Binomul lui Newton: dezvoltarea unei puteri de binom (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un cub de aluminiu încălzit cu câteva zeci de grade se dilată puțin pe fiecare muchie, iar volumul lui se înmulțește cu cubul acestei creșteri. Un fizician vrea să știe care parte a schimbării de volum contează și care e atât de mică încât se poate ignora. Răspunsul stă într-o formulă care desface orice putere a unei sume în termeni ordonați, de la cel mai mare la cel mai mic, fără să înmulțești paranteză cu paranteză: binomul lui Newton. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul „Metode de numărare”, pentru că toți coeficienții acestei formule sunt combinări. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: binomul lui Newton este trecut la capitolul de metode de numărare, deși modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință despre el.

Lecția vine după alegerea metodei de numărare și continuă cu termenul general al dezvoltării, unde vei scoate dintr-o dezvoltare un singur termen, fără s-o scrii pe toată.

Ce vei învăța

Vei ști de ce coeficienții dezvoltării lui $(a + b)^{n}$ sunt combinări: fiecare termen numără în câte feluri alegi parantezele din care iei $b$ .
Vei ști să scrii formula binomului lui Newton și să-i verifici structura: $n + 1$ termeni, exponenți care coboară și urcă, sumă a exponenților egală cu $n$ .
Vei ști să iei coeficienții din triunghiul lui Pascal, citit ca tabel, și să construiești singur liniile care lipsesc.
Vei ști să dezvolți binoame cu coeficienți, semne și puteri ale lui $x$ , ca $(4 x - 5)^{4}$ sau $(x^{2} - 3)^{4}$ .
Vei ști să verifici o dezvoltare înlocuind variabila cu o valoare comodă și să folosești binomul la calcule numerice.
Vei ști de ce, în fizică, primii termeni ai lui $(1 + ε)^{n}$ ajung pentru estimări când $ε$ e mic.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este dezvoltarea unui binom?

Dezvoltarea binomului $(a + b)^{n}$ , cu $n$ număr natural nenul, este scrierea acestei puteri ca sumă de termeni de forma „un număr înmulțit cu o putere a lui $a$ și o putere a lui $b$ ”, fără paranteze ridicate la putere. Cazurile $n = 2$ și $n = 3$ le cunoști din clasa a IX-a, de la formulele de calcul prescurtat: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ și $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . Acolo le-ai obținut înmulțind; pentru $n = 6$ sau $n = 7$ înmulțirea devine lungă și plină de ocazii de greșeală. Avem nevoie de o regulă care dă direct coeficienții.

2. De unde vin coeficienții?

Scrie $(a + b)^{3}$ ca produs de trei paranteze, $(a + b) (a + b) (a + b)$ . Când desfaci parantezele, iei din fiecare paranteză fie $a$ , fie $b$ și înmulțești cele trei alegeri. Toate alegerile posibile formează o diagramă arborescentă cu $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ drumuri.

Din fiecare paranteză alegi a sau b: 8 drumuri. Drumurile cu același număr de litere b dau același termen: 1, 3, 3 și 1 drumuri — coeficienții lui (a + b)^3.

Fiecare drum e un șir de trei litere, iar produsul lui nu depinde de ordinea literelor: drumurile cu același număr de litere $b$ dau același produs. De exemplu, $aab$ , $aba$ și $baa$ sunt toate $a^{2} b$ , adică trei contribuții la același termen. Câte drumuri au exact $k$ litere $b$ ? Atâtea câte moduri există de a alege, dintre cele trei paranteze, pe cele $k$ din care iei $b$ — o alegere fără ordine, adică o combinare. De aceea coeficienții lui $(a + b)^{3}$ sunt $C_{3}^{0} = 1$ , $C_{3}^{1} = 3$ , $C_{3}^{2} = 3$ , $C_{3}^{3} = 1$ , exact cei pe care îi știi din clasa a IX-a. Raționamentul nu depinde de $3$ : la $n$ paranteze, termenul $a^{n - k} b^{k}$ apare de $C_{n}^{k}$ ori. Pentru patru paranteze, diagrama ar avea $16$ drumuri, grupate în $1$ , $4$ , $6$ , $4$ și $1$ drumuri după numărul de litere $b$ ; nu mai e nevoie s-o desenezi, fiindcă știi să numeri direct câte alegeri de paranteze are fiecare grup. Aici se vede de ce binomul stă în capitolul de numărare: fiecare coeficient răspunde la întrebarea „în câte feluri?”.

