Calculul limitelor uzuale, tehnologic

Cine gestionează stocul unui magazin compară mereu două costuri care merg în sensuri opuse: cu cât comandă mai rar, cu atât plătește mai puține comenzi, dar ține mai multă marfă în depozit. Elevul de tehnologic găsește aici, în clasa a XI-a, limitele funcțiilor uzuale strânse într-un singur loc: în puncte din domeniu, la capetele lui și la infinit. Cerințe pe această temă s-au dat la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), în Subiectul al III-lea.

Situația de pornire

Într-un magazin de bricolaj din Craiova, gestionara Mirela comandă de la furnizor găleți de lavabilă de 15 litri. Cererea este de 2 400 de găleți pe an, iar fiecare comandă costă 45 lei, pentru transport și documente. Găletile stau în depozit, iar stocarea costă 7,20 lei pe găleată și pe an; fiindcă marfa se vinde uniform, stocul mediu din depozit este jumătate din cantitatea comandată. Dacă Mirela comandă $Q$ găleți de fiecare dată, fișa de gestiune dă, pentru un an, cele două costuri din tabel și suma lor.

Întrebare: spre ce valori se îndreaptă cele trei costuri când comenzile devin tot mai mici, aproape de 0 găleți, și când devin tot mai mari, și ce spune asta despre mărimea comenzii pe care o alege Mirela?

De la situație la model

Într-un an sunt $\frac{2400}{Q}$ comenzi, deci costul de comandare este $45\cdot \frac{2400}{Q}=\frac{108000}{Q}$ lei. Stocul mediu este $\frac{Q}{2}$ găleți, deci costul de stocare este $7,2\cdot \frac{Q}{2}=3,6Q$ lei.

Ce este limita unei funcții uzuale?

Limita lui $f$ când $x$ tinde la $a$ este valoarea spre care se îndreaptă $f(x)$ cât timp $x$ se apropie de $a$; o scrii ${\lim }_{x\to a}f(x)$. Pentru $a$ poți pune un număr, un capăt al domeniului sau simbolurile $+\infty$ și $-\infty$, citite ca în lecția despre limite laterale. Funcții uzuale sunt cele din programă: polinoamele de gradul I și II, puterile $x^2$ și $x^3$, radicalii de ordin 2 și 3, exponențiala $e^x$, logaritmul $\ln x$ și raportul a două polinoame de grad cel mult 2.

Când este limita chiar valoarea funcției?

O funcție uzuală nu sare în interiorul domeniului ei: dacă $a$ aparține domeniului, ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$, deci înlocuiești. Pentru $C_c$ în $Q=144$ obții 750, iar pentru $\ln x$ în $x=1$ obții 0. Regula merge numai în puncte unde expresia are sens: nu înlocuiești $x=0$ în $\ln x$ sau în $\frac{1}{x}$, iar acolo întrebi limita la capătul domeniului.

Ce fac funcțiile uzuale la capete?

Forma graficului spune totul: $x^2$ și $x^3$ cresc fără oprire spre dreapta, $e^x$ urcă foarte repede spre dreapta și se lipește de axa $Ox$ spre stânga, iar $\ln x$ urcă încet spre dreapta și coboară fără oprire lângă $0^{+}$. Funcția $\frac{1}{x}$ se apropie de 0 la capetele $\pm \infty$ și explodează lângă 0. Valorile exacte sunt în tabelul din fișa de buzunar. Un polinom la $\pm \infty$ îl hotărăște termenul de grad maxim: $-2x^2+5x=x^2\left(-2+\frac{5}{x}\right)$, iar paranteza tinde la $-2$, deci limita este $(+\infty )\cdot (-2)=-\infty$.

Cum combini limitele?

Limita unei sume, a unui produs sau a unui cât se calculează din limitele termenilor, dacă rezultatul are sens. Cu infinit folosești regulile: $(+\infty )+(+\infty )=+\infty$; $c+(\pm \infty )=\pm \infty$; $c\cdot (\pm \infty )=\pm \infty$, cu semnul lui $c$, pentru $c\ne 0$; $\frac{c}{\pm \infty }=0$; $\frac{c}{0^{+}}=+\infty$ pentru $c>0$ și $-\infty$ pentru $c<0$, iar la $0^{-}$ semnele se inversează. Programa numește cazuri exceptate trei situații care nu se pot calcula așa: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$; le rezolvă lecția despre cazurile exceptate la limite. Nici diferența $(+\infty )-(+\infty )$ nu are regulă: la un polinom o ocolești scoțând factor termenul de grad maxim, ca mai sus.

Cum rescrii o expresie ca să poți aplica tabelul?

Uneori o expresie se împarte în funcții uzuale: $\frac{x+6}{x}=1+\frac{6}{x}$, iar $\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}$, după împărțirea numărătorului și a numitorului la $x^2$. Din prima, limita la $+\infty$ este $1+0=1$, iar din a doua $\frac{1}{1+0}=1$; la ambele, regulile de mai sus se aplică fără nicio problemă.

