Care dintre limitele de mai jos se calculează direct prin înlocuire, fiindcă punctul aparține domeniului funcției?

$$\lim_{x \to -3}\left(e^{x} + \dfrac{5}{x}\right)$$

$$\lim_{x \to 0}\left(4 + \ln x\right)$$

$$\lim_{x \to 0}\left(x^{2} + \dfrac{9}{x}\right)$$

$$\lim_{x \to -2}\sqrt{x + 1}$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limite la capete și infinit

Cum calculez limita unui cost lângă zero?

Când numitorul tinde la $0^{+}$ și numărătorul este pozitiv, câtul crește fără oprire: $\frac{c}{0 ^{+}} = + \infty$ . Exemplu: costul pe piesă $C (n) = \frac{480}{n} + 2, 5 n$ lei, cu $n$ sute de piese pe lot. Când $n \to 0^{+}$ , $\frac{480}{n} \to + \infty$ , iar $2, 5 n \to 0$ , deci $lim C = + \infty$ . Verifici: la $n = 0, 1$ costul este $4800, 25$ lei, mare și pozitiv.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

O limită spune încotro merge valoarea unei funcții când variabila se apropie de un punct sau de unul dintre capetele dreptei. Pentru funcțiile uzuale, adică polinoame, puterile $x^{2}$ și $x^{3}$ , radicalii, $e^{x}$ , $ln x$ și câtul a două polinoame mici, ai nevoie de două instrumente: înlocuirea și tabelul comportării la capete.

Dacă punctul aparține domeniului, limita este chiar valoarea funcției, deci înlocuiești. Dacă este un capăt, de pildă $0^{+}$ pentru $ln x$ ori $\pm \infty$ , scrii fiecare termen cu limita lui, cu semn, și combini rezultatele prin regulile sumei, produsului și câtului: un număr împărțit la $\pm \infty$ dă $0$ , iar un număr nenul împărțit la $0^{+}$ dă $\pm \infty$ , după semn. Un cât de forma $\frac{a x + b}{x}$ se rescrie $a + \frac{b}{x}$ , ca să se vadă limita.

Capcanele sunt un infinit scris fără semn, înlocuirea unui punct din afara domeniului, tratarea lui $\infty$ ca pe un număr, de unde apare $\frac{\infty}{\infty} = 1$ , și diferența $\infty - \infty$ , care nu are regulă și se ocolește scoțând factor termenul de grad maxim. Atenție și la $ln (1 + x)$ lângă $0$ : argumentul tinde la $1$ , nu la $0$ .

Verifici cu două valori ale variabilei, tot mai apropiate de capăt: rezultatele trebuie să meargă spre limita găsită, cu același semn, iar unitatea mărimii se păstrează la fiecare rând.

De reținut

$\frac{c}{0 ^{+}} = + \infty$ pentru $c > 0$ și $- \infty$ pentru $c < 0$
un zero din afara domeniului nu se înlocuiește: cauți limita laterală
costul total urcă la ambele capete când un termen explodează și celălalt crește

Greșeala tipică

Se înlocuiește $n = 0$ și se scrie „împărțire la zero, deci $0$ ”. Corect: la $n \to 0^{+}$ costul $\frac{480}{n}$ crește fără oprire, deci limita este $+ \infty$ , nu $0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre limitele de mai jos se calculează direct prin înlocuire, fiindcă punctul aparține domeniului funcției?
- a) $lim_{x \to 0} (4 + ln x)$
- b) $lim_{x \to 0} (x^{2} + \frac{9}{x})$
- c) $lim_{x \to - 3} (e^{x} + \frac{5}{x})$
- d) $lim_{x \to - 2} x + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $lim_{x \to - 3} (e^{x} + \frac{5}{x})$

