Aria unui teren poligonal, liceu tehnologic

Aria unui teren cu cinci colțuri se află tăindu-l în triunghiuri: pentru fiecare alegi formula după ce s-a putut măsura, apoi aduni ariile și treci rezultatul în hectare. O folosesc elevii din clasa a X-a, la filiera tehnologică. Aria unui triunghi a fost cerută la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 16 dintre cele 83 de probe 2013–2026.

Situația de pornire

Ion are lângă sat un teren cu cinci colțuri, ABCDE, pe care vrea să semene grâu de toamnă. În colțul B terenul se sprijină pe zidurile unei clădiri vechi, în unghi drept. Topograful chemat de Ion a împărțit terenul în trei triunghiuri, prin diagonalele AC și AD duse din colțul A, și a măsurat ce i-a trebuit: distanțele cu o ruletă de 100 m, iar unghiul din C cu teodolitul.

Întrebare: ce suprafață are terenul, în metri pătrați și în hectare, și câtă sămânță îi trebuie, la 200 kg pe hectar (valoare din exemplu)?

De la situație la model

Fiecare triunghi al terenului are alte date măsurate, deci își cere altă formulă. Tabelul le traduce.

Descompunerea unui poligon este tăierea lui în triunghiuri prin diagonale duse din același vârf. Aria poligonului este suma ariilor triunghiurilor, cu condiția ca diagonalele să stea în interiorul poligonului, altfel triunghiurile ies din teren sau se suprapun.

Ce formulă folosești pentru un triunghi?

Aria unui triunghi este jumătate din produsul unei laturi cu înălțimea dusă pe ea. Dacă triunghiul are un unghi drept, înălțimea este chiar o catetă. Dacă ai două laturi și unghiul dintre ele, înălțimea nu se măsoară, ci se calculează cu sinusul. Dacă ai trei laturi, afli întâi un unghi cu teorema cosinusului, ca în lecția despre alegerea teoremei, și apoi aplici formula cu sinus.

De ce apare sinusul?

Într-un triunghi cu laturile $a$ și $b$ și unghiul $C$ dintre ele, înălțimea dusă pe latura $b$ are lungimea $a\cdot \sin C$, fiindcă formează cu latura $a$ un triunghi dreptunghic în care $a$ este ipotenuza. Înlocuiești în jumătatea produsului bază înălțime și obții $\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin C$. La un unghi obtuz, înălțimea cade în afara triunghiului, iar în triunghiul dreptunghic apare $180^{\circ }-C$, care are același sinus, deci formula rămâne aceeași. La un unghi drept, $\sin C=1$ și formula devine jumătatea produsului catetelor.

Ce se întâmplă cu un colț intrat?

La un teren cu un colț mai mare de 180°, o diagonală dusă din alt colț poate trece prin afara terenului. Atunci alegi alt vârf, din care toate diagonalele cad înăuntru, sau completezi terenul până la un poligon mai simplu și scazi partea în plus, ca la o placă cu un colț tăiat.

Cum treci din metri pătrați în hectare?

Un hectar este un pătrat de 100 m pe 100 m, adică 10 000 m². Un ar este un pătrat de 10 m pe 10 m, adică 100 m². Din metri pătrați treci în hectare împărțind la 10 000 și în ari împărțind la 100.

Metoda pas cu pas

1. Desenează poligonul, numerotează colțurile și alege un colț din care toate diagonalele cad în interiorul terenului. Taie poligonul în triunghiuri și scrie pe desen ce ai măsurat în fiecare.
2. Pentru fiecare triunghi, recunoaște datele: un unghi drept, o bază cu înălțimea ei, două laturi cu unghiul dintre ele sau trei laturi.
3. Alege formula din tabelul de mai jos. Dacă ai trei laturi, afli întâi un unghi cu cosinusul. La ipotenuză și un unghi ascuțit afli catetele cu sinusul și cosinusul, iar la ipotenuză și o catetă afli cealaltă catetă cu Pitagora. Dacă aria este dată și cauți o latură, scrii aria cu formula potrivită, având latura ca necunoscută, și rezolvi ecuația.
4. Calculează aria fiecărui triunghi cu calculatorul trecut pe grade (DEG) sau cu tabelul, apoi adună ariile. Rotunjește abia rezultatul final, ca să nu aduni erori mici.
5. Verifică: o diagonală măsurată direct trebuie să iasă și din calcul, aria unui triunghi se poate afla și pe alt drum, iar suprafața trebuie să aibă ordinul de mărime al desenului. Apoi treci rezultatul în hectare.