3. Ce spune formula binomului lui Newton?

Pentru orice numere reale $a$ , $b$ și orice număr natural $n \geq 1$ ,

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n} .$

Trei lucruri se văd imediat. Dezvoltarea are $n + 1$ termeni, câte unul pentru fiecare $k$ de la $0$ la $n$ . Exponentul lui $a$ scade de la $n$ la $0$ , iar al lui $b$ crește de la $0$ la $n$ , astfel încât în fiecare termen suma lor este $n$ . Iar coeficienții sunt linia $n$ a triunghiului lui Pascal, unde fiecare număr e suma celor două de deasupra. Tabelul de mai jos e unealta de lucru a lecției:

$n$	coeficienții $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$
$1$	$1, 1$
$2$	$1, 2, 1$
$3$	$1, 3, 3, 1$
$4$	$1, 4, 6, 4, 1$
$5$	$1, 5, 10, 10, 5, 1$

Fiecare linie începe și se termină cu $1$ și se citește la fel din ambele capete, iar o linie nouă se obține adunând vecinii din linia de deasupra; dacă ai uitat o linie, o reconstruiești din cea precedentă în câteva secunde. Pentru exponenți mai mari nu mai scrii tabelul: calculezi direct combinarea de care ai nevoie, cu formula din lecția de combinări.

4. Cum dezvolți când termenii au coeficienți?

Regula de lucru are trei pași: numești $a$ și $b$ cu tot cu coeficient și cu semn, scrii fiecare termen cu $a$ și $b$ în paranteze, abia apoi calculezi puterile. La $(2 x - 3 y)^{3}$ avem $a = 2 x$ și $b = - 3 y$ , iar linia $3$ dă $1, 3, 3, 1$ :

$(2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} (- 3 y) + 3 (2 x) (- 3 y)^{2} + (- 3 y)^{3} .$

Parantezele păstrează tot ce trebuie ridicat la putere: $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ , nu $2 x^{2}$ , iar $(- 3 y)^{2} = 9 y^{2}$ , cu semnul plus. Abia acum înmulțești, termen cu termen, coeficientul binomial cu cele două puteri calculate. Ordinea contează: cine calculează puterile înainte de a scrie parantezele uită aproape sigur un factor. Rezultatul este

$(2 x - 3 y)^{3} = 8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3} .$

5. De ce alternează semnele la $(a - b)^{n}$ ?

Pentru că $a - b = a + (- b)$ , iar în termenul cu $b^{k}$ apare $(- b)^{k}$ . Dacă $k$ e par, semnul dispare; dacă $k$ e impar, rămâne minus. Semnele merg deci plus, minus, plus, minus, începând cu plus la primul termen. Ultimul termen, $(- b)^{n}$ , e pozitiv când $n$ e par și negativ când $n$ e impar. Coeficienții binomiali rămân aceiași, numai semnele se schimbă. Pentru $(a - b)^{4}$ , de exemplu, citești linia $1, 4, 6, 4, 1$ și pui semnele plus, minus, plus, minus, plus: cinci termeni, dintre care doi negativi. Un control rapid al semnelor: dă-i lui $b$ aceeași valoare ca lui $a$ ; atunci membrul stâng devine $0^{n} = 0$ , deci termenii pozitivi și cei negativi trebuie să se anuleze reciproc.

Dacă $b$ are deja un semn minus în coeficient, ca în $(x^{2} - 3)^{4}$ , nu mai trebuie să ții minte regula: scrii $b = - 3$ și lași puterile lui $- 3$ să aleagă semnul.

6. Cum verifici o dezvoltare fără s-o refaci?

Primul control e suma exponenților: în fiecare termen trebuie să dea $n$ . Al doilea e o înlocuire: o dezvoltare corectă e o egalitate adevărată pentru orice valoare a variabilei, deci pui în ambii membri un număr comod, de exemplu $x = 2$ , și compari. O singură valoare nu garantează că totul e corect, dar prinde aproape orice greșeală de coeficient sau de semn. Evită valoarea $0$ : ea anulează toți termenii care conțin $x$ și verifică doar ultimul termen. O valoare negativă, cum ar fi $x = - 2$ , e utilă când vrei să verifici și semnele.

Să verificăm așa dezvoltarea de la punctul 4. Pentru $x = 2$ și $y = 1$ , membrul stâng este $(4 - 3)^{3} = 1$ , iar cel drept

$8 \cdot 8 - 36 \cdot 4 + 54 \cdot 2 - 27 = 64 - 144 + 108 - 27 = 1.$

Cele două rezultate coincid. Dacă am fi scris din greșeală $+ 36 x^{2} y$ , membrul drept ar fi dat $289$ , iar diferența ar fi arătat imediat că un semn e greșit.

7. De ce le plac fizicienilor primii termeni?

Multe mărimi din fizică depind de o putere a unei cantități care crește puțin: o latură dilatată, o temperatură ușor mărită. Scrii creșterea ca $1 + ε$ , cu $ε$ mic, și dezvolți:

$(1 + ε)^{n} = 1 + n ε + C_{n}^{2} ε^{2} + C_{n}^{3} ε^{3} + \dots + ε^{n} .$

Fiecare putere a lui $ε$ e mult mai mică decât precedenta: dacă $ε$ e o miime, $ε^{2}$ e o milionime. De aceea, pentru o estimare, fizicienii păstrează doar $1 + n ε$ și știu că eroarea e de ordinul lui $ε^{2}$ . Binomul spune exact ce s-a neglijat și cât cântărește. Aproximarea are însă o condiție: $n ε$ trebuie să fie mic. Dacă exponentul e mare, chiar și un $ε$ mic produce termeni care nu mai pot fi ignorați, iar atunci păstrezi și termenul cu $ε^{2}$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un binom cu doi coeficienți

Dezvoltați $(3 x + 4)^{4}$ .

