O plăcuță triunghiulară de tablă, dintr-un atelier, are laturile de 24 cm și de 31 cm, iar între ele unghiul de $$38^\circ$$. Care expresie dă aria plăcuței, în cm$$^2$$?

$$\dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 31 \cdot \sin 38^\circ$$

$$\dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 31$$

$$\dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 31 \cdot \cos 38^\circ$$

$$24 \cdot 31 \cdot \sin 38^\circ$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Aria unui teren cu colțuri

Câte hectare are un teren cu cinci colțuri?

Tai terenul în triunghiuri prin diagonale din același colț, calculezi aria fiecăruia și aduni. Un teren cu 4210 m $^{2}$ pe un triunghi, 3875 m $^{2}$ pe al doilea și 2615 m $^{2}$ pe al treilea are $4210 + 3875 + 2615 = 10700$ m $^{2}$ . Împarți la 10 000 și obții 1,07 ha. Proba: un hectar înseamnă un pătrat cu latura de 100 m, deci 1,07 ha depășește puțin acest pătrat.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Aria unui teren cu mai multe colțuri se află împărțindu-l în triunghiuri cu diagonale care pornesc din același colț și rămân în interiorul lui; apoi aduni ariile triunghiurilor. Fiecare triunghi își alege formula după datele măsurate: cu un unghi drept, jumătate din produsul catetelor; cu o bază și înălțimea ei, $S = \frac{1}{2} bh$ .

Cu două laturi și unghiul dintre ele folosești $S = \frac{1}{2} ab sin C$ , unde $C$ este vârful comun al celor două laturi. Înălțimea nu se măsoară, ci se calculează: $h = a sin C$ . La un unghi obtuz sinusul este cel al suplementului, deci formula nu se schimbă. Cu trei laturi afli întâi un unghi din teorema cosinusului, apoi aplici aceeași formulă.

Suprafața din metri pătrați se trece în unitățile agricole: un ar are 100 m², iar un hectar are 10 000 m². Împarți la 100 pentru ari și la 10 000 pentru hectare, apoi folosești rezultatul la sămânță, la costuri sau la materiale. Capcanele frecvente sunt unghiul luat din alt vârf, jumătatea uitată și virgula mutată greșit la conversie.

Estimarea te apără de greșeli: la laturi de ordinul zecilor de metri ieșirea normală este de zeci de ari, sub un hectar. Aria unei piese decupate dintr-o placă rămâne sub aria plăcii, iar aria cu sinus rămâne sub $\frac{1}{2} ab$ , cu egalitate numai la unghi drept.

De reținut

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ , cu $C$ între laturile $a$ și $b$
1 ar = 100 m², 1 ha = 10 000 m²
aria terenului este suma ariilor triunghiurilor

Greșeala tipică

Se împarte aria din metri pătrați la 1000 în loc de 100 când se cer arii: 3180 m $^{2}$ ar deveni 3,18 ari. Corect, un ar are 100 m $^{2}$ , deci 3180 m $^{2}$ înseamnă 31,8 ari, iar un hectar are 10 000 m $^{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

O plăcuță triunghiulară de tablă, dintr-un atelier, are laturile de 24 cm și de 31 cm, iar între ele unghiul de $3 8^{\circ}$ . Care expresie dă aria plăcuței, în cm $^{2}$ ?
- a) $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 31$
- b) $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 31 \cdot cos 3 8^{\circ}$
- c) $24 \cdot 31 \cdot sin 3 8^{\circ}$
- d) $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 31 \cdot sin 3 8^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 31 \cdot sin 3 8^{\circ}$

Cele două laturi cuprind unghiul de $3 8^{\circ}$ , deci $S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 31 \cdot sin 3 8^{\circ} \approx 229$ cm $^{2}$ , varianta d. Varianta a, 372, este valabilă numai la unghi drept, fiindcă nu are sinusul. Varianta b folosește cosinusul și dă 293. Varianta c uită jumătatea și dă 458, dublul ariei.
Un lot de depozit exterior are suprafața de 4625 m $^{2}$ . Câți ari are lotul?
- a) 462,5 ari
- b) 46,25 ari
- c) 4,625 ari
- d) 0,4625 ari
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 46,25 ari