Dacă pentru același triunghi poți alege între două unghiuri, folosește-l pe al doilea la verificare: cele două arii trebuie să coincidă, iar o diferență mare arată o măsurătoare greșită.

Fișa de buzunar

$$S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin C$$

$$1\text{ha}=10000{\text{m}}^2,1\text{ar}=100{\text{m}}^2$$

Condiții de aplicare: la prima formulă, înălțimea $h$ este perpendiculară pe latura $b$. La a doua, unghiul $C$ este cel dintre laturile $a$ și $b$. Aria unui poligon este suma ariilor triunghiurilor în care l-ai tăiat, cu diagonalele în interior. Verificare rapidă: un hectar e un pătrat de 100 m pe 100 m, deci un teren cu laturi de câteva zeci de metri are sub un hectar.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Terenul lui Ion

Domeniu: agricol.

Enunț. Reia terenul din situația de pornire: triunghiul ABC are colțul drept în B, cu AB = 52 m și BC = 31 m; triunghiul ACD are AC = 60,5 m, CD = 48 m și unghiul ACD de 57°; triunghiul ADE are AD = 52,9 m, DE = 42 m și EA = 45 m. a) Calculează aria fiecărui triunghi, la metru pătrat. b) Calculează aria terenului în metri pătrați și în hectare, cu două zecimale. c) Calculează cantitatea de sămânță, la 200 kg pe hectar, la kilogram.

Rezolvare. ABC are un unghi drept în B, deci aria este jumătate din produsul catetelor: $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 52\cdot 31=806$ m².

ACD are două laturi și unghiul dintre ele, AC, CD și unghiul din C: $S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 60,5\cdot 48\cdot \sin 57^{\circ }\approx 1452\cdot 0,8387\approx 1218$ m².

ADE are trei laturi. Afli întâi unghiul din fața laturii celei mai lungi, AD, adică unghiul E:

$$\cos E=\frac{42^2+45^2-52,9^2}{2\cdot 42\cdot 45}=\frac{990,59}{3780}\approx 0,2621$$

deci $E\approx 74,8^{\circ }$. Apoi $S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot 42\cdot 45\cdot \sin 74,8^{\circ }\approx 945\cdot 0,9651\approx 912$ m².

Aria terenului este $806+1218+912=2936$ m². În hectare, $2936:10000=0,2936$, adică 0,29 ha. Sămânța necesară este $0,2936\cdot 200\approx 58,7$, adică 59 kg.

Capcană. Cine citește „unghiul ACD” ca unghi din A și îl pune între AC și AD scrie $\frac{1}{2}\cdot 60,5\cdot 52,9\cdot \sin 57^{\circ }\approx 1600,2\cdot 0,8387\approx 1342$ m², cu 124 m² mai mult decât cei 1218 m² corecți. În scrierea ACD, litera din mijloc numește vârful unghiului, C, iar laturile lui sunt AC și CD.

Verificare. Diagonala AD, măsurată, se regăsește prin calcul: în triunghiul ACD teorema cosinusului dă $A{D}^2=60,5^2+48^2-2\cdot 60,5\cdot 48\cdot \cos 57^{\circ }\approx 3660,25+2304-5808\cdot 0,5446\approx 2801,2$, deci $AD\approx 52,9$ m. Aria lui ADE iese la fel pe alt drum, cu unghiul din A: $\cos A=\frac{52,9^2+45^2-42^2}{2\cdot 52,9\cdot 45}=\frac{3059,41}{4761}\approx 0,6426$, deci $A\approx 50,0^{\circ }$, iar $\frac{1}{2}\cdot 52,9\cdot 45\cdot \sin 50,0^{\circ }\approx 1190,25\cdot 0,7660\approx 911,7$ m², adică tot 912 m².

Exemplul 2 — Panoul cu colțul teșit

Domeniu: lemn.