Rezolvare. Numim $a = 3 x$ și $b = 4$ ; linia $4$ dă $1, 4, 6, 4, 1$ . Scriem termenii cu parantezele păstrate:

$(3 x)^{4} + 4 (3 x)^{3} \cdot 4 + 6 (3 x)^{2} \cdot 4^{2} + 4 (3 x) \cdot 4^{3} + 4^{4} .$

Calculăm: $81 x^{4}$ ; $4 \cdot 27 x^{3} \cdot 4 = 432 x^{3}$ ; $6 \cdot 9 x^{2} \cdot 16 = 864 x^{2}$ ; $4 \cdot 3 x \cdot 64 = 768 x$ ; $256$ . Așadar

$(3 x + 4)^{4} = 81 x^{4} + 432 x^{3} + 864 x^{2} + 768 x + 256.$

Control pentru $x = 2$ : stânga $1 0^{4} = 10000$ ; dreapta $1296 + 3456 + 3456 + 1536 + 256 = 10000$ . Observă că, deși coeficienții binomiali $1, 4, 6, 4, 1$ sunt simetrici, coeficienții finali nu mai sunt: puterile lui $3$ scad spre dreapta, iar ale lui $4$ cresc, și cele două tendințe se compensează doar parțial.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „ $(x - 4 y)^{4} = x^{4} - 16 x^{3} y - 96 x^{2} y^{2} - 256 x y^{3} - 256 y^{4}$ ”. Găsiți greșeala și scrieți dezvoltarea corectă.

Rezolvare. Coeficienții absoluți sunt buni ( $1, 16, 96, 256, 256$ ), dar elevul a pus minus peste tot, ca și cum semnul lui $- 4 y$ s-ar păstra la orice putere. În termenul cu $(- 4 y)^{k}$ semnul e minus doar pentru $k$ impar: $(- 4 y)^{2} = 16 y^{2}$ și $(- 4 y)^{4} = 256 y^{4}$ sunt pozitive. Dezvoltarea corectă este

$(x - 4 y)^{4} = x^{4} - 16 x^{3} y + 96 x^{2} y^{2} - 256 x y^{3} + 256 y^{4} .$

Greșeala e tentantă pentru că semnul minus e scris o singură dată în enunț, iar ochiul îl „propagă” peste tot. Regula corectă se vede pe puterile mici: $(- 1)^{1} = - 1$ , $(- 1)^{2} = 1$ , $(- 1)^{3} = - 1$ și așa mai departe. Un control rapid ar fi prins greșeala: pentru $x = 4$ și $y = 1$ membrul stâng este $0^{4} = 0$ , pe când varianta elevului dă $256 - 1024 - 1536 - 1024 - 256 = - 3584$ , iar cea corectă $256 - 1024 + 1536 - 1024 + 256 = 0$ .

Exemplul 3 — Dilatarea unui cub de aluminiu

Coeficientul de dilatare liniară al aluminiului este $α = 2, 3 \cdot 1 0^{- 5}$ pe grad Celsius. Un cub de aluminiu cu latura de $5$ cm, la $20$ °C, este încălzit la $60$ °C, iar fiecare latură se înmulțește cu $1 + ε$ , unde $ε = α \cdot Δ t$ . a) Calculați $ε$ . b) Dezvoltați $(1 + ε)^{3}$ și spuneți ce termeni contează. c) Estimați volumul după încălzire.

Rezolvare. a) $Δ t = 40$ °C, deci $ε = 2, 3 \cdot 1 0^{- 5} \cdot 40 = 0, 00092$ .

b) Cu linia $3$ :

$(1 + 0, 00092)^{3} = 1 + 0, 00276 + 0, 0000025392 + 0, 000000000778688 = 1, 002762539978688.$

Al doilea termen, $3 ε = 0, 00276$ , dă aproape toată creșterea; al treilea e de peste o mie de ori mai mic, iar al patrulea e sub o miliardime. De aceea, în fizică, coeficientul de dilatare în volum se ia $γ \approx 3 α$ .

c) Volumul inițial e $5^{3} = 125$ cm³, iar după încălzire $125 \cdot 1, 0027625 \dots \approx 125, 345$ cm³. Modelul e valabil pe intervalul de temperatură în care $α$ se poate considera constant, ceea ce pentru aluminiu e cazul între $20$ °C și $60$ °C.

Exemplul 4 — Când primul termen e o putere a lui $x$

Dezvoltați $(x^{2} - 3)^{4}$ .

