left(\begin{array}{ccc}92& 48& 61\\ 85& 52& 70\\ 77& 43& 58\end{array}\right)$ bucăți, iar la numărarea pe raft găsește stocul faptic $\left(\begin{array}{ccc}88& 51& 61\\ 90& 49& 64\\ 77& 47& 71\end{array}\right)$. Calculează matricea diferențelor de inventar (faptic minus scriptic) și spune pe câte poziții lipsesc bucăți.

8. (Problemă aplicată.) O cramă cumpără struguri de la trei parcele, din soiurile Fetească albă și Fetească neagră. Kilogramele primite în prima săptămână de cules sunt $\left(\begin{array}{cc}1243& 386\\ 1176& 452\\ 1318& 297\end{array}\right)$, iar în a doua $\left(\begin{array}{cc}1289& 374\\ 1207& 431\\ 1345& 319\end{array}\right)$, cu parcelele pe linii și soiurile pe coloane. Crama plătește 1,85 lei pe kilogram la ambele soiuri. Calculează matricea plăților pe cele două săptămâni, în lei, în două feluri: întâi aduni kilogramele, apoi înmulțești; și întâi înmulțești fiecare săptămână, apoi aduni.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}31& -8\\ 13& 40\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}13& 10\\ 7& 16\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}16& 7\\ 8& 20\end{array}\right)$. Arătați că $A+5B=6C$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}4x+7& x-9\\ 3x& 52-2x\end{array}\right)$. Arătați că $2A(1)+3A(6)=5A(4)$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}39& 54\\ 63& 48\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}17& 24\\ 28& 21\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Determinați numărul real $x$ pentru care $4A-3I_2=xB$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}12& -4\\ 9& 20\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}31& 11\\ 17& 42\end{array}\right)$. Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A+\left(\begin{array}{cc}x+y& 15\\ y& 2x\end{array}\right)=B$.

Răspunsuri și verificări

1. $A+B=\left(\begin{array}{ccc}78& 78& 101\\ 83& 97& 109\end{array}\right)$ și $A-B=\left(\begin{array}{ccc}-4& 26& -65\\ 45& -39& 41\end{array}\right)$. Verificare: $(A+B)+(A-B)=2A$, de pildă $78+(-4)=74=2\cdot 37$.

2. $7A=\left(\begin{array}{cc}98& 189\\ 266& 357\end{array}\right)$ și $6A-11B=\left(\begin{array}{cc}84-99& 162-176\\ 228-242& 306-341\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-15& -14\\ -14& -35\end{array}\right)$. Verificare: $7A$ are pe poziția $(2,2)$ numărul $7\cdot 51=357$.

3. Există $X+Z$ și $Z+X$, amândouă de dimensiune $2\times 3$ și egale între ele. $X+Y$ nu există, fiindcă $2\times 3$ și $3\times 2$ diferă, iar $Y+W$ nu există, fiindcă $3\times 2$ și $3\times 3$ diferă. Verificare: se compară întâi dimensiunile, pasul 1 din Metodă.

4. $X=B-A=\left(\begin{array}{cc}41& 23\\ 6& 32\\ 13& 41\end{array}\right)$. Verificare: $X+A$ are pe poziția $(3,2)$ numărul $41+52=93$, ca în $B$.

5. Vânzările pe cele două luni sunt $\left(\begin{array}{ccc}388& 177& 88\\ 338& 169& 65\end{array}\right)$, iar media lunară $\left(\begin{array}{ccc}194& 88,5& 44\\ 169& 84,5& 32,5\end{array}\right)$ bilete pe lună. Verificare: elementul $88,5$ stă între 94 și 83, iar suma $388+177+88=653$ este suma liniei întâi a lui $\left(\begin{array}{ccc}187& 94& 41\end{array}\right)$ cu cea a lui $\left(\begin{array}{ccc}201& 83& 47\end{array}\right)$, adică $322+331$.

6. A doua săptămână are $1,5S=\left(\begin{array}{ccc}42& 69& 93\\ 51& 36& 78\\ 102& 57& 39\end{array}\right)$ paleți, iar împreună sunt $S+1,5S=2,5S=\left(\begin{array}{ccc}70& 115& 155\\ 85& 60& 130\\ 170& 95& 65\end{array}\right)$ paleți. Verificare: 50 % din 28 de paleți înseamnă 14, iar $28+14=42$; pe total, $2,5\cdot 28=70$ și $28+42=70$.