Enunț. Un tâmplar taie dintr-o placă dreptunghiulară de 2,80 m pe 2,07 m un colț, după o linie dreaptă de 0,80 m, înclinată la 37° față de latura lungă, ca să obțină un panou de mobilier cu colțul teșit. a) Calculează aria piesei rămase, cu o sutime de metru pătrat. b) Ce procent din placă se pierde prin tăietură, cu o zecimală?

Rezolvare. Piesa rămasă nu este un triunghi, dar aria ei se află prin scădere: aria plăcii minus aria colțului tăiat. Colțul tăiat are un unghi drept, deci nu ai nevoie de nicio teoremă: ipotenuza este linia de 0,80 m, iar catetele sunt $0,80\cdot \cos 37^{\circ }\approx 0,80\cdot 0,7986\approx 0,6389$ m și $0,80\cdot \sin 37^{\circ }\approx 0,80\cdot 0,6018\approx 0,4814$ m. Aria colțului este $\frac{1}{2}\cdot 0,6389\cdot 0,4814\approx 0,1538$ m². Placa are $2,80\cdot 2,07=5,796$ m², deci piesa are $5,796-0,1538\approx 5,64$ m².

La b), procentul pierdut este $\frac{0,1538}{5,796}\approx 0,0265$, adică 2,7%.

Capcană. Cine adună în loc să scadă obține $5,796+0,1538\approx 5,95$ m², mai mult decât placa întreagă. O piesă tăiată dintr-o placă nu poate avea o arie mai mare decât placa, iar verificarea aceasta prinde imediat greșeala.

Verificare. Pe alt drum, împarți piesa într-un dreptunghi și un trapez. Dreptunghiul are $(2,80-0,6389)\cdot 2,07=2,1611\cdot 2,07\approx 4,4735$ m². Trapezul are bazele $2,07$ m și $2,07-0,4814=1,5886$ m și înălțimea $0,6389$ m, deci $\frac{2,07+1,5886}{2}\cdot 0,6389\approx 1,1687$ m². Suma este $4,4735+1,1687=5,6422$ m², adică tot 5,64 m².

Exemplul 3 — Parcela de împădurit

Domeniu: mediu.

Enunț. O direcție silvică împădurește o parcelă triunghiulară rămasă fără pădure, pentru a reface pădurea și biodiversitatea. Parcela are laturile de 52 m, 84 m și 122 m. Calculează aria parcelei, la metru pătrat, apoi în hectare, cu două zecimale, și numărul de puieți, la 5 000 de puieți pe hectar (valoare din exemplu).

Rezolvare. Ai trei laturi. Afli întâi unghiul din fața laturii celei mai lungi, de 122 m, adică unghiul $C$ dintre laturile de 52 m și 84 m:

$$\cos C=\frac{52^2+84^2-122^2}{2\cdot 52\cdot 84}=\frac{-5124}{8736}\approx -0,5865$$

Cosinusul este negativ, deci $C\approx 125,9^{\circ }$. Aria este $S=\frac{1}{2}\cdot 52\cdot 84\cdot \sin 125,9^{\circ }\approx 2184\cdot 0,8099\approx 1769$ m². În hectare, $1769:10000\approx 0,18$ ha. Numărul de puieți este $0,1769\cdot 5000\approx 884,5$, deci se comandă 885.

Capcană. Cine scrie $\frac{1}{2}\cdot 52\cdot 84=2184$ m², fără sinus, obține cu 415 m² mai mult decât cei 1769 m² corecți, adică peste 23%. Jumătatea produsului a două laturi dă aria numai când ele formează un unghi drept.

Verificare. Pe alt drum, cu unghiul dintre laturile de 52 m și 122 m: $\cos B=\frac{52^2+122^2-84^2}{2\cdot 52\cdot 122}=\frac{10532}{12688}\approx 0,8301$, deci $B\approx 33,9^{\circ }$, iar $\frac{1}{2}\cdot 52\cdot 122\cdot \sin 33,9^{\circ }\approx 3172\cdot 0,5577\approx 1769$ m².

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: aria unui triunghi dreptunghic

Domeniu: electric.

Enunț. În șapte probe, cerința de arie a fost să arăți că aria are o valoare dată. Una dintre forme, cu numere proprii; aici triunghiul e placa de colț din tablă care rigidizează un jgheab de cabluri electrice, cu cotele în centimetri: „Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, are $AB=8$ și $m(\angle C)=60^{\circ }$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $\frac{32\sqrt{3}}{3}$.”