Rezolvare. Aici $a = x^{2}$ și $b = - 3$ . Cu linia $4$ : $(x^{2})^{4} + 4 (x^{2})^{3} (- 3) + 6 (x^{2})^{2} (- 3)^{2} + 4 x^{2} (- 3)^{3} + (- 3)^{4}$ . Puterile lui $x^{2}$ se înmulțesc cu exponentul: $(x^{2})^{3} = x^{6}$ , nu $x^{5}$ . Rezultă

$(x^{2} - 3)^{4} = x^{8} - 12 x^{6} + 54 x^{4} - 108 x^{2} + 81.$

Dezvoltarea are cinci termeni, ca orice putere a patra de binom, dar exponenții lui $x$ merg din doi în doi, de la $8$ la $0$ . Un polinom de gradul $8$ ar putea avea nouă termeni; aici lipsesc toți cei cu putere impară a lui $x$ , fiindcă $x$ apare numai prin $x^{2}$ . Control pentru $x = 2$ : stânga $1^{4} = 1$ ; dreapta $256 - 768 + 864 - 432 + 81 = 1$ .

Exemplul 5 — Tabelul de lucru

Completați tabelul de lucru pentru $(4 x - 5)^{4}$ și scrieți dezvoltarea.

Rezolvare. Punem pe coloane coeficientul binomial, puterea lui $a = 4 x$ , puterea lui $b = - 5$ și produsul lor:

$k$	$C_{4}^{k}$	$(4 x)^{4 - k}$	$(- 5)^{k}$	termenul
$0$	$1$	$256 x^{4}$	$1$	$256 x^{4}$
$1$	$4$	$64 x^{3}$	$- 5$	$- 1280 x^{3}$
$2$	$6$	$16 x^{2}$	$25$	$2400 x^{2}$
$3$	$4$	$4 x$	$- 125$	$- 2000 x$
$4$	$1$	$1$	$625$	$625$

Deci $(4 x - 5)^{4} = 256 x^{4} - 1280 x^{3} + 2400 x^{2} - 2000 x + 625$ . Tabelul separă cele trei surse de greșeală — coeficientul binomial, puterea lui $4$ , semnul — și le face vizibile pe fiecare rând. Când lucrezi pe hârtie, nu e nevoie să desenezi liniile tabelului: e suficient să scrii cele patru coloane una sub alta. Pe coloana semnelor se vede imediat alternanța: $+, -, +, -, +$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $(2 x + 1)^{4} - (2 x - 1)^{4} = 64 x^{3} + 16 x$ , pentru orice număr real $x$ . b) Folosind punctul a), calculați $1 1^{4} - 9^{4}$ . c) Arătați că numărul $(2 n + 1)^{4} - (2 n - 1)^{4}$ este divizibil cu $16$ , pentru orice număr natural $n$ .

Rezolvare. a) Cu $a = 2 x$ și linia $4$ : $(2 x + 1)^{4} = 16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1$ , iar $(2 x - 1)^{4} = 16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1$ . La scădere, termenii cu putere pară a lui $b$ se reduc, iar cei cu putere impară se dublează: diferența este $64 x^{3} + 16 x$ .

b) Alegem $x = 5$ , pentru că atunci $2 \cdot 5 + 1 = 11$ și $2 \cdot 5 - 1 = 9$ . Punctul a) dă $1 1^{4} - 9^{4} = 64 \cdot 125 + 16 \cdot 5 = 8000 + 80 = 8080$ . Calculul direct confirmă: $14641 - 6561 = 8080$ .

c) Pentru $x = n$ : $(2 n + 1)^{4} - (2 n - 1)^{4} = 64 n^{3} + 16 n = 16 n (4 n^{2} + 1)$ , un multiplu de $16$ . Identitatea de la a) a făcut toată munca: o afirmație despre o infinitate de numere naturale s-a redus la o factorizare. Aceasta e utilitatea unei dezvoltări scrise complet — odată ce ai polinomul, poți citi din el proprietăți pe care calculul direct nu le arată.

Exemplul urmează forma cerințelor de calcul și de demonstrație de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat 2026, deși acel model nu conține o cerință cu binomul lui Newton; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci structura ei nu se poate anticipa.

Să exersăm

La fiecare dezvoltare, scrie întâi cine sunt $a$ și $b$ (cu semn) și ce linie a triunghiului folosești. Păstrează parantezele până când calculezi puterile. La final, verifică prin suma exponenților și printr-o înlocuire cu o valoare comodă, alta decât $0$ .

1. Scrie linia $6$ a triunghiului lui Pascal și dezvoltă $(a + b)^{6}$ .

2. Dezvoltă $(x^{3} + 6)^{4}$ .

3. Dezvoltă $(x - 2)^{6}$ .

4. Dezvoltă $(7 x + 2)^{3}$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În dezvoltarea lui $(5 - 2 x)^{5}$ , coeficientul lui $x^{2}$ este mai mare decât termenul liber.”