Metoda pas cu pas

1. Spune încotro merge variabila: spre un punct $a$ din domeniu, spre un capăt al domeniului, de exemplu $0^{+}$, sau spre $+\infty$ ori $-\infty$. Scrie întâi domeniul funcției, ca să știi dacă punctul îi aparține. Dacă funcția are mai multe ramuri sau un punct de legătură, scrie limitele laterale, ca în lecția despre ele.
2. Înlocuiește fiecare funcție uzuală cu limita ei: într-un punct din domeniu, cu valoarea; la un capăt, cu valoarea din tabelul fișei. Scrie fiecare limită pe un rând, cu semnul ei, nu doar „infinit”, și păstrează unitatea de măsură a mărimii, dacă expresia vine dintr-o situație.
3. Combină limitele cu regulile sumei, produsului și câtului. Dacă ajungi la $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ sau $0\cdot \infty$, rescrie expresia ca în ultimul paragraf al modelului sau treci la lecția despre nedeterminări. Dacă împarți un număr nenul la 0, nu spui „imposibil”: te uiți la semnul lui 0, adică la limita laterală, și la semnul numărătorului.
4. Verifică: calculează funcția în două valori tot mai apropiate de capăt, de exemplu pentru $Q=4000$ și $Q=400000$, și vezi dacă rezultatele merg spre limita găsită, cu același semn.

Ordinea contează: cine sare peste pasul 1 poate înlocui un punct din afara domeniului, iar cine sare peste pasul 4 nu prinde un semn schimbat sau un termen uitat. Când expresia are mai mulți termeni, treci prin pașii 1 și 2 pentru fiecare termen, apoi aplici regulile de combinare. Dacă ai de ales între a rescrie expresia și a o lăsa așa, rescrie-o numai când un termen ar ieși altfel „nedeterminat”; în rest, tabelul și regulile ajung.

Fișa de buzunar

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a),a\in D,f\text{ uzuala˘}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }(f\pm g),\underset{x\to a}{\lim }(f\cdot g),\underset{x\to a}{\lim }\frac{f}{g}\text{ se calculeaza˘ din limitele lui }f\text{ și }g$$

Condiții: înlocuirea merge numai în puncte din domeniu, iar $\sqrt{x}$ și $\ln x$ nu au sens pentru $x<0$. Cu infinit: $c+\infty$ rămâne $\pm \infty$, iar $\frac{c}{\infty }=0$ pentru orice număr $c$. Nu se calculează așa: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $0\cdot \infty$, $\infty -\infty$. Verificare rapidă: pune în funcție două valori tot mai apropiate de capăt și urmărește încotro merg rezultatele.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Costurile comenzii de lavabilă

Domeniu: comert.

Enunț. Reia situația lui Mirela, cu $C_c(Q)=\frac{108000}{Q}$, $C_s(Q)=3,6Q$ și $C=C_c+C_s$. a) Calculează limitele celor trei costuri când $Q\to 0^{+}$ și când $Q\to +\infty$. b) Ce spun ele despre mărimea comenzii?

Rezolvare. a) Când $Q\to 0^{+}$: ${\lim }_{Q\to 0^{+}}\frac{108000}{Q}=\frac{108000}{0^{+}}=+\infty$ și ${\lim }_{Q\to 0^{+}}3,6Q=0$, deci ${\lim }_{Q\to 0^{+}}\left(\frac{108000}{Q}+3,6Q\right)=(+\infty )+0=+\infty$. Când $Q\to +\infty$: ${\lim }_{Q\to +\infty }\frac{108000}{Q}=\frac{108000}{\infty }=0$ și ${\lim }_{Q\to +\infty }3,6Q=+\infty$, deci ${\lim }_{Q\to +\infty }\left(\frac{108000}{Q}+3,6Q\right)=0+(+\infty )=+\infty$. b) Costul total urcă fără oprire la ambele capete: comenzile foarte mici costă mult în transport și documente, cele foarte mari costă mult în stocare. Cel mai mic cost se află undeva între capete; dintre comenzile din tabel, cea de 144 de găleți are cel mai mic total, 1 268,4 lei pe an, iar comanda exactă a minimului o dă calculul cu derivata, în lecțiile următoare. Peste 2 400 de găleți, cererea unui an, nu se comandă în realitate, iar limita descrie doar formula.

Capcană. Cine se uită numai la costul de comandare, care scade spre 0, alege comanda cea mai mare din tabel, 480 de găleți, cu 225 lei. Costul total acolo este 1 953 lei, cu 684,6 lei mai mult pe an decât la 144 de găleți.

Verificare. Pentru $Q=4$ costul de comandare este $27000$ lei, iar pentru $Q=4000$ costul de stocare este $14400$ lei: ambele sunt mari, deci mergi spre $+\infty$ la capete. Cele două costuri se compensează numai între capete, ceea ce explică forma de U a graficului total din imagine; Mirela caută comanda în zona de jos a literei U, nu la vreun capăt.