Rezolvare. Aria unui triunghi dreptunghic cere catetele, iar aici cunoști una, $AB$, și un unghi ascuțit. Cateta $AB$ stă în fața unghiului $C$, iar $AC$ este cealaltă catetă, alăturată lui $C$. Din $\mathrm{tg}C=\frac{AB}{AC}$ rezultă $AC=\frac{AB}{\mathrm{tg}C}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$. Atunci $S=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{8\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{32\sqrt{3}}{3}$.

Capcană. Cine înlocuiește $\mathrm{tg}C$ cu $\sin C$ și scrie $AC=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$ obține o arie dublă, $\frac{64\sqrt{3}}{3}$. Ipotenuza ar fi $\frac{16\sqrt{3}}{3}$, nu cateta $AC$.

Verificare. Ipotenuza este $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$, iar $A{B}^2+A{C}^2=64+\frac{64}{3}=\frac{256}{3}={\left(\frac{16\sqrt{3}}{3}\right)}^2=B{C}^2$. Rezultatul este de aproximativ $18,5$, mai puțin decât $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8=32$, cum trebuie, fiindcă $AC\approx 4,6$ este mai mică decât $AB$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $AB=18$ cm și $AC=25$ cm. Calculează aria triunghiului.

2. Un triunghi are baza de 7,4 m și înălțimea corespunzătoare de 3,5 m. Calculează aria triunghiului.

3. În triunghiul $MNP$, $MN=12$ cm, $MP=15$ cm și $m(\angle M)=40^{\circ }$. Calculează aria triunghiului, cu o zecimală.

4. Laturile unui triunghi au 13 cm, 15 cm și 17 cm. Calculează aria triunghiului, cu o zecimală.

Nivelul 2 — situații

5. O pensiune amenajează pentru turiști un teren de camping ABCD, tăiat de diagonala $AC=64$ m. În triunghiul $ABC$, $AB=40$ m și $BC=55$ m. În triunghiul $ACD$, $AD=48$ m și $m(\angle CAD)=62^{\circ }$. Calculează aria terenului, în ari, cu o zecimală.

6. Platforma de beton a unei magazii are forma patrulaterului $ABCD$. Din colțul B pornesc laturile $AB=4,2$ m și $BC=5,9$ m, cu unghiul de 96° între ele. Diagonala $AC$ are 7,59 m, iar $AD=5,1$ m și $CD=6,3$ m. Calculează aria platformei, cu o zecimală, și betonul necesar la o grosime de 12 cm, dacă se comandă din jumătate în jumătate de metru cub.

7. O fermă de ovine are un padoc triunghiular, cu laturile $AB=86$ m și $AC=74$ m și unghiul dintre ele de 63°. Fermierul îl împarte în două cu un gard dus din A până la mijlocul M al laturii BC. a) Ce arie are fiecare padoc? b) Ce lungime are latura BC, pe care se pune și ea gard?

8. Un magazin pavează parcarea, un teren triunghiular la care două laturi au 62 m și 84 m, iar unghiul dintre ele are 52°. Pavelele vin pe paleți de câte 12,5 m², iar comanda are 5 % în plus pentru tăieturile de la margini (valoare din exemplu). Câți paleți se comandă?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=28$ și $m(\angle B)=30^{\circ }$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $98\sqrt{3}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=12$ și $BC=37$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu 210.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Punctele $M(1,2)$, $N(6,2)$ și $P(6,8)$ sunt vârfurile unui triunghi în reperul cartezian $xOy$. Determinați aria triunghiului $MNP$.

12. (Sinteză.) Patrulaterul $ABCD$ are diagonala $AC=12$ m. În triunghiul $ABC$, $AB=15$ m și $m(\angle BAC)=45^{\circ }$. Triunghiul $ACD$ este dreptunghic în $C$, cu $CD=7$ m. a) Calculați aria triunghiului $ABC$. b) Calculați aria patrulaterului, cu o zecimală. c) Calculați înălțimea din $B$ a triunghiului $ABC$, cu o zecimală.