6. Un elev scrie: „ $(4 x - 1)^{3} = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x - 1$ ”. Găsește greșeala și scrie dezvoltarea corectă.

7. Completează coeficienții lipsă: $(a + b)^{7} = a^{7} + 7 a^{6} b + □ a^{5} b^{2} + □ a^{4} b^{3} + □ a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + □ a b^{6} + b^{7}$ .

8. Verifică, pentru $x = 2$ , egalitatea $(x + 6)^{3} = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$ .

9. (Problemă aplicată.) Puterea radiată de un corp negru este proporțională cu puterea a patra a temperaturii lui absolute (legea lui Stefan–Boltzmann). Temperatura absolută a unui filament crește cu $2%$ . a) Dezvoltă $(1 + 0, 02)^{4}$ și spune cu câte procente crește puterea radiată. b) Cât de bună e estimarea $1 + 4 \cdot 0, 02$ ?

10. Calculează exact $0, 9^{5}$ , scriind $0, 9 = 1 - 0, 1$ .

11. Calculează exact $2, 1^{4}$ , scriind $2, 1 = 2 + 0, 1$ .

12. Dezvoltă $(3 a - 5 b)^{3}$ .

13. Dezvoltă $(x^{2} + 5)^{3}$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $(x - 1)^{3} + 3 (x - 1)^{2} + 3 (x - 1) + 1 = x^{3}$ , pentru orice număr real $x$ . b) Arătați că numărul $9 9^{3} + 3 \cdot 9 9^{2} + 3 \cdot 99 + 1$ este cubul unui număr natural.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Scrieți dezvoltarea $(6 + 5 x)^{4}$ . b) Folosind punctul a), calculați $6, 5^{4}$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră expresia $E (x) = (x + 1)^{6} - x^{6}$ , unde $x$ este număr real. a) Arătați că $E (x) = 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1$ . b) Calculați $E (2)$ în două feluri. c) Arătați că $E (n)$ este număr impar, pentru orice număr natural $n$ .

17. Dezvoltă $(\frac{x}{2} - 4)^{4}$ .

18. (Provocare.) Arată, fără calculator, că $1, 0 1^{100} > 2$ . (Indicație: scrie $1, 01 = 1 + 0, 01$ și păstrează primii trei termeni ai dezvoltării.)

Răspunsuri și explicații

1. Linia $6$ se obține din linia $5$ adunând vecinii: $1$ , $1 + 5 = 6$ , $5 + 10 = 15$ , $10 + 10 = 20$ , apoi simetric: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ . $(a + b)^{6} = a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}$ . Șapte termeni, iar în fiecare suma exponenților este $6$ .

2. $a = x^{3}$ , $b = 6$ , linia $4$ : $(x^{3} + 6)^{4} = x^{12} + 24 x^{9} + 216 x^{6} + 864 x^{3} + 1296$ . Coeficienții sunt produsele $4 \cdot 6$ , $6 \cdot 36$ , $4 \cdot 216$ și $6^{4} = 1296$ , iar exponenții lui $x$ coboară din trei în trei. Control pentru $x = - 2$ , o valoare negativă care verifică și semnele: stânga $(- 8 + 6)^{4} = 16$ ; dreapta $4096 - 12288 + 13824 - 6912 + 1296 = 16$ .

3. $a = x$ , $b = - 2$ , linia $6$ : $(x - 2)^{6} = x^{6} - 12 x^{5} + 60 x^{4} - 160 x^{3} + 240 x^{2} - 192 x + 64$ . Semnele alternează, iar ultimul termen e pozitiv, fiindcă $6$ e par. Control pentru $x = 3$ : stânga $1^{6} = 1$ ; dreapta $729 - 2916 + 4860 - 4320 + 2160 - 576 + 64 = 1$ .

4. $a = 7 x$ , $b = 2$ , linia $3$ : $(7 x)^{3} + 3 (7 x)^{2} \cdot 2 + 3 (7 x) \cdot 4 + 8$ , adică $(7 x + 2)^{3} = 343 x^{3} + 294 x^{2} + 84 x + 8$ . Toate semnele sunt plus, fiindcă ambii termeni ai binomului sunt pozitivi.

5. Adevărat. Cu $a = 5$ și $b = - 2 x$ , linia $5$ dă $(5 - 2 x)^{5} = 3125 - 6250 x + 5000 x^{2} - 2000 x^{3} + 400 x^{4} - 32 x^{5}$ . Termenul liber este $5^{5} = 3125$ , iar coeficientul lui $x^{2}$ este $10 \cdot 5^{3} \cdot (- 2)^{2} = 5000$ , mai mare. Deși $5 > 2$ , factorul $C_{5}^{2} = 10$ și pătratul lui $- 2$ întrec pierderea a două puteri ale lui $5$ .

