Calcule în lanț cu o lege, la pedagogic

Un șir ca $1 * 2 * 3 * \dots * 2026$ nu se calculează pas cu pas: se caută un număr care, pus în compunere, dă mereu același rezultat, sau o formulă pentru tot lanțul. Ambele drumuri cer o lege asociativă. Lecția face parte din materia clasei a XI-a la profilul pedagogic și arată cum alegi drumul. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), compuneri cu cel puțin trei operanzi s-au cerut în 31 din cele 60 de probe din 2013–2026.

Situația de pornire

Educatoarea Elena planifică la grupa mare proiectul tematic „Toamna”, în patru etape. Ultima zi a fiecărei etape este și prima zi a etapei următoare: în ziua de trecere, copiii încheie o temă și o încep pe următoarea. Elena vrea să știe câte zile durează tot proiectul, ca să-l treacă în planificarea semestrului, și dacă rezultatul depinde de ordinea etapelor.

Etapa	Tema	Durata etapei (zile)
1	Observăm toamna în parc	4
2	Fructe și legume	5
3	Atelierul de creație	3
4	Expoziția și serbarea	2

Întrebare: câte zile durează proiectul, dacă etapele se leagă prin zilele de trecere? Se schimbă totalul dacă Elena schimbă ordinea etapelor?

De la situație la model

În situație	În matematică
durata unei etape, în zile	un număr natural nenul $x$
două etape legate prin ziua de trecere	legea $x \circ y = x + y - 1$ , pe $N^{*}$
tot proiectul, cu cele patru etape	lanțul $4 \circ 5 \circ 3 \circ 2$
o etapă de o singură zi, chiar ziua de trecere	elementul neutru $e = 1$

Legea e asociativă: $(x \circ y) \circ z = x + y + z - 2 = x \circ (y \circ z)$ . De aceea lanțul se scrie fără paranteze, iar pentru $n$ etape se scad $n - 1$ zile de trecere: $4 \circ 5 \circ 3 \circ 2 = 14 - 3 = 11$ zile.

Cum calculezi un lanț lung de compuneri?

La o lege asociativă poți grupa termenii cum vrei. Dacă legea e de forma $x + y + c$ , lanțul a $n$ numere dă suma lor plus $(n - 1) c$ . Dacă legea e de forma $k (x - a) (y - a) + a$ , lanțul dă $k^{n - 1} (x_{1} - a) (x_{2} - a) \dots (x_{n} - a) + a$ . Formula se verifică pe trei termeni înainte s-o folosești pe tot lanțul.

Ce este elementul absorbant?

Fie $\circ$ o lege pe mulțimea $M$ . Elementul absorbant este un $a \in M$ cu $a \circ x = x \circ a = a$ pentru orice $x \in M$ . La forma $k (x - a) (y - a) + a$ , numărul $a$ absoarbe, fiindcă un factor devine 0. O lege are cel mult un element absorbant: dacă $a$ și $b$ absorb, atunci $a = a \circ b = b$ .

De ce un lanț care conține elementul absorbant dă chiar acel element?

Pentru că, la o lege asociativă, grupezi lanțul în trei bucăți: tot ce e înaintea lui $a$ , apoi $a$ , apoi tot ce urmează. Compunerea primei bucăți cu $a$ dă $a$ , iar $a$ compus cu ultima bucată dă tot $a$ . Dacă $a$ e scris altfel în lanț, ca $2^{4} = 16$ sau $25 = 5$ , îl recunoști după valoare.

Ce faci dacă legea nu e asociativă?

Atunci nu ai voie să muți parantezele: calculezi de la stânga la dreapta, pas cu pas. În probele M_pedagogic, la cerințele cu lanțuri lungi legea e dată ca asociativă în enunț sau asociativitatea se arată într-o cerință anterioară (simularea din 2018, iunie 2023). Dacă enunțul nu spune, verifici întâi asociativitatea.