7. Diferențele sunt $\left(\begin{array}{ccc}-4& 3& 0\\ 5& -3& -6\\ 0& 4& 13\end{array}\right)$ bucăți. Lipsesc bucăți pe 3 poziții, cele cu număr negativ. Verificare: $92-4=88$ și $58+13=71$.

8. Plățile sunt $\left(\begin{array}{cc}4684,2& 1406\\ 4408,55& 1633,55\\ 4926,55& 1139,6\end{array}\right)$ lei. Întâi suma, apoi $1,85\cdot$ suma: pe poziția $(1,1)$, $1,85\cdot (1243+1289)=1,85\cdot 2532=4684,2$ lei. Întâi plățile săptămânilor, apoi suma: $1,85\cdot 1243+1,85\cdot 1289=2299,55+2384,65=4684,2$ lei. Verificare: cele două drumuri dau același rezultat pe toate cele șase poziții, ca distributivitatea.

9. Calculezi $5B=\left(\begin{array}{cc}65& 50\\ 35& 80\end{array}\right)$. Atunci $A+5B=\left(\begin{array}{cc}96& 42\\ 48& 120\end{array}\right)$. Iar $6C=\left(\begin{array}{cc}96& 42\\ 48& 120\end{array}\right)$, deci $A+5B=6C$. Verificare: pe poziția $(2,2)$, $40+80=120=6\cdot 20$.

10. $A(1)=\left(\begin{array}{cc}11& -8\\ 3& 50\end{array}\right)$, $A(6)=\left(\begin{array}{cc}31& -3\\ 18& 40\end{array}\right)$ și $A(4)=\left(\begin{array}{cc}23& -5\\ 12& 44\end{array}\right)$. $2A(1)+3A(6)=\left(\begin{array}{cc}22+93& -16-9\\ 6+54& 100+120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}115& -25\\ 60& 220\end{array}\right)$ și $5A(4)=\left(\begin{array}{cc}115& -25\\ 60& 220\end{array}\right)$. Egalitatea este adevărată. Verificare: $\frac{2\cdot 1+3\cdot 6}{2+3}=4$, deci rezultatul trebuie să fie $5A(4)$.

11. $4A=\left(\begin{array}{cc}156& 216\\ 252& 192\end{array}\right)$, iar $3I_2$ are 3 pe diagonala principală și 0 în rest. Atunci $4A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}153& 216\\ 252& 189\end{array}\right)=9B$. Deci $x=9$. Verificare: $9\cdot 24=216$, $9\cdot 28=252$ și $9\cdot 21=189$.

12. Din $A+M=B$ rezultă $M=B-A=\left(\begin{array}{cc}19& 15\\ 8& 22\end{array}\right)$. Egalezi pozițiile: $x+y=19$, $y=8$ și $2x=22$. Din a doua $y=8$, apoi $x=11$, iar a treia dă tot $x=11$. Verificare: $11+8=19$ și $2\cdot 11=22$.

Așa vine la Bac M3

Adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr apar în probele oficiale 2013–2026 la Subiectul al II-lea, problema 1, în 44 din cele 83 de probe. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele pe care le întâlnești:

• Iunie 2022, Subiectul al II-lea, exercițiul 1b: se dau trei matrice numerice de ordinul 2 și se cere să arăți că suma dintre prima matrice și dublul celei de-a doua este triplul celei de-a treia; baremul probei dă 3 puncte pentru calculul sumei (pașii 2 și 3 din Metodă) și 2 puncte pentru recunoașterea triplului (pasul 5).
• Iunie 2026, Subiectul al II-lea, exercițiul 1b: matricea depinde de un parametru, $A(x)$, cu elemente de gradul întâi, și se cere $2A(1)+A(4)=3A(2)$; baremul probei dă 3 puncte pentru valorile lui $A(1)$ și ale sumei (pasul 4) și 2 puncte pentru egalitatea cu $3A(2)$.
• Iunie 2025, Subiectul al II-lea, exercițiul 1b: se cere numărul real $x$ pentru care $3A-5I_2=xB$; baremul probei dă 3 puncte pentru matricea $3A-5I_2$ (pasul 3) și 2 puncte pentru scalarul $x$ (pasul 5).
• Iunie 2014, rezervă, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: se cer numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A+M=I_2$, unde $M$ are pe prima linie $x$ și $y$, iar pe a doua $y$ și $-3$; baremul probei dă 3 puncte pentru suma scrisă element cu element (pasul 3) și 2 puncte pentru ecuațiile pe poziții (pasul 5).