Răspunsuri și verificări

1. Triunghiul are unghi drept, deci $S=\frac{18\cdot 25}{2}=225$ cm². Verificare: 225 cm² stă între aria pătratului cu latura de 18 cm, 324 cm², și jumătatea ei, 162 cm².

2. $S=\frac{7,4\cdot 3,5}{2}=\frac{25,9}{2}=12,95$ m². Verificare: $7,4\cdot 3,5$ este între $7\cdot 3=21$ și $8\cdot 4=32$.

3. Ai două laturi și unghiul dintre ele: $S=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 15\cdot \sin 40^{\circ }\approx 90\cdot 0,6428\approx 57,9$ cm². Verificare: aria este mai mică decât $\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 15=90$ cm², pentru că $\sin 40^{\circ }<1$.

4. Ai trei laturi. Pentru unghiul din fața laturii de 17 cm: $\cos =\frac{13^2+15^2-17^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{105}{390}\approx 0,2692$, deci unghiul este $74,4^{\circ }$, iar $S\approx \frac{1}{2}\cdot 13\cdot 15\cdot 0,9631\approx 93,9$ cm². Verificare: $93,9<\frac{13\cdot 15}{2}=97,5$.

5. În $ABC$ ai trei laturi: $\cos B=\frac{40^2+55^2-64^2}{2\cdot 40\cdot 55}=\frac{529}{4400}\approx 0,1202$, deci $B\approx 83,1^{\circ }$ și $S_{ABC}\approx \frac{1}{2}\cdot 40\cdot 55\cdot 0,9927\approx 1092$ m². În $ACD$ ai două laturi și unghiul dintre ele: $S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 64\cdot 48\cdot \sin 62^{\circ }\approx 1536\cdot 0,8829\approx 1356$ m². Terenul are $1092+1356=2448$ m², adică 24,5 ari. Verificare: 2448 m² e sub un hectar, cum trebuie la laturi de câteva zeci de metri.

6. $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4,2\cdot 5,9\cdot \sin 96^{\circ }\approx 12,39\cdot 0,9945\approx 12,32$ m². În $ACD$ ai trei laturi: $\cos D=\frac{5,1^2+6,3^2-7,59^2}{2\cdot 5,1\cdot 6,3}=\frac{8,0919}{64,26}\approx 0,1259$, deci $D\approx 82,8^{\circ }$ și $S_{ACD}\approx \frac{1}{2}\cdot 5,1\cdot 6,3\cdot 0,9920\approx 15,94$ m². Platforma are $28,26\approx 28,3$ m², iar betonul $0,12\cdot 28,26\approx 3,39$ m³, deci se comandă 3,5 m³. Verificare: teorema cosinusului în $ABC$ dă $AC\approx 7,59$ m, chiar diagonala măsurată.

7. a) Padocul întreg are $\frac{1}{2}\cdot 86\cdot 74\cdot \sin 63^{\circ }\approx 3182\cdot 0,8910\approx 2835$ m². Triunghiurile $ABM$ și $ACM$ au bazele egale, $BM=MC$, și aceeași înălțime din A, deci fiecare padoc are jumătate: aproximativ 1418 m². b) $B{C}^2=86^2+74^2-2\cdot 86\cdot 74\cdot \cos 63^{\circ }\approx 12872-5778,4\approx 7093,6$, deci $BC\approx 84,2$ m. Verificare: unghiul de 63° e ascuțit, deci $BC$ e sub $\sqrt{12872}\approx 113,5$ m.

8. Ai două laturi și unghiul dintre ele: $S=\frac{1}{2}\cdot 62\cdot 84\cdot \sin 52^{\circ }\approx 2604\cdot 0,7880\approx 2052$ m². Cu 5 % în plus, $2052\cdot 1,05\approx 2154,6$ m², iar $2154,6:12,5\approx 172,4$, deci se comandă 173 de paleți. Verificare: 172 de paleți acoperă doar 2150 m², sub cei 2154,6 m² necesari.

9. Unghiul drept e în $A$, deci $AC$ este cateta opusă lui $B$. Din $\sin B=\frac{AC}{BC}$ rezultă $AC=28\cdot \frac{1}{2}=14$. Din $\cos B=\frac{AB}{BC}$ rezultă $AB=28\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}$. Atunci $S=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{14\sqrt{3}\cdot 14}{2}=98\sqrt{3}$. Verificare: $A{B}^2+A{C}^2=588+196=784=B{C}^2$.