Exemplul 2 — Reclama unei firme de curățenie

Domeniu: economic.

Enunț. O firmă de curățenie din Ploiești cheltuiește lunar $x$ sute de lei pe reclamă online și primește $N(x)=120+45\ln (1+x)$ clienți noi pe lună, pentru $x\ge 0$. a) Calculează $N(0)$ și ${\lim }_{x\to 0}N(x)$. b) Calculează ${\lim }_{x\to +\infty }N(x)$. c) Câți clienți aduc în plus 500 de lei, față de 0, și câți aduc următorii 500 de lei?

Rezolvare. a) Argumentul logaritmului tinde la $1+0=1$, iar $\ln 1=0$, deci ${\lim }_{x\to 0}N(x)=120+45\cdot 0=120=N(0)$ clienți: reclama nulă dă clienții aduși de recomandări. b) Când $x\to +\infty$, argumentul $1+x$ tinde la $+\infty$, iar $\ln$ urcă fără oprire, deci ${\lim }_{x\to +\infty }N(x)=120+45\cdot (+\infty )=+\infty$. c) $N(5)=120+45\ln 6\approx 200,6$, adică 80,6 clienți în plus față de $N(0)$; $N(10)=120+45\ln 11\approx 227,9$, deci următorii 500 de lei aduc doar 27,3 clienți. Limita infinită nu înseamnă un plafon al clienților: înseamnă că formula nu se oprește, deși fiecare sută de lei aduce tot mai puțin.

Capcană. Cine reține „$\ln$ tinde la $-\infty$ lângă 0” scrie ${\lim }_{x\to 0}N(x)=120+45\cdot (-\infty )=-\infty$, adică un număr negativ de clienți. Dar lângă 0 tinde la 0 variabila $x$, nu argumentul logaritmului, care tinde la 1.

Verificare. $N(1)=120+45\ln 2\approx 151,2$ este între $N(0)=120$ și $N(5)\approx 200,6$, iar $N(100)\approx 327,7$ este mai mare decât $N(10)$: valorile cresc încet, fără să sară și fără să se oprească. Cu calculatorul, $N(1000)\approx 430,9$ confirmă că valorile urcă foarte lent spre infinit.

Exemplul 3 — Carbonatarea betonului unui pod

Domeniu: constructii.

Enunț. La expertiza unui pod de beton armat, inginerul măsoară adâncimea de carbonatare: stratul în care aerul a scăzut alcalinitatea betonului, care nu mai apără armătura de rugină. Pentru betonul podului folosește modelul $x(t)=4,6\sqrt{t}$ milimetri, la $t$ ani de la turnare. Stratul de beton care acoperă armătura are 3,5 cm. a) Calculează ${\lim }_{t\to 0^{+}}x(t)$ și $x(25)$. b) După câți ani, rotunjit în sus, ajunge carbonatarea la armătură? c) Calculează ${\lim }_{t\to +\infty }x(t)$ și spune ce înseamnă.

Rezolvare. a) Lângă $0^{+}$, $\sqrt{t}$ tinde la 0, după tabelul din fișă, deci ${\lim }_{t\to 0^{+}}x(t)=4,6\cdot 0=0$ mm: betonul proaspăt nu e carbonatat. Apoi $x(25)=4,6\cdot 5=23$ mm. b) Lucrezi în aceeași unitate: 3,5 cm = 35 mm. Din $4,6\sqrt{t}=35$ rezultă $\sqrt{t}=\frac{35}{4,6}\approx 7,609$, deci $t\approx 57,9$, adică 58 de ani. c) $\sqrt{t}$ tinde la $+\infty$, deci ${\lim }_{t\to +\infty }x(t)=+\infty$: frontul carbonatării înaintează fără oprire, dar tot mai încet. În primii 25 de ani a avansat 23 mm, iar în următorii 25 de ani doar $4,6\left(\sqrt{50}-5\right)\approx 9,53$ mm.

Capcană. Cine compară 3,5 direct cu milimetrii din formulă obține $\sqrt{t}=3,5:4,6\approx 0,761$, adică $t\approx 0,58$ ani: armătura ar fi atinsă după 7 luni, ca la un pod care ruginește din primul an.

Verificare. Pe alt drum: când timpul crește de 4 ori, adâncimea se dublează, fiindcă $\sqrt{100}=10$ e dublul lui $\sqrt{25}=5$. Așadar $x(100)=2\cdot 23=46$ mm, iar formula dă tot $4,6\cdot 10=46$ mm. La 58 de ani, $x\approx 35,03$ mm, puțin peste 35 mm, iar la 57 de ani, $x\approx 34,73$ mm, încă sub.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: o funcție cu logaritm

Domeniu: lemn.

Enunț. Enunțul urmează modelul cerințelor din probe, cu alte numere: „Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2+5\ln x$. a) Arătați că