Exercițiile 9–12 exersează aceleași patru tipuri. Dacă ai nevoie de produsul a două matrice, vezi produsul de matrice; celelalte lecții ale clasei sunt în traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Aduni două matrice de dimensiuni diferite, completând în minte poziții lipsă → cum o prinzi: scrii dimensiunile una lângă alta; dacă $3\times 4$ și $3\times 3$ diferă, suma nu există.
• Înmulțești cu numărul doar un rând sau un element → cum o prinzi: verifici elementul din colț; la $5(D+P)$, pe poziția $(1,1)$ trebuie să obții $5\cdot 131=655$.
• Scazi în ordine inversă și schimbi toate semnele → cum o prinzi: scrii $A-B$ ca $A+(-1)B$ și controlezi un element: unde dimineața produce mai mult, diferența $D-P$ iese pozitivă.
• Confunzi $2A(1)$ cu $A(2)$ → cum o prinzi: calculezi $A(1)$, apoi dublezi matricea; la $A(x)$ cu $12x-7$ pe prima poziție, $2A(1)$ are $2\cdot 5=10$, iar $A(2)$ are $17$.
• Rotunjești cursul înainte de înmulțire → cum o prinzi: înmulțești cu cursul întreg, 5,09, și rotunjești doar rezultatul; apartamentul din august costă 606 lei pe noapte, nu $5\cdot 119=595$.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul cu matrice prin adunare și înmulțire cu un număr se cere la Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 44 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Cum calculez planul pe șase zile, dacă sâmbăta se lucrează numai dimineața?

Cinci zile pline dau $5(D+P)$, iar sâmbăta adaugă numai fișa dimineții, $D$. Planul este $5(D+P)+D=6D+5P$, după ce aduni termenii cu $D$. Pe poziția $(1,1)$ rezultă $6\cdot 84+5\cdot 47=739$ de cutii cu spaghete spre Nord, cu 84 mai mult decât în săptămâna de cinci zile.

Ce înseamnă numărul −31 din prima linie a lui $D-P$?

Este diferența de pe poziția $(1,4)$: $37-68=-31$. Spre depozitul Nord, la cornuri, după-amiaza a trimis cu 31 de cutii mai mult decât dimineața. Un număr negativ într-o diferență nu e o greșeală, ci arată care dintre cele două matrice are valoarea mai mare pe acea poziție.

Pot calcula media a două luni fără să adun întâi matricele?

Da, scrii $\frac{1}{2}{M}_9+\frac{1}{2}{M}_{10}$, adică jumătatea fiecărei matrice, apoi aduni. Rezultatul e același cu $\frac{1}{2}(M_9+M_{10})$, fiindcă înmulțirea cu un număr se distribuie față de adunare. La planul pentru noiembrie, pe poziția $(1,1)$, ambele căi dau 425 kg de hârtie.

Câte kilograme de paste pleacă într-o zi spre depozitul Nord?

O cutie are 6 kg, deci matricea kilogramelor este $6(D+P)$. Pe linia Nord, $D+P$ are 131, 122, 93 și 105 cutii, adică 451 de cutii, iar $6\cdot 451=2706$ kg. Înmulțirea cu 6 schimbă unitatea, din cutii în kilograme, dar nu și dimensiunea matricei.

Cum recunosc la Bacalaureatul M3 cerințele cu sume de matrice $A(x)$?

Au forma „Arătați că $2A(1)+A(4)=3A(2)$”: valori ale aceleiași matrice, înmulțite cu numere și adunate. Pe foaie calculezi fiecare matrice, apoi compari. Regula din Fișă îți arată dinainte rezultatul, dar numai când elementele lui $A(x)$ sunt de gradul întâi; la simularea din 2024 matricea conține $2^x$, iar regula nu se mai aplică.

Ce fac dacă schimbul de după-amiază își scrie fișa în kilograme, nu în cutii?

Aduci fișa în cutii înainte de adunare: o înmulțești cu $\frac{1}{6}$, fiindcă o cutie are 6 kg. De pildă, 282 kg de spaghete spre Nord înseamnă $282:6=47$ de cutii, numărul din fișa $P$. Abia apoi aduni poziție cu poziție; altfel ai aduna cutii cu kilograme, deși dimensiunile se potrivesc.