6. Elevul a scris coeficienții $1, 3, 3, 1$ și a pus $4$ doar lângă primele trei puteri ale lui $x$ , fără să ridice $4 x$ la putere: $(4 x)^{3} = 64 x^{3}$ , $(4 x)^{2} = 16 x^{2}$ . Corect: $(4 x - 1)^{3} = 64 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x - 1$ . Doar ultimii doi termeni ai elevului erau buni, fiindcă acolo $4 x$ apare la puterea întâi sau deloc.

7. Linia $7$ se obține din linia $6$ adunând vecinii: $1$ , $1 + 6 = 7$ , $6 + 15 = 21$ , $15 + 20 = 35$ și apoi simetric. Ea este $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$ , deci lipsesc $21$ , $35$ , $35$ și $7$ : $(a + b)^{7} = a^{7} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + b^{7}$ .

8. Stânga: $8^{3} = 512$ . Dreapta: $8 + 72 + 216 + 216 = 512$ . Egalitatea se verifică pentru $x = 2$ ; cum $(x + 6)^{3}$ se dezvoltă cu linia $3$ și $b = 6$ , egalitatea e chiar dezvoltarea corectă.

9. Puterea radiată e proporțională cu $T^{4}$ , deci raportul dintre puterea nouă și cea veche este $(1, 02 T)^{4} : T^{4} = 1, 0 2^{4}$ . a) $(1 + 0, 02)^{4} = 1 + 0, 08 + 0, 0024 + 0, 000032 + 0, 00000016 = 1, 08243216$ , deci puterea radiată crește cu aproximativ $8, 24%$ . b) Estimarea $1 + 4 \cdot 0, 02 = 1, 08$ dă $8%$ ; diferența, sub un sfert de punct procentual, vine aproape toată din al treilea termen, $6 \cdot 0, 0 2^{2} = 0, 0024$ .

10. Cu $a = 1$ , $b = - 0, 1$ și linia $5$ , fiecare termen e o putere a lui $0, 1$ înmulțită cu un coeficient din linie, iar semnele alternează: $(1 - 0, 1)^{5} = 1 - 0, 5 + 0, 1 - 0, 01 + 0, 0005 - 0, 00001 = 0, 59049$ .

11. Cu $a = 2$ , $b = 0, 1$ și linia $4$ ; aici $a$ nu mai e $1$ , deci puterile lui $2$ intră în fiecare termen: $(2 + 0, 1)^{4} = 16 + 4 \cdot 8 \cdot 0, 1 + 6 \cdot 4 \cdot 0, 01 + 4 \cdot 2 \cdot 0, 001 + 0, 0001 = 16 + 3, 2 + 0, 24 + 0, 008 + 0, 0001 = 19, 4481$ .

12. Primul termen al binomului este $3 a$ , al doilea $- 5 b$ ; cu linia $3$ : $(3 a - 5 b)^{3} = 27 a^{3} - 135 a^{2} b + 225 a b^{2} - 125 b^{3}$ . Coeficienții vin din $3^{3}$ , $3 \cdot 9 \cdot 5$ , $3 \cdot 3 \cdot 25$ și $5^{3}$ , cu semnele alternate, iar în fiecare termen suma exponenților lui $a$ și $b$ este $3$ .

13. $a = x^{2}$ , $b = 5$ , linia $3$ : $(x^{2} + 5)^{3} = x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125$ . Exponenții lui $x$ sunt $6, 4, 2, 0$ : puterile lui $x^{2}$ înmulțesc exponentul cu $3$ , $2$ , $1$ și $0$ .

14. a) Recunoaște forma: coeficienții $1, 3, 3, 1$ ai liniei $3$ și puterile descrescătoare ale lui $x - 1$ . Membrul stâng e dezvoltarea lui $(y + 1)^{3}$ scrisă pentru $y = x - 1$ , deci e egal cu $((x - 1) + 1)^{3} = x^{3}$ . b) Pentru $x = 100$ , punctul a) dă $9 9^{3} + 3 \cdot 9 9^{2} + 3 \cdot 99 + 1 = 10 0^{3} = 1000000$ , cubul lui $100$ .

15. a) Cu $a = 6$ , $b = 5 x$ , puterile lui $6$ și ale lui $5$ intră în coeficienți: $(6 + 5 x)^{4} = 1296 + 4320 x + 5400 x^{2} + 3000 x^{3} + 625 x^{4}$ . b) $6, 5 = 6 + 5 \cdot 0, 1$ , deci punem $x = 0, 1$ : $1296 + 432 + 54 + 3 + 0, 0625 = 1785, 0625$ .

16. a) Cu linia $6$ , $(x + 1)^{6} = x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1$ , iar $x^{6}$ se reduce: $E (x) = 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1$ . b) Direct: $3^{6} - 2^{6} = 729 - 64 = 665$ ; din a): $192 + 240 + 160 + 60 + 12 + 1 = 665$ . Cele două calcule se confirmă unul pe altul. c) Dintre $n$ și $n + 1$ , unul e par și celălalt impar, iar o putere are aceeași paritate ca baza ei; diferența dintre un număr impar și unul par e impară. Același argument merge pentru orice exponent, nu doar pentru $6$ .

