Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Lanțuri de compuneri și elementul absorbant

Cum calculez un lanț lung de compuneri?

Dacă legea e asociativă, cauți întâi elementul absorbant $a$ , cu $a * x = x * a = a$ . Dacă el apare în lanț, rezultatul e chiar $a$ . La $x * y = \frac{x y}{2} - 8 x - 8 y + 144 = \frac{1}{2} (x - 16) (y - 16) + 16$ , lanțul $2^{0} * 2^{1} * \dots * 2^{10}$ conține $2^{4} = 16$ , deci dă 16. Dacă numărul care absoarbe lipsește, folosești formula lanțului și o verifici pe primii trei termeni.

Un lanț lung de compuneri, ca $1 * 2 * \dots * 2026$ , se calculează doar dacă legea e asociativă: atunci termenii se pot grupa oricum. Primul lucru căutat este elementul absorbant, numărul $a$ cu $a * x = x * a = a$ pentru orice $x$ . La forma $k (x - a) (y - a) + a$ , el este $a$ .

Dacă elementul absorbant apare în lanț, rezultatul este chiar el: grupezi tot ce e înainte, apoi $a$ , apoi tot ce urmează. Atenție, poate fi scris altfel: $2^{4} = 16$ , $25 = 5$ , $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

Dacă nu apare, folosești formula: la legea $x + y + c$ , lanțul de $n$ termeni dă suma lor plus $(n - 1) c$ ; la legea $k (x - a) (y - a) + a$ , dă $k^{n - 1}$ înmulțit cu produsul diferențelor față de $a$ , plus $a$ . Exponentul e $n - 1$ , numărul de compuneri.

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), compuneri cu cel puțin trei operanzi s-au cerut în 31 din cele 60 de probe din 2013–2026. Proba rapidă: calculezi pas cu pas primii trei termeni și compari cu formula.

De reținut

lanțul se grupează doar la o lege asociativă
dacă elementul absorbant e în lanț, rezultatul e chiar el
fără el: $k^{n - 1}$ ori produsul diferențelor, plus $a$

Greșeala tipică

Se scrie rezultatul egal cu elementul absorbant și când el lipsește din lanț. La legea $x \circ y = \frac{1}{2} (x - 10) (y - 10) + 10$ , lanțul $7 \circ 8 \circ 9$ nu conține 10 și dă $\frac{17}{2}$ , nu 10.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ se definește legea asociativă $x \circ y = x + y + 16$ . Cât este $1 \circ 2 \circ 3 \circ 4 \circ 5$ ?
- a) $95$
- b) $79$
- c) $31$
- d) $15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $79$

Cinci termeni înseamnă patru compuneri, deci $15 + 4 \cdot 16 = 79$ . Varianta $95$ adaugă 16 de cinci ori, $31$ o singură dată, iar $15$ e doar suma. Verificare: $1 \circ 2 = 19$ , $19 \circ 3 = 38$ , $38 \circ 4 = 58$ , $58 \circ 5 = 79$ .
Care este elementul absorbant al legii $x \circ y = 4 x y - 36 x - 36 y + 333$ , adică $4 (x - 9) (y - 9) + 9$ ?
- a) $9$
- b) $\frac{37}{4}$
- c) $333$
- d) $- 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $9$

$x \circ 9 = 4 (x - 9) \cdot 0 + 9 = 9$ pentru orice $x$ , deci 9 absoarbe. $\frac{37}{4} = 9 + \frac{1}{4}$ este elementul neutru, nu cel absorbant; 333 e termenul liber, iar $- 9$ are semnul greșit.
Pe $R$ se definește legea asociativă $x * y = 4 x y - 32 x - 32 y + 264$ . Cât este $2^{0} * 2^{1} * 2^{2} * \dots * 2^{6}$ ?
- a) $64$
- b) $1$
- c) $8$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $8$

Legea este $4 (x - 8) (y - 8) + 8$ , deci 8 absoarbe. În lanț apare $2^{3} = 8$ , iar legea e asociativă, deci rezultatul este 8. Variantele 64 și 1 sunt primul și ultimul termen, iar 0 ar veni din produsul diferențelor, fără „ $+ 8$ ”.

Întrebări conexe

De ce dă lanțul exact elementul absorbant?

Asociativitatea îți permite să tai lanțul în trei bucăți: ce stă înaintea lui $a$ , apoi $a$ , apoi restul. Compunerea primei bucăți cu $a$ dă $a$ , iar compunerea lui $a$ cu restul dă tot $a$ . Fără asociativitate, gruparea nu e permisă și regula nu se aplică.

Ce fac dacă elementul absorbant nu apare în lanț?

Folosești formula lanțului. La legea $x \circ y = 3 (x + 3) (y + 3) - 3$ , lanțul $(- 2) \circ (- 1) \circ 0$ dă $3^{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 - 3 = 51$ : factorul 3 apare de două ori, câte o dată pentru fiecare compunere. Pas cu pas obții tot 51.

Cum calculez un lanț la o lege de forma $x + y + c$ ?

Aduni termenii și adaugi $c$ de câte ori compui, adică de $n - 1$ ori. Pentru $x \circ y = x + y + 8$ , lanțul $1 \circ 2 \circ \dots \circ 10$ dă $55 + 9 \cdot 8 = 127$ . O asemenea lege nu are element absorbant.

Cum recunosc elementul absorbant scris altfel?

Calculezi valoarea fiecărui termen. La legea $x \circ y = x + y - \frac{x y}{5}$ , care absoarbe 5, lanțul $1 \circ 2 \circ \dots \circ 40$ îl conține ca $25$ . La o lege care absoarbe 9, lanțul de puteri ale lui 3 îl conține ca $3^{2}$ .

Poate avea o lege două elemente absorbante?

Nu. Dacă $a$ și $b$ ar absorbi amândouă, atunci $a \circ b$ ar fi egal cu $a$ , fiindcă $a$ absoarbe, și cu $b$ , fiindcă $b$ absoarbe. Deci $a = b$ . De aceea, la forma $k (x - a) (y - a) + a$ , singurul element absorbant este $a$ .

Cât de des cere Bacalaureatul M4 lanțuri lungi?

Între 2013 și 2026, 31 din cele 60 de probe M_pedagogic au avut la Subiectul al II-lea compuneri cu cel puțin trei operanzi, în total 36 de cerințe. La 13 dintre aceste cerințe, printre numerele lanțului se afla elementul care absoarbe, fie ca număr, fie ca putere, radical sau fracție.

Oamenii mai întreabă și: calculați 1 compus cu 2 compus cu 3 până la n · compunere repetată la o lege asociativă · lanț de compuneri cu element absorbant · cum calculez 2 la 0 compus cu 2 la 1 până la 2 la n