Metoda pas cu pas

Asigură-te că legea e asociativă: e scris în enunț, ai arătat-o sau o verifici cu ambele grupări pe litere. Fără asociativitate, lanțul se calculează de la stânga la dreapta.
Scrie legea în forma cu paranteze și citește elementul absorbant, dacă există. La legile de forma $x + y + c$ nu există element absorbant, așa că treci direct la pasul 4.
Caută elementul absorbant în lanț, inclusiv scris altfel: o putere, un radical, o fracție. Dacă apare, rezultatul e chiar el. Scrie gruparea în trei bucăți, ca să se vadă de ce.
Dacă nu apare, folosește formula lanțului: suma plus $(n - 1) c$ , sau $k^{n - 1}$ ori produsul diferențelor, plus $a$ . Verifică rezultatul calculând pas cu pas primii doi sau trei termeni.

Forma cu paranteze, din care citești elementul absorbant, e în lecția despre forma factorizată a unei legi, la pedagogic. Asociativitatea și elementul neutru sunt explicate în lecția asociativă, comutativă, neutru, la tehnologic, iar un exemplu de lanț lung e în grupul ℤₙ pe turele unei recepții, la tehnologic. Restul clasei e în traseul clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

Legea	Lanțul $x_{1} \circ x_{2} \circ \dots \circ x_{n}$	Elementul absorbant
$x + y + c$	$x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} + (n - 1) c$	nu există
$(x - a) (y - a) + a$	$(x_{1} - a) (x_{2} - a) \dots (x_{n} - a) + a$	$a$
$k (x - a) (y - a) + a$	$k^{n - 1} (x_{1} - a) \dots (x_{n} - a) + a$	$a$

$a \circ x = x \circ a = a, pentru orice x$

Condiții: legea e asociativă. Verificare rapidă: calculează pas cu pas primii trei termeni și compară cu formula.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Proiectul Elenei

Domeniu: învățământ preșcolar.

Enunț. Reia proiectul din situația de pornire, cu legea $x \circ y = x + y - 1$ , pe $N^{*}$ . a) Calculează $(4 \circ 5) \circ 3$ și $4 \circ (5 \circ 3)$ . b) Câte zile durează proiectul? c) Elena adaugă la final o zi a porților deschise, care e chiar ultima zi a serbării. Se schimbă durata? d) Are legea element absorbant?

Rezolvare. a) $4 \circ 5 = 4 + 5 - 1 = 8$ , apoi $8 \circ 3 = 10$ . Pe cealaltă grupare, $5 \circ 3 = 7$ , apoi $4 \circ 7 = 10$ . b) $4 \circ 5 \circ 3 \circ 2 = 14 - 3 = 11$ zile. c) O etapă de o zi care se suprapune cu ziua de trecere este neutrul: $11 \circ 1 = 11 + 1 - 1 = 11$ , deci proiectul rămâne de 11 zile. d) Un element absorbant $a$ ar cere $a \circ x = a$ , adică $a + x - 1 = a$ , deci $x = 1$ pentru orice $x$ , ceea ce nu se poate. Legea nu are element absorbant.

Capcană. Cine adună duratele, $4 + 5 + 3 + 2 = 14$ zile, numără de două ori cele trei zile de trecere. Rezultatul ar planifica proiectul cu trei zile prea lung.

Verificare. Numără zilele pe calendar: etapa 1 ocupă zilele 1–4, etapa 2 zilele 4–8, etapa 3 zilele 8–10, iar etapa 4 zilele 10–11. Ultima zi a proiectului este ziua 11.

Exemplul 2 — Ștafeta compunerilor

Domeniu: cerc de matematică.

Enunț. La cercul de matematică, 20 de elevi primesc cartonașe cu numerele de la 1 la 20 și se așază în șir, în ce ordine vor. Primul spune numărul său, iar fiecare elev compune numărul primit cu al său și îl transmite mai departe, cu legea asociativă și comutativă $x \circ y = - x y + 12 x + 12 y - 132$ . a) Scrie legea în forma cu paranteze. b) Ce număr spune ultimul elev? c) Ce ar spune ultimul elev dacă în șir ar fi doar elevii cu 10, 11 și 13?