10. Triunghiul are unghi drept în $A$, deci Pitagora dă $AC=\sqrt{37^2-12^2}=\sqrt{1225}=35$. Atunci $S=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{12\cdot 35}{2}=210$. Verificare: $12^2+35^2=144+1225=1369=37^2$.

11. Punctele $M$ și $N$ au aceeași ordonată, 2, deci $MN=6-1=5$. Punctele $N$ și $P$ au aceeași abscisă, 6, deci $NP=8-2=6$. Segmentele $MN$ și $NP$ sunt perpendiculare, deci $S=\frac{MN\cdot NP}{2}=\frac{5\cdot 6}{2}=15$. Verificare: $MP=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$, iar triunghiul cu catetele 5 și 6 are aria de 15.

12. a) $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 12\cdot \sin 45^{\circ }=90\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=45\sqrt{2}$. b) $S_{ACD}=\frac{12\cdot 7}{2}=42$, deci aria patrulaterului este $45\sqrt{2}+42\approx 105,6$ m². c) Înălțimea din $B$ pe $AC$ este $h=\frac{2\cdot S_{ABC}}{AC}=\frac{90\sqrt{2}}{12}=\frac{15\sqrt{2}}{2}\approx 10,6$ m. Verificare: $h=AB\cdot \sin 45^{\circ }=15\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{15\sqrt{2}}{2}$, același rezultat.

Așa vine la Bac M3

Aria unui triunghi a fost cerută la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 16 dintre cele 83 de probe oficiale 2013–2026, la cerința 6 din Subiectul I, iar într-o probă la cerința 5. În 13 dintre ele triunghiul a fost dreptunghic, spus în enunț; în două a fost isoscel, cu unghiuri date, iar într-una a fost dat prin coordonatele vârfurilor. În 6 probe s-a cerut să calculezi aria, în 7 să arăți că are o valoare dată, iar în 3 aria a fost dată și ai căutat o latură. Mai jos sunt câte o cerință pentru fiecare fel de triunghi și una cu aria dată:

• Iunie 2014, rezervă, Subiectul I, exercițiul 6: triunghi dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ și $BC=10$, iar cerința este aria; baremul acordă 2 puncte pentru $AC=8$ și 3 puncte pentru $\frac{6\cdot 8}{2}=24$, adică ipotenuza și o catetă, cu Pitagora pentru a doua catetă, deci pasul 3 din Metodă.
• Simularea din 2018, Subiectul I, exercițiul 6: triunghi isoscel $MNP$, cu $MN=4$ și unghiurile $N$ și $P$ de 75°, iar cerința este aria; baremul acordă 2 puncte pentru $MP=4$ și 3 puncte pentru $\frac{4\cdot 4\cdot \frac{1}{2}}{2}=4$, adică $\frac{MN\cdot MP\cdot \sin 30^{\circ }}{2}$, cu unghiul $M$ de 30° aflat din suma unghiurilor, deci pasul 2 din Metodă, urmat de formula cu sinus.
• August 2019, Subiectul I, exercițiul 5: punctele $M(4,1)$, $N(1,5)$ și $P(4,5)$ în reperul $xOy$, iar cerința este aria triunghiului $MNP$; baremul acordă 2 puncte pentru $MP=4$ și $NP=3$ și 3 puncte pentru faptul că triunghiul e dreptunghic în $P$, deci aria este $\frac{4\cdot 3}{2}=6$, adică pasul 2 din Metodă, recunoașterea unghiului drept.
• Proba specială din 2026, Subiectul I, exercițiul 6: triunghi dreptunghic în $A$, cu $AC=6\cdot AB$ și aria egală cu 12, iar cerința este să arăți că $AB=2$; baremul acordă 3 puncte pentru ecuația $\frac{6\cdot AB\cdot AB}{2}=12$ și 2 puncte pentru $A{B}^2=4$, deci pasul 3 din Metodă, aria dată cu latura ca necunoscută.

