Într-o piramidă regulată, care dintre următoarele afirmații este corectă?

Apotema piramidei este întotdeauna egală cu înălțimea piramidei

$$A_l = P_b \cdot a_p$$ (fără împărțire la 2)

Cum aflu aria laterală a piramidei?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Aria piramidei regulate

Înmulțești perimetrul bazei cu apotema piramidei și împarți la doi. Apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale, coborâtă din vârful corpului pe mijlocul laturii de dedesubt, deci nu se confundă cu înălțimea piramidei. Pentru o piramidă patrulateră cu latura $6$ cm și apotema $5$ cm ai $P_{b} = 24$ cm, deci $A_{l} = 60$ cm². Aria totală adaugă o singură bază.

Piramida regulată are o singură bază și fețe laterale triunghiulare identice. Aria laterală se calculează simplu: $A_{l} = \frac{P _{b} \cdot a _{p}}{2}$ , unde $P_{b}$ este perimetrul bazei, iar $a_{p}$ este apotema piramidei — înălțimea unei fețe laterale, de la vârf la mijlocul unei laturi a bazei. Nu o confunda cu înălțimea piramidei $h$ (de la vârf la centrul bazei) sau cu apotema bazei $a_{b}$ (de la centru la mijlocul unei laturi)! Cele trei formează un triunghi dreptunghic: $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ , cu $a_{p}$ mereu cea mai mare, fiindcă e ipotenuza. Aria totală adună o singură bază: $A_{t} = A_{l} + A_{b}$ (nu două, ca la prismă).

Exemplu. Pentru o piramidă patrulateră cu $l = 6$ cm și $a_{p} = 5$ cm: $P_{b} = 4 \cdot 6 = 24$ cm, deci $A_{l} = \frac{24 \cdot 5}{2} = 60$ cm²; cu $A_{b} = 6^{2} = 36$ cm² obținem $A_{t} = 60 + 36 = 96$ cm².

De reținut

$A_{l} = \frac{P _{b} \cdot a _{p}}{2}$
$A_{t} = A_{l} + A_{b}$ , cu o singură bază adăugată
$a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$

Greșeala tipică

Se folosește înălțimea piramidei în locul apotemei, iar aria laterală iese prea mică. Apotema este înălțimea unei fețe, măsurată pe suprafața laterală, nu prin interiorul corpului.

Exerciții din această mini-lecție

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $l = 7$ cm și apotema piramidei $a_{p} = 6$ cm. Care este aria laterală?
- a) $84 cm^{2}$
- b) $42 cm^{2}$
- c) $168 cm^{2}$
- d) $56 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $84 cm^{2}$

Baza fiind pătrat, $P_{b} = 4 l = 4 \cdot 7 = 28$ cm. Aria laterală: $A_{l} = \frac{P _{b} \cdot a _{p}}{2} = \frac{28 \cdot 6}{2} = 84 cm^{2}$ .
Într-o piramidă regulată, care dintre următoarele afirmații este corectă?
- a) $A_{t} = A_{l} + 2 A_{b}$
- b) $A_{t} = A_{l} + A_{b}$
- c) Apotema piramidei este întotdeauna egală cu înălțimea piramidei
- d) $A_{l} = P_{b} \cdot a_{p}$ (fără împărțire la 2)
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A_{t} = A_{l} + A_{b}$

Piramida are o singură bază, deci aria totală este $A_{t} = A_{l} + A_{b}$ . Celelalte afirmații sunt greșite: la prismă se adună două baze, apotema piramidei este mereu mai mare decât înălțimea (fiind ipotenuza în triunghiul $V O M$ ), iar aria laterală se împarte la 2 fiindcă fețele sunt triunghiuri.
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $l = 9$ cm și apotema piramidei $a_{p} = 8$ cm. Care este aria totală?
- a) $225 cm^{2}$
- b) $144 cm^{2}$
- c) $305 cm^{2}$
- d) $215 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $225 cm^{2}$

Baza fiind pătrat, $P_{b} = 4 l = 4 \cdot 9 = 36$ cm. Aria laterală: $A_{l} = \frac{P _{b} \cdot a _{p}}{2} = \frac{36 \cdot 8}{2} = 144 cm^{2}$ . Aria bazei: $A_{b} = 9^{2} = 81 cm^{2}$ . Aria totală: $A_{t} = A_{l} + A_{b} = 144 + 81 = 225 cm^{2}$ .

Întrebări conexe

Ce triunghi dreptunghic leagă înălțimea de apotemă?

Cel format din înălțimea piramidei, apotema bazei și apotema piramidei. Primele două sunt catete, iar a treia este ipotenuza, deci $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ . Apotema piramidei iese astfel mereu mai lungă decât înălțimea corpului.

Cât este aria bazei la o piramidă hexagonală regulată?

Hexagonul regulat se taie în șase triunghiuri echilaterale cu latura egală cu a lui. Aria lui este așadar $\frac{3 l ^{2} 3}{2}$ . Pentru $l = 4$ cm obții $243$ cm², adică vreo $41, 6$ cm². Perimetrul bazei rămâne $6 l$ , folositor la aria laterală.

Cum aflu apotema bazei la un pătrat cu latura dată?

La un pătrat, apotema bazei este jumătate din latură, fiindcă distanța de la centru la mijlocul unei laturi înseamnă exact atât. Pentru o latură de $10$ cm apotema are $5$ cm. La triunghiul echilateral formula devine $\frac{l 3}{6}$ , iar la hexagon $\frac{l 3}{2}$ .

Cum verific că apotema piramidei a ieșit corect?

Compari cele trei mărimi: apotema piramidei trebuie să fie mai mare și decât înălțimea, și decât apotema bazei. Dacă îți iese mai mică decât una dintre ele, ai încurcat cateta cu ipotenuza. Verificarea numerică se face punând valorile în $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ .

Ce se schimbă la formule dacă piramida nu este regulată?

Formula scurtă nu mai merge, fiindcă fețele laterale au înălțimi diferite. Trebuie să calculezi aria fiecărei fețe separat și apoi să le aduni. Doar la piramida regulată toate fețele sunt triunghiuri congruente, ceea ce face posibilă formula cu perimetrul și apotema.

Cum apare aria piramidei într-o problemă cu acoperiș?

Un acoperiș în patru ape are chiar forma unei piramide, iar țigla acoperă doar suprafața laterală. Deci calculezi $A_{l}$ , nu aria totală, fiindcă baza este tavanul și nu se acoperă. Înmulțind rezultatul cu numărul de țigle pe metru pătrat afli câte îți trebuie.

Oamenii mai întreabă și: aria laterală a piramidei · aria piramidei patrulatere regulate · apotema piramidei · aria totală a piramidei regulate · formula ariei laterale la piramidă