Rezolvare. a) $- (x - 12) (y - 12) + 12 = - (x y - 12 x - 12 y + 144) + 12 = - x y + 12 x + 12 y - 132$ . b) Numărul 12 absoarbe: $x \circ 12 = - (x - 12) \cdot 0 + 12 = 12$ . Cartonașul 12 e în șir, deci, oricum s-ar așeza elevii, ultimul spune 12. c) $10 \circ 11 = - (- 2) (- 1) + 12 = 10$ , apoi $10 \circ 13 = - (- 2) \cdot 1 + 12 = 14$ .

Capcană. Cine crede că ordinea elevilor schimbă rezultatul începe să calculeze 19 compuneri. Asociativitatea și comutativitatea permit mutarea cartonașului 12 oriunde, iar el decide tot.

Verificare. Cu formula lanțului, pentru 10, 11 și 13: $(- 1)^{2} \cdot (- 2) \cdot (- 1) \cdot 1 + 12 = 2 + 12 = 14$ , cât ai obținut pas cu pas.

Exemplul 3 — Lanțul fără element absorbant

Domeniu: pregătirea unei fișe de lucru.

Enunț. Ioana pregătește o fișă pentru colegi și vrea un lanț în care elementul absorbant să lipsească, ca să se lucreze cu formula. Alege legea asociativă $x \circ y = 3 x y + 9 x + 9 y + 24$ . a) Scrie legea în forma cu paranteze și spune ce număr absoarbe. b) Calculează $(- 2) \circ (- 1) \circ 0$ cu formula lanțului. c) Verifică pas cu pas.

Rezolvare. a) $3 (x + 3) (y + 3) - 3 = 3 x y + 9 x + 9 y + 27 - 3 = 3 x y + 9 x + 9 y + 24$ , deci absoarbe $- 3$ . b) Lanțul nu conține $- 3$ . Cu formula, $3^{2} \cdot (- 2 + 3) (- 1 + 3) (0 + 3) - 3 = 9 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 - 3 = 51$ . c) $(- 2) \circ (- 1) = 3 \cdot 1 \cdot 2 - 3 = 3$ , apoi $3 \circ 0 = 3 \cdot 6 \cdot 3 - 3 = 51$ .

Capcană. Cine pune $k$ la puterea $n$ , nu $n - 1$ , obține $27 \cdot 6 - 3 = 159$ . La trei termeni sunt doar două compuneri, deci factorul 3 apare de două ori.

Verificare. Pe altă grupare: $(- 1) \circ 0 = 3 \cdot 2 \cdot 3 - 3 = 15$ , apoi $(- 2) \circ 15 = 3 \cdot 1 \cdot 18 - 3 = 51$ .

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: absorbantul scris ca putere

Domeniu: fără context.

Enunț. Exemplul urmează forma Subiectului al II-lea din probele M_pedagogic, fără context. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \frac{x y}{2} - 8 x - 8 y + 144$ . a) Arătați că $x * y = \frac{1}{2} (x - 16) (y - 16) + 16$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Arătați că $x * 16 = 16 * x = 16$ , pentru orice număr real $x$ . c) Arătați că $e = 18$ este elementul neutru al legii. d) Calculați $2^{0} * 2^{1} * 2^{2} * \dots * 2^{10}$ . e) Calculați $1 * 2 * 3 * \dots * 300$ .