Un teren cu mai multe colțuri nu este în programa de examen ca atare, iar aria lui nu a fost tema niciunei cerințe. Exercițiile 9–11 preiau trei tipuri din această listă, cu numere proprii, iar exercițiul 12 adună aria cu sinus și aria cu catete. Teoremele pe care se sprijină calculul sunt în lecția despre teorema cosinusului și în cea despre teorema sinusurilor, iar celelalte lecții ale blocului sunt adunate în cuprinsul clasei a X-a de la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

• Folosești jumătatea produsului a două laturi la un triunghi fără unghi drept între ele: la exercițiul 3, $\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 15=90$ cm² în loc de $57,9$ cm² → cum o prinzi: jumătatea produsului a două laturi dă aria numai când ele formează un unghi drept, iar la alt unghi aria este mai mică, pentru că sinusul este sub 1.
• Iei un unghi care nu este între cele două laturi: la exemplul 1, citești „unghiul ACD” ca unghi din A, îl pui între AC și AD și obții 1342 m² în loc de 1218 m² → cum o prinzi: litera din mijloc numește vârful, iar laturile din formulă sunt cele care pleacă din el.
• Treci greșit în ari: la exercițiul 5, împarți 2448 m² la 1 000 și scrii 2,4 ari în loc de 24,5 ari → cum o prinzi: un ar e un pătrat de 10 m pe 10 m, iar un teren cu laturi de câteva zeci de metri are zeci de ari.
• Aduni în loc să scazi la o piesă cu colțul tăiat: la exemplul 2, $5,796+0,1538\approx 5,95$ m² în loc de $5,64$ m² → cum o prinzi: piesa tăiată dintr-o placă nu poate fi mai mare decât placa.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, aria suprafețelor plane face parte din programa de examen doar în parte: programa cere calcularea unor arii (la Geometrie, clasa a X-a), dar ariile poligoanelor nu sunt numite. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 16 probe.

Întrebări frecvente

Cum știe topograful că B e într-adevăr un colț drept? Din diagonala AC, pe care a măsurat-o: cu laturile de 52 m și 31 m și un unghi drept, Pitagora dă $\sqrt{3665}\approx 60,54$ m, iar ruleta a arătat 60,5 m. Dacă B ar fi avut 95°, teorema cosinusului ar fi dat $\sqrt{3665+3224\cdot \cos 85^{\circ }}\approx 62,8$ m, cu peste 2 m mai mult. Potrivirea diagonalei confirmă colțul drept.

Cum transform metrii pătrați în hectare și în ari? Împarți la 10 000 pentru hectare și la 100 pentru ari. Terenul lui Ion are 2936 m², adică 0,2936 ha, aproximativ 0,29 ha, sau 29,36 ari. Dacă ai nevoie de ordinul de mărime, ține minte că un hectar este un pătrat de 100 m pe 100 m, deci 2936 m² este sub o treime de hectar.

Din ce colț duc diagonalele când terenul are un colț intrat? Alegi un vârf din care toate diagonalele cad în interiorul terenului. Terenul lui Ion are colțurile de 90°, 130,3°, 116,2°, 128,7° și 74,8°, toate sub 180°, deci orice diagonală e bună. La un colț de peste 180°, diagonalele duse din vârfurile vecine pot ieși din teren, și atunci schimbi vârful sau scazi partea în plus.

De ce evită topograful triunghiurile cu un unghi foarte mic? Fiindcă acolo o citire greșită cu un grad strică mult aria. La ACD, de la 57° la 58°, aria crește de la 1218 m² la 1231 m², cu aproximativ 1 %. La un unghi de 10°, același grad în plus mărește sinusul, deci și aria, cu aproximativ 10 %: $\sin 11^{\circ }\approx 0,1908$ față de $\sin 10^{\circ }\approx 0,1736$. De aceea diagonalele se aleg astfel încât unghiurile măsurate să nu fie foarte mici.

Cum s-a schimbat cerința de arie la Bacalaureatul M3 după 2021? În cele 9 probe din 2022–2026 cu aria unui triunghi, de 7 ori s-a cerut să arăți că aria are o valoare dată, iar de 2 ori aria a fost dată și ai căutat o latură; enunțul „Calculați aria” nu a mai apărut. În 3 dintre ele, o catetă a fost dată ca multiplu al celeilalte, ca în cerința din 2026 de mai sus.