17. $a = \frac{x}{2}$ , $b = - 4$ , linia $4$ : $(\frac{x}{2} - 4)^{4} = \frac{x ^{4}}{16} - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 128 x + 256$ . Coeficienții vin din $\frac{1}{16}$ , $4 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4$ , $6 \cdot \frac{1}{4} \cdot 16$ , $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 64$ și $4^{4}$ , cu semnele alternate.

18. Nu se poate calcula direct, dar nici nu e nevoie. $(1 + 0, 01)^{100} = 1 + 100 \cdot 0, 01 + C_{100}^{2} \cdot 0, 0 1^{2} + \dots$ , iar toți termenii sunt pozitivi. Primii trei dau $1 + 1 + 4950 \cdot 0, 0001 = 2, 495$ , deci $1, 0 1^{100} > 2, 495 > 2$ .

De reținut

$(a + b)^{n}$ are $n + 1$ termeni, $C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ pentru $k = 0, 1, \dots, n$ ; coeficientul $C_{n}^{k}$ numără alegerile celor $k$ paranteze din care iei $b$ .
Coeficienții binomiali sunt linia $n$ a triunghiului lui Pascal; exponentul lui $a$ coboară, al lui $b$ urcă, iar suma lor e mereu $n$ .
Numești $a$ și $b$ cu tot cu coeficient și semn, îi scrii în paranteze și abia apoi ridici la putere.
La $(a - b)^{n}$ semnele alternează începând cu plus; ultimul termen e pozitiv pentru $n$ par și negativ pentru $n$ impar.
Pentru $ε$ mic, $(1 + ε)^{n} \approx 1 + n ε$ , iar termenul următor, $C_{n}^{2} ε^{2}$ , arată cât s-a neglijat.

Greșeli frecvente

„ $(a + b)^{n} = a^{n} + b^{n}$ ”. Egalitatea e falsă pentru orice $n \geq 2$ când $a$ și $b$ sunt nenuli: lipsesc toți termenii din mijloc. Un exemplu mic o demontează imediat: $(2 + 3)^{2} = 25$ , nu $4 + 9 = 13$ .
Minusul pus înaintea puterii. $(- 5)^{2}$ este $25$ , nu $- 25$ . Cine scrie $- 5^{2}$ în loc de $(- 5)^{2}$ strică semnele din toată a doua jumătate a dezvoltării.
Primul termen uitat. Exponentul lui $b$ pornește de la $0$ , nu de la $1$ : primul termen al lui $(a + b)^{n}$ este $a^{n}$ , fără niciun $b$ . Cine începe direct cu $C_{n}^{1} a^{n - 1} b$ scrie, la $(x + 10)^{3}$ , doar $30 x^{2} + 300 x + 1000$ și pierde termenul $x^{3}$ .
Exponenții adunați în loc de înmulțiți. În $(x^{2} - 3)^{4}$ , termenul $(x^{2})^{3}$ este $x^{6}$ , nu $x^{5}$ . Puterea unei puteri înmulțește exponenții.
Aproximarea folosită când creșterea nu e mică. $(1 + ε)^{n} \approx 1 + n ε$ merge pentru $ε = 0, 01$ , dar la $ε = 0, 3$ și $n = 3$ dă $1, 9$ în loc de $1, 3^{3} = 2, 197$ . Verifică mărimea termenului al treilea înainte să-l tai.

Aplică acasă

Cubul din cuburi. Din cuburi mici de construcție, zaruri sau cuburi de zahăr, construiește un cub cu latura de $3$ cuburi, apoi completează-l până la un cub cu latura de $4$ . Sortează piesele adăugate în plăci, bare și colțul rămas, numără-le și arată că $64 = 27 + 27 + 9 + 1$ . Leagă fiecare grup de un termen al lui $(a + b)^{3}$ pentru $a = 3$ și $b = 1$ .
Arborele din cartonașe. Pe cartonașe scrie $a$ și $b$ și construiește pe masă toate șirurile de patru litere. Grupează-le după numărul de litere $b$ și numără șirurile din fiecare grup. Compară cu linia $4$ și explică cuiva din familie legătura cu parantezele lui $(a + b)^{4}$ .
Când se strică aproximarea. Într-o foaie de calcul, pune valorile $ε = 0, 01$ ; $0, 05$ ; $0, 1$ ; $0, 2$ și calculează pentru fiecare $(1 + ε)^{5}$ și $1 + 5 ε$ . Notează de la ce valoare diferența trece de o sutime și leag-o de termenul $10 ε^{2}$ .