Rezolvare. a) $\frac{1}{2} (x - 16) (y - 16) + 16 = \frac{x y}{2} - 8 x - 8 y + 128 + 16 = \frac{x y}{2} - 8 x - 8 y + 144$ . b) $x * 16 = \frac{1}{2} (x - 16) \cdot 0 + 16 = 16$ , iar $16 * x = 16$ la fel. c) $x * 18 = \frac{1}{2} (x - 16) \cdot 2 + 16 = x$ , iar forma e simetrică în $x$ și $y$ . d) Al cincilea termen este $2^{4} = 16$ . Grupăm: $(2^{0} * \dots * 2^{3}) * 16 * (2^{5} * \dots * 2^{10}) = 16$ . e) În lanț apare $256 = 16$ , deci rezultatul este tot 16.

Capcană. Cine caută în lanțul de puteri numărul 16 „scris ca atare” nu-l vede și începe să calculeze. Elementul absorbant poate fi scris ca $2^{4}$ sau ca $256$ ; contează valoarea, nu felul în care e scris.

Verificare. Pe un lanț scurt: $8 * 16 = \frac{1}{2} \cdot (- 8) \cdot 0 + 16 = 16$ , apoi $16 * 32 = 16$ . La c), cu un număr: $10 * 18 = \frac{1}{2} \cdot (- 6) \cdot 2 + 16 = 10$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pe ℝ se definește legea asociativă $x \circ y = x + y + 8$ . Calculează $1 \circ 2 \circ 3 \circ \dots \circ 10$ .

2. Pe ℝ se definește legea asociativă $x \circ y = 2 x y + 16 x + 16 y + 120$ . Arată că $x \circ y = 2 (x + 8) (y + 8) - 8$ și calculează $(- 10) \circ (- 9) \circ \dots \circ (- 1)$ .

3. Pe ℝ se definește legea asociativă $x \circ y = - 2 x y - 12 x - 12 y - 78$ . Arată că $- 6$ este element absorbant și calculează $(- 8) \circ (- 7) \circ (- 6) \circ (- 5) \circ (- 4)$ .

4. Pe ℝ se definește legea asociativă $x \circ y = 4 x y + 8 x + 8 y + 14$ . Calculează $(- 1) \circ 0 \circ 1$ cu formula lanțului și verifică pas cu pas.

Nivelul 2 — situații

5. Andrei leagă în serie trei mașini cu două intrări, cu regula $x \circ y = (x - 35) (y - 35) + 35$ : rezultatul primei mașini intră în a doua, împreună cu un număr nou, și tot așa. a) Ce iese pentru numerele 37, 38 și 39? b) Ce iese pentru 36, 40 și 44? c) Ce iese dacă un copil pune 35 în oricare fantă?

6. Matei a calculat $7 \circ 8 \circ 9$ pentru legea asociativă $x \circ y = \frac{x y}{2} - 5 x - 5 y + 60$ și a scris: „rezultatul este 10, fiindcă 10 absoarbe”. a) Arată că 10 absoarbe. b) Unde a greșit Matei? c) Calculează corect lanțul.

7. O educatoare are cartonașe cu numerele de la 1 la 10. Un copil trage trei cartonașe și le compune, în orice ordine, cu legea asociativă și comutativă $x \circ y = 5 x y - 20 x - 20 y + 84$ . a) Ce număr absoarbe? b) Când este rezultatul egal cu acest număr? c) Ce probabilitate are copilul să obțină acest rezultat?

8. O tabără școlară de vară e organizată în ture de câte 7 zile, iar ziua de schimb dintre două ture e comună: ultima zi a unei ture e prima zi a turei următoare. a) Câte zile durează o vacanță de 4 ture legate? b) Câte ture legate încap exact într-un sezon de 37 de zile?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \frac{x y}{2} - 3 x - 3 y + 24$ . a) Arătați că $x * 6 = 6$ , pentru orice număr real $x$ . b) Calculați $1 * 2 * 3 * \dots * 2026$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \frac{x y}{3} - 9 x - 9 y + 270$ . Calculați $3^{0} * 3^{1} * 3^{2} * 3^{3} * 3^{4} * 3^{5}$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = x + y - \frac{x y}{5}$ . a) Arătați că $x \circ y = - \frac{1}{5} (x - 5) (y - 5) + 5$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Calculați $1 \circ 2 \circ 3 \circ \dots \circ 40$ .