Doar în a treia limită punctul $- 3$ aparține domeniului: $e^{- 3}$ și $\frac{5}{- 3}$ au sens, deci înlocuiești. În prima, $ln 0$ nu există, în a doua, $\frac{9}{0}$ nu are sens, iar în a patra, pentru $x = - 2$ , sub radical ar fi $- 1$ .
Cât este $lim_{x \to 0^{+}} (7 + 3 ln x)$ ?
- a) $- \infty$
- b) $7$
- c) $+ \infty$
- d) limita nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \infty$

Spre $0^{+}$ , $ln x$ coboară fără oprire, deci $3 ln x \to - \infty$ și $7 + (- \infty) = - \infty$ . Varianta $7$ presupune $ln 0 = 0$ , varianta $+ \infty$ citește logaritmul ca pe o funcție care urcă, iar „limita nu există” ignoră tabelul funcțiilor uzuale.
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{9 x - 4}{x ^{2} + 13}$ . Cât este $lim_{x \to + \infty} x f (x)$ ?
- a) $0$
- b) $9$
- c) $+ \infty$
- d) $\frac{9}{13}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $9$

Înmulțești: $x f (x) = \frac{9 x ^{2} - 4 x}{x ^{2} + 13}$ , apoi împarți la $x^{2}$ și obții $\frac{9 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{13}{x ^{2}}} \to 9$ . Varianta $0$ lasă factorul $x$ pe dinafară și ia doar limita lui $f$ , varianta $+ \infty$ ia doar limita lui $x$ , iar $\frac{9}{13}$ împarte coeficienții de gradul I la termenul liber al numitorului.

Întrebări conexe

Ce limită are același cost când lotul crește fără oprire?

Termenul $\frac{480}{n}$ tinde la $0$ , dar $2, 5 n$ crește fără oprire, deci $C (n) \to + \infty$ . Verifici cu $n = 1000$ : $0, 48 + 2500 = 2500, 48$ lei. La ambele capete costul total urcă, iar minimul se află undeva între ele.

De ce nu pot pune $n = 0$ direct în formula costului?

Pentru că $\frac{360}{0}$ nu are sens: zero nu aparține domeniului. Folosești limita la $0^{+}$ , care arată că valoarea crește fără oprire. Înlocuirea directă merge doar pentru valori din domeniu: pentru $C (n) = \frac{360}{n} + 3 n$ și $n = 12$ obții $30 + 36 = 66$ lei.

Ce semn are limita dacă numărătorul este negativ?

Câtul $\frac{c}{0 ^{+}}$ cu $c < 0$ tinde la $- \infty$ . Pentru $\frac{- 90}{n}$ , cu $n \to 0^{+}$ , valorile sunt $- 900$ la $n = 0, 1$ și $- 9000$ la $n = 0, 01$ . Semnul numărătorului și semnul numitorului hotărăsc, împreună, semnul limitei infinite pe care o obții.

Se schimbă limita la zero dacă taxa de comandă se dublează?

Nu: orice număr pozitiv împărțit la $0^{+}$ crește fără oprire, deci limita rămâne $+ \infty$ . Cu taxa dublă, $C (n) = \frac{960}{n} + 2, 5 n$ , iar la $n = 0, 1$ costul este $9600, 25$ lei în loc de $4800, 25$ . Se schimbă doar cât de repede urcă valorile, nu limita.

Cum verific o limită de cost fără să știu regulile?

Calculezi costul în două puncte tot mai apropiate de capăt și vezi încotro merg valorile: pentru $C (n) = \frac{300}{n} + 4 n$ obții $3000, 4$ la $n = 0, 1$ și $30000, 04$ la $n = 0, 01$ . Valorile se înmulțesc cu aproape 10 când $n$ se împarte la 10, deci cresc fără oprire, ceea ce confirmă limita $+ \infty$ .

Oamenii mai întreabă și: limita unui cost când cantitatea tinde la zero · limita unui cât cu numitorul care tinde la zero · câtul c supra zero plus · costul de comandare când comenzile sunt mici