Cum aflu aria totală a paralelipipedului?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Aria totală și volumul cubului

Aduni ariile celor șase fețe, care sunt egale două câte două: $A_{t} = 2 (L l + l h + L h)$ . Pentru o cutie de $5$ , $4$ și $3$ cm obții $2 (20 + 12 + 15) = 94$ cm². La cub, unde toate muchiile sunt egale, formula se scurtează la $6 a^{2}$ . Volumul, în schimb, înmulțește cele trei dimensiuni și se măsoară în unități cubice.

Un paralelipiped dreptunghic (o cutie obișnuită) are trei dimensiuni: $L$ (lungime), $l$ (lățime), $h$ (înălțime). Aria totală este suma ariilor celor $6$ fețe: $A_{t} = 2 (L l + l h + L h)$ . Volumul este produsul dimensiunilor: $V = L \cdot l \cdot h$ .

Cubul este cazul special în care $L = l = h = a$ , deci formulele devin mai simple: $A_{t} = 6 a^{2}$ (cele $6$ fețe pătrate) și $V = a^{3}$ .

Exemplu minimal: pentru $a = 4$ cm, $A_{t} = 6 \cdot 4^{2} = 96 cm^{2}$ , iar $V = 4^{3} = 64 cm^{3}$ .

Reține diferența: aria se măsoară în unități pătrate (câtă suprafață/material), iar volumul în unități cubice (cât spațiu/conținut), inclusiv legătura $1 dm^{3} = 1$ litru.

De reținut

$A_{t} = 2 (L l + l h + L h)$ și $V = L \cdot l \cdot h$
la cub: $A_{t} = 6 a^{2}$ și $V = a^{3}$
$1 dm^{3}$ face un litru, iar $1 m^{3}$ face $1000$ de litri

Greșeala tipică

Se adună doar trei fețe, uitând că fiecare are o pereche în fața ei. Aria totală numără toate cele șase fețe, de aceea apare factorul doi.

Exerciții din această mini-lecție

Care este formula ariei totale a unui cub cu muchia $a$ ?
- a) $A_{t} = 4 a^{2}$
- b) $A_{t} = 6 a^{2}$
- c) $A_{t} = a^{3}$
- d) $A_{t} = 6 a$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A_{t} = 6 a^{2}$

Cubul are $6$ fețe pătrate identice, fiecare cu latura $a$ , deci fiecare față are aria $a^{2}$ . Adunând toate cele $6$ fețe obținem $A_{t} = 6 a^{2}$ .
Care este formula volumului unui cub cu muchia $a$ ?
- a) $V = a^{3}$
- b) $V = 3 a^{2}$
- c) $V = 6 a^{2}$
- d) $V = a^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $V = a^{3}$

Volumul cubului este produsul celor trei dimensiuni egale: $V = a \cdot a \cdot a = a^{3}$ .
Un paralelipiped dreptunghic are $L = 8$ cm, $l = 5$ cm și $h = 4$ cm. Calculează aria totală.
- a) $184 cm^{2}$
- b) $92 cm^{2}$
- c) $144 cm^{2}$
- d) $194 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $184 cm^{2}$

Aria totală: $A_{t} = 2 (L l + l h + L h) = 2 (8 \cdot 5 + 5 \cdot 4 + 8 \cdot 4) = 2 (40 + 20 + 32) = 2 \cdot 92 = 184 cm^{2}$ .

Întrebări conexe

Câtă hârtie îmi trebuie ca să împachetez o cutie?

Îți trebuie aria totală, fiindcă hârtia acoperă toate fețele. Pentru o cutie de $20$ , $15$ și $10$ cm obții $2 (300 + 150 + 200) = 1300$ cm². În practică adaugi ceva în plus pentru pliuri și suprapuneri, cam o zecime din suprafață.

Cum aflu muchia cubului dacă știu volumul?

Extragi rădăcina cubică, adică numărul care înmulțit de trei ori cu el însuși dă volumul. Dintr-un volum de $125$ cm³ rezultă o muchie de $5$ cm, fiindcă $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ . Merită știute cuburile primelor numere, de la $1$ la $10$ .

Ce diagonală are un paralelipiped dreptunghic?

Aduni pătratele celor trei dimensiuni și extragi radicalul. Pentru $3$ , $4$ și $12$ cm obții $9 + 16 + 144 = 13$ cm. Formula vine din aplicarea teoremei lui Pitagora de două ori, întâi în bază, apoi în triunghiul care conține înălțimea.

Câți litri încap într-un acvariu de 60 pe 30 pe 40 cm?

Înmulțești cele trei dimensiuni și obții $72000$ cm³. Cum o mie de centimetri cubi fac un litru, rezultatul este de $72$ de litri. Dacă apa nu ajunge până sus, folosești înălțimea ei, nu pe cea a acvariului.

Ce cutie cere cel mai puțin material la un volum dat?

Cubul. Dintre toate cutiile cu același volum, cea cu muchiile egale are aria totală cea mai mică. De aceea ambalajele care trebuie să fie ieftine se apropie de forma cubică, atât cât le lasă conținutul.

Cum transform metri cubi în litri?

Un metru cub are o mie de litri, fiindcă el cuprinde o mie de decimetri cubi, iar fiecare ține un litru. Astfel $2, 5$ metri cubi înseamnă $2500$ de litri. Legătura se folosește la facturile de apă și la calculul rezervoarelor.

Oamenii mai întreabă și: aria totală a paralelipipedului dreptunghic · volumul cubului · aria totală a cubului · formule paralelipiped și cub · cum calculez aria unei cutii