12. (Sinteză.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea asociativă $x \circ y = x + y + 21$ . a) Arătați că $1 \circ 2 \circ \dots \circ n = \frac{n ( n + 1 )}{2} + 21 (n - 1)$ , pentru orice număr natural $n \geq 2$ . b) Determinați numărul natural $n$ pentru care $1 \circ 2 \circ \dots \circ n = 244$ . c) Arătați că legea nu are element absorbant.

Răspunsuri și verificări

1. Lanțul are 10 termeni, deci 9 compuneri: $55 + 9 \cdot 8 = 127$ . Verificare: $1 \circ 2 \circ 3 = 6 + 2 \cdot 8 = 22$ , iar pas cu pas $1 \circ 2 = 11$ și $11 \circ 3 = 22$ .

2. $2 (x + 8) (y + 8) - 8 = 2 x y + 16 x + 16 y + 128 - 8 = 2 x y + 16 x + 16 y + 120$ . Numărul $- 8$ absoarbe și apare în lanț, deci rezultatul este $- 8$ . Verificare: $(- 10) \circ (- 8) = 2 \cdot (- 2) \cdot 0 - 8 = - 8$ .

3. Legea este $- 2 (x + 6) (y + 6) - 6$ , deci $x \circ (- 6) = - 2 (x + 6) \cdot 0 - 6 = - 6$ și la fel $(- 6) \circ x = - 6$ . Lanțul conține $- 6$ , deci rezultatul este $- 6$ . Verificare: $(- 8) \circ (- 7) = - 2 \cdot (- 2) \cdot (- 1) - 6 = - 10$ , iar $(- 10) \circ (- 6) = - 6$ .

4. Legea este $4 (x + 2) (y + 2) - 2$ . Cu formula: $4^{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 - 2 = 96 - 2 = 94$ . Verificare: $(- 1) \circ 0 = 4 \cdot 1 \cdot 2 - 2 = 6$ , iar $6 \circ 1 = 4 \cdot 8 \cdot 3 - 2 = 94$ .

5. a) $37 \circ 38 = 2 \cdot 3 + 35 = 41$ , apoi $41 \circ 39 = 6 \cdot 4 + 35 = 59$ . b) 36 e neutrul, deci rezultatul e $40 \circ 44 = 5 \cdot 9 + 35 = 80$ . c) Iese 35, fiindcă 35 absoarbe. Verificare: cu formula, $2 \cdot 3 \cdot 4 + 35 = 59$ .

6. a) Legea este $\frac{1}{2} (x - 10) (y - 10) + 10$ , iar $x \circ 10 = \frac{1}{2} (x - 10) \cdot 0 + 10 = 10$ . b) Numărul 10 nu apare în lanț, deci regula elementului absorbant nu se aplică. c) $(\frac{1}{2})^{2} \cdot (- 3) \cdot (- 2) \cdot (- 1) + 10 = - \frac{6}{4} + 10 = \frac{17}{2}$ . Verificare: $7 \circ 8 = \frac{1}{2} \cdot 6 + 10 = 13$ , iar $13 \circ 9 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (- 1) + 10 = \frac{17}{2}$ .

7. a) Legea este $5 (x - 4) (y - 4) + 4$ , deci absoarbe 4. b) Rezultatul este $25 (x - 4) (y - 4) (z - 4) + 4$ , egal cu 4 doar dacă un factor e 0, adică doar dacă unul dintre cartonașe este 4. c) Sunt $C_{10}^{3} = 120$ de alegeri, iar $C_{9}^{3} = 84$ nu conțin cartonașul 4. Probabilitatea este $1 - \frac{84}{120} = \frac{3}{10}$ . Verificare: alegerile cu 4 sunt $C_{9}^{2} = 36$ , iar $\frac{36}{120} = \frac{3}{10}$ .