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă două părți ale capitolului care par diferite: un calcul algebric, desfacerea unei puteri, și o numărare, alegerea parantezelor din care se ia $b$ . Elevul nu primește formula gata făcută, ci o citește dintr-o diagramă arborescentă și o confirmă pe formulele de calcul prescurtat din clasa a IX-a. Programa de științe ale naturii numește explicit, printre activitățile competenței X.CS.2.1, prelucrarea unor expresii algebrice cu ajutorul binomului lui Newton; lecția pune accentul pe scrierea corectă a dezvoltării și pe verificarea ei, iar determinarea unui singur termen sau a unui coeficient anume rămâne pentru lecția următoare.

Ce merită urmărit în caiet: dacă elevul numește $a$ și $b$ cu semn înainte de a calcula, dacă păstrează parantezele, dacă își verifică singur rezultatul printr-o înlocuire. Întrebări bune de control: „Câți termeni vei scrie?”, „Ce semn are ultimul termen?”, „De unde vine coeficientul $6$ din $(a + b)^{4}$ ?”. Un elev care stăpânește lecția explică acest $6$ prin cele șase moduri de a alege două paranteze din patru și poate spune, fără calcul, câte drumuri are diagrama pentru $(a + b)^{5}$ și cum se grupează ele. Aplicațiile din fizică (dilatarea, radiația termică) arată de ce dezvoltarea ordonată e utilă: îți spune ce se poate neglija.

Două dificultăți apar des. Prima: elevii scriu corect linia triunghiului, dar uită să ridice la putere coeficientul lui $x$ din primul termen al binomului; tabelul de lucru din Exemplul 5, cu o coloană pentru fiecare factor, rezolvă problema. A doua: semnul minus e tratat ca o etichetă a întregii dezvoltări, nu ca parte a lui $b$ . Cere-le elevilor să scrie explicit „ $b = - 5$ ” înainte de orice calcul și să verifice apoi semnul ultimului termen după paritatea exponentului.

Liniile triunghiului au lecția lor, triunghiul lui Pascal; identitățile obținute prin particularizarea formulei sunt tratate separat, după lecția despre termenul general. La finalul unității, testul de includere–excludere și binomul lui Newton verifică dezvoltările. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: binomul lui Newton, dezvoltarea puterii unui binom.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Metode de numărare” numește dezvoltarea binomului lui Newton, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține „Binomul lui Newton” la „Metode de numărare”. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu binomul lui Newton: cerința lui de numărare de la Subiectul I este o probabilitate. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția despre binom de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Formula e aceeași. La științe ale naturii coeficienții se obțin dintr-o diagramă arborescentă, ca o problemă de numărare, iar aplicațiile vin din fizică: dilatarea unui cub, radiația unui corp încălzit. Programa de științe numește dezvoltarea și termenii ei; sumele particulare de combinări le lucrezi separat, în lecția despre identitățile cu coeficienți binomiali.

La ce subiect apare binomul lui Newton la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 îl trece la „Metode de numărare”, fără să împartă temele pe subiecte. Modelul oficial 2026 nu conține o cerință cu binomul: cerința de numărare a Subiectului I este o probabilitate. Pentru MAT_P2 din 2030, tema e în domeniul Algebră, dar un model publicat încă nu există.

De ce aria unei plăci încălzite crește cu aproape dublul dilatării liniare? Pentru că fiecare latură a plăcii se înmulțește cu $1 + ε$ , iar aria cu $(1 + ε)^{2} = 1 + 2 ε + ε^{2}$ . Termenul $ε^{2}$ e de mii de ori mai mic decât $2 ε$ când $ε$ este de ordinul unei miimi, deci rămâne $1 + 2 ε$ . E același raționament ca la volumul cubului, doar cu exponentul $2$ în loc de $3$ .

Trebuie să rețin dezvoltările pe de rost? Nu e nevoie. E suficient să știi să construiești linia triunghiului și regula exponenților: $a$ coboară, $b$ urcă, suma lor e $n$ . Cu acestea scrii orice dezvoltare în câteva rânduri. Pătratul și cubul unei sume le folosești atât de des încât le vei ști oricum. Pentru exponenți mari nu mai scrii tot, ci calculezi doar termenul de care ai nevoie, cu formula termenului general.

La ce folosește binomul lui Newton în fizică și chimie? Mai ales la estimări. O mărime care depinde de puterea unei cantități ce crește puțin se scrie $(1 + ε)^{n}$ , iar primii doi termeni dau aproximarea $1 + n ε$ . Așa se ajunge la coeficientul de dilatare în volum, aproape triplul celui liniar, sau la creșterea puterii radiate de un filament mai fierbinte.

Ce fac când exponentul e mare și nu am linia triunghiului? Nu construi triunghiul până acolo. Calculează direct combinările de care ai nevoie, cu formula din lecția despre combinări, și folosește simetria $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ : pentru exponentul $12$ calculezi doar primele șapte numere ale liniei, iar pe celelalte le copiezi în oglindă. Pentru o dezvoltare întreagă la un exponent atât de mare, gândește-te întâi dacă nu ai nevoie, de fapt, de un singur termen.