Ce este bisectoarea unui unghi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Bisectoarea unui unghi

Este semidreapta care pornește din vârful unghiului, trece prin interiorul lui și îl taie în două unghiuri cu aceeași măsură. Dacă $O M$ este bisectoarea lui $∠ A O B$ , atunci fiecare jumătate măsoară $\frac{m ( ∠ A O B )}{2}$ , deci un unghi de $88°$ se desface în două de câte $44°$ . Drumul invers merge la fel: cunoscând o jumătate, întregul se află înmulțind cu 2. Orice unghi are o singură bisectoare.

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, situată în interiorul lui, care îl împarte în două unghiuri congruente. Dacă $O M$ este bisectoarea unghiului $A O B$ , atunci $A O M \equiv M O B$ și fiecare are jumătate din măsura întregului: $m (A O M) = m (M O B) = \frac{m ( A O B )}{2} .$ Invers, dacă știm jumătatea, aflăm întregul înmulțind cu 2. Un unghi are o singură bisectoare.

Există două construcții: cu raportorul (măsori unghiul, împarți la 2, marchezi jumătatea) și cu compasul și rigla, fără măsurare: un arc din vârful $O$ taie laturile în $P$ și $Q$ ; din $P$ și $Q$ , cu aceeași deschidere, trasezi două arce ce se intersectează în $M$ ; semidreapta $O M$ este bisectoarea.

Exemplu. Dacă $m (A O B) = 88°$ , atunci $m (A O M) = 88° : 2 = 44°$ .

De reținut

bisectoarea este o semidreaptă cu originea în vârful unghiului
ea împarte unghiul în două unghiuri congruente
jumătatea se află împărțind la 2, întregul înmulțind cu 2
bisectoarea unghiului drept dă $45°$ , iar a celui alungit dă $90°$

Greșeala tipică

Se împarte la 2 și atunci când enunțul dă deja o jumătate, iar rezultatul iese un sfert din unghi. Întrebarea de control este dacă valoarea dată se referă la unghiul întreg sau la una dintre bucățile lui.

Exerciții din această mini-lecție

Semidreapta $O D$ este bisectoarea unghiului $x O y$ . Se știe că $m (x O D) = 53°$ . Cât măsoară unghiul $x O y$ ?
- a) $26, 5°$
- b) $106°$
- c) $53°$
- d) $159°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $106°$

Cunoaștem jumătatea, deci înmulțim cu 2 pentru a afla întregul: $m (x O y) = 2 \cdot 53° = 106°$ . Varianta a) confundă operația (împarte în loc să înmulțească), iar c) și d) nu respectă regula bisectoarei.
Semidreapta $O t$ este bisectoarea unghiului $A O B$ . Se dau $m (A O t) = (4 x + 2) °$ și $m (tO B) = (2 x + 14) °$ . Cât măsoară unghiul $A O B$ ?
- a) $26°$
- b) $6°$
- c) $52°$
- d) $104°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $52°$

Fiindcă $O t$ este bisectoare, cele două unghiuri sunt congruente: $4 x + 2 = 2 x + 14 \Rightarrow 2 x = 12 \Rightarrow x = 6$ . Atunci $m (A O t) = 4 \cdot 6 + 2 = 26°$ și $m (tO B) = 2 \cdot 6 + 14 = 26°$ , deci $m (A O B) = 26° + 26° = 52°$ . Varianta a) dă doar jumătatea, b) este valoarea lui $x$ , iar d) dublează greșit rezultatul corect.
Semidreapta $O v$ este bisectoarea unghiului $a O b$ . Se știe că $m (a O v) = 37°$ . Cât măsoară unghiul $a O b$ ?
- a) $18, 5°$
- b) $74°$
- c) $64°$
- d) $104°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $74°$

Cunoaștem jumătatea, deci înmulțim cu 2 pentru a afla întregul: $m (a O b) = 2 \cdot 37° = 74°$ . Varianta a) confundă operația (împarte în loc să înmulțească).

Întrebări conexe

Cât măsoară jumătate dintr-un unghi de $124°$ ?

Măsoară $124° : 2 = 62°$ , iar bisectoarea formează cu fiecare latură câte un unghi de această mărime. Verificarea adună înapoi cele două jumătăți și trebuie să iasă unghiul de la care ai pornit.

Cum aflu unghiul întreg dacă o jumătate are $53°$ ?

Înmulțești cu 2 și obții $106°$ . Greșeala obișnuită este împărțirea, care ar da $26, 5°$ , adică sfertul unghiului. Citește cu atenție enunțul, ca să știi dacă ți se dă întregul sau doar o parte din el.

Cum rezolv o problemă cu bisectoare și cu necunoscuta $x$ ?

Pui semnul de egal între cele două jumătăți, fiindcă bisectoarea le face congruente. Din $(4 x + 2) ° = (2 x + 14) °$ ies $2 x = 12$ , deci $x = 6$ , iar fiecare jumătate măsoară $26°$ . Unghiul întreg are atunci $52°$ .

Bisectoarea taie și latura opusă în două părți egale?

În general nu; ea împarte doar unghiul. Linia care ajunge la mijlocul laturii opuse se numește mediană și este altceva. Cele două coincid numai la triunghiul isoscel, când pornesc din vârful dintre laturile egale.

Cum verific dacă am construit corect bisectoarea?

Măsori cu raportorul cele două unghiuri obținute și trebuie să iasă egale. O a doua verificare folosește compasul: iei un punct de pe semidreapta trasată și controlezi dacă distanțele până la cele două laturi coincid.

Oamenii mai întreabă și: bisectoarea unui unghi · ce face bisectoarea · semidreapta care împarte unghiul în două · bisectoare definiție