8. a) Cu legea $x \circ y = x + y - 1$ : $7 \circ 7 \circ 7 \circ 7 = 28 - 3 = 25$ de zile. b) $n$ ture durează $7 n - (n - 1) = 6 n + 1$ zile. Din $6 n + 1 = 37$ rezultă $n = 6$ ture. Verificare: 6 ture încep în zilele 1, 7, 13, 19, 25 și 31, iar ultima se termină în ziua 37.

9. a) Legea este $\frac{1}{2} (x - 6) (y - 6) + 6$ , deci $x * 6 = \frac{1}{2} (x - 6) \cdot 0 + 6 = 6$ . b) Numărul 6 apare în lanț, iar legea e asociativă: $(1 * \dots * 5) * 6 * (7 * \dots * 2026) = 6$ . Rezultatul este 6. Verificare: $5 * 6 = 6$ și $6 * 7 = 6$ .

10. Legea este $\frac{1}{3} (x - 27) (y - 27) + 27$ , deci 27 absoarbe. În lanț apare $3^{3} = 27$ , deci rezultatul este 27. Verificare: $(3^{0} * 3^{1} * 3^{2}) * 27 = 27$ , oricare ar fi $3^{0} * 3^{1} * 3^{2}$ ; de pildă $1 * 3 = \frac{1}{3} \cdot (- 26) \cdot (- 24) + 27 = 235$ , iar $235 * 27 = 27$ .

11. a) $- \frac{1}{5} (x - 5) (y - 5) + 5 = - \frac{x y}{5} + x + y - 5 + 5 = x + y - \frac{x y}{5}$ . b) Numărul 5 absoarbe, iar în lanț apare $25 = 5$ . Rezultatul este 5. Verificare: $25 \circ 2 = 5 + 2 - 2 = 5$ .

12. a) Lanțul are $n$ termeni și $n - 1$ compuneri, fiecare adaugă 21: rezultatul e $1 + 2 + \dots + n + 21 (n - 1)$ . b) $\frac{n ( n + 1 )}{2} + 21 (n - 1) = 244$ dă $n^{2} + 43 n - 530 = 0$ , adică $(n - 10) (n + 53) = 0$ , deci $n = 10$ . c) Din $a \circ x = a$ ar rezulta $x = - 21$ pentru orice $x$ , ceea ce nu se poate. Verificare: $1 \circ 2 \circ \dots \circ 10 = 55 + 189 = 244$ .

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), compuneri cu cel puțin trei operanzi s-au cerut în 31 din cele 60 de probe din 2013–2026, cu 36 de cerințe (11 scrise cu „…”), la Subiectul al II-lea. Separat, în 9 probe s-a cerut să arăți că un anumit număr absoarbe; în 7 dintre ele a urmat o cerință cu cel puțin trei operanzi. Legea a fost dată ca asociativă în enunțul a 22 de probe.

Simularea din 2018, cerința 6: lanțul $2^{0} * 2^{1} * \dots * 2^{2018}$ conține elementul absorbant scris ca $2^{2}$ ; e pasul 3 din Metodă, iar pagina probei dă 2 puncte pentru elementul absorbant și 3 puncte pentru gruparea lanțului.
August 2025, cerința 5: lanțul de puteri ale lui 3 conține $3^{2} = 9$ ; pagina probei dă tot 2 puncte pentru elementul absorbant și 3 puncte pentru grupare.
Iunie 2017, cerința 5: legea e de forma $x + y + c$ , fără element absorbant, iar lanțul $1 * 2 * \dots * 10$ se calculează prin grupări de câte doi termeni, ca în rezolvarea de pe pagina probei; formula de la pasul 4 dă același rezultat: $55 + 9 \cdot (- 6) = 1$ . Pagina probei dă 3 puncte pentru prima grupare și 2 puncte pentru rezultat.