Un ar are 100 m $^{2}$ , deci împarți la 100: $4625 : 100 = 46, 25$ ari. Varianta 462,5 împarte la 10, varianta 4,625 împarte la 1000, iar 0,4625 împarte la 10 000, adică ar fi hectarele, nu arii.
Un țarc de oi are forma unui triunghi cu laturile de 40 m și de 30 m, iar între ele unghiul de $15 0^{\circ}$ . Ce arie are țarcul?
- a) 300 m $^{2}$
- b) 600 m $^{2}$
- c) 519,6 m $^{2}$
- d) 1039,2 m $^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 300 m $^{2}$

$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , deci $S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 \cdot \frac{1}{2} = 300$ m $^{2}$ . Varianta 600 uită jumătatea din față. Varianta 519,6 înlocuiește sinusul cu $cos 3 0^{\circ}$ , iar 1039,2 face aceeași înlocuire și uită și jumătatea.

Întrebări conexe

Cum aflu aria unui patrulater dintr-o diagonală și două înălțimi?

Diagonala împarte patrulaterul în două triunghiuri care o au drept bază comună. Aria este $\frac{1}{2} d (h_{1} + h_{2})$ . Pentru diagonala de 64 m și înălțimile de 25 m și 15 m, $\frac{1}{2} \cdot 64 \cdot (25 + 15) = 1280$ m $^{2}$ , adică 12,8 ari.

Cât se schimbă aria dacă unghiul citit e greșit cu un grad?

Se schimbă puțin, dar nu zero. La laturile de 58 m și 47 m, unghiul de $6 4^{\circ}$ dă $\frac{1}{2} \cdot 58 \cdot 47 \cdot sin 6 4^{\circ} \approx 1225, 1$ m $^{2}$ , iar cel de $6 5^{\circ}$ dă $1235, 3$ m $^{2}$ , adică cu 10,2 m $^{2}$ mai mult.

De ce aria cu sinus nu depășește jumătate din produsul laturilor?

Pentru că sinusul unui unghi nu trece de 1, iar valoarea 1 se atinge la unghiul drept. Pentru laturile de 30 m și 44 m, jumătatea produsului este 660 m $^{2}$ , aria maximă; la $3 5^{\circ}$ aria este $660 \cdot sin 3 5^{\circ} \approx 378, 6$ m $^{2}$ .

Pot afla aria dacă am o latură și două unghiuri?

Da: afli a doua latură cu teorema sinusurilor, apoi aplici formula cu sinus. Cu baza de 40 m între unghiurile de $5 0^{\circ}$ și $6 0^{\circ}$ , al treilea unghi are $7 0^{\circ}$ , iar latura din fața lui $6 0^{\circ}$ este $\frac{40 \cdot sin 6 0 ^{\circ}}{sin 7 0 ^{\circ}} \approx 36, 86$ m. Atunci $S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 36, 86 \cdot sin 5 0^{\circ} \approx 564, 7$ m $^{2}$ .

Cum a apărut aria triunghiului în probele oficiale?

Aria unui triunghi a apărut în 16 probe M_tehnologic din 2013–2026. Triunghiul poate fi dreptunghic, cu catetele date direct sau aflate cu Pitagora ori cu un raport trigonometric. Aria se scrie atunci ca jumătate din produsul catetelor, de exemplu $\frac{9 \cdot 12}{2} = 54$ pentru catetele 9 și 12.

Oamenii mai întreabă și: suprafața unui teren cu cinci colțuri în hectare · aria terenului cu diagonale din același colț · cum trec aria unui teren neregulat în hectare · hectarele unui teren măsurat pe laturi și unghiuri