Exercițiile 9, 10 și 11 reiau lanțurile cu elementul absorbant scris ca număr, ca putere și ca radical.

Greșeli care costă puncte

Aplici regula elementului absorbant când el nu e în lanț → Matei a scris 10 în loc de $\frac{17}{2}$ ; cum o prinzi: arăți cu degetul termenul din lanț egal cu elementul absorbant.
Nu recunoști elementul absorbant scris ca putere sau radical → în $2^{0} * \dots * 2^{10}$ cauți 16 și nu-l vezi; cum o prinzi: calculezi valoarea fiecărui termen până găsești $2^{4} = 16$ .
Pui $k^{n}$ în loc de $k^{n - 1}$ → la fișa Ioanei ies 159 în loc de 51; cum o prinzi: numeri compunerile, nu termenii, și verifici pas cu pas.
Muți parantezele la o lege neasociativă → rezultatul depinde de grupare; cum o prinzi: cauți în enunț cuvântul „asociativă” sau verifici asociativitatea întâi.
Uiți zilele de trecere → proiectul Elenei pare de 14 zile, nu de 11; cum o prinzi: numeri pe calendar ziua de început a fiecărei etape.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006). Conținutul atins este „Legi de compoziție, proprietăți”. La examen, compunerile cu cel puțin trei operanzi se cer la Subiectul al II-lea; în probele M_pedagogic 2013–2026 au apărut în 31 din cele 60 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă atelierul de creație durează 6 zile, nu 3? Cu legea $x \circ y = x + y - 1$ , lanțul devine $4 \circ 5 \circ 6 \circ 2 = 17 - 3 = 14$ zile: suma duratelor crește cu 3, iar zilele de trecere rămân trei. Formula „suma minus numărul de legături” rămâne aceeași, oricât ar dura fiecare etapă, cât timp etapele se leagă prin câte o zi comună.

De ce nu contează ordinea etapelor în proiectul Elenei? Fiindcă legea $x + y - 1$ e comutativă și asociativă, iar rezultatul depinde doar de suma duratelor și de numărul etapelor. Cu ordinea 2, 3, 4, 5 obții tot $14 - 3 = 11$ zile. Ordinea contează pentru copii, nu pentru durata totală a proiectului.

Poate o etapă să „absoarbă” tot proiectul? Nu: la legea $x \circ y = x + y - 1$ , orice etapă mai lungă de o zi adaugă zile, iar etapa de o zi nu schimbă nimic, fiindcă e neutrul. O etapă care să dea mereu aceeași durată, oricare ar fi celelalte, ar fi un element absorbant, iar această lege nu are așa ceva.

Cum recunosc elementul absorbant într-un lanț scris cu puteri sau radicali? Calculezi valoarea fiecărui termen până dai de el. La o lege care absoarbe 16, în $2^{0} * 2^{1} * \dots * 2^{10}$ îl găsești ca $2^{4}$ , iar în $1 * \dots * 300$ ca $256$ . Dacă niciun termen nu are valoarea lui, folosești formula lanțului.

Cât de des a cerut Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) lanțuri lungi? În probele M_pedagogic 2013–2026, compuneri cu cel puțin trei operanzi s-au cerut în 31 din cele 60 de probe, cu 36 de cerințe. În 13 dintre ele lanțul conținea elementul absorbant, scris ca număr, putere, radical sau fracție; restul au fost lanțuri cu legi de forma $x + y + c$ , comparări de grupări și ecuații, inecuații sau identități cu compuneri repetate, ca $x \circ x \circ x = 10$ .

Trebuie să arăt asociativitatea înainte să calculez lanțul? Dacă enunțul spune „lege asociativă”, nu; în 22 dintre cele 60 de probe M_pedagogic legea a fost dată așa. Dacă enunțul nu spune, asociativitatea trebuie știută, fiindcă fără ea nu ai voie să grupezi termenii în jurul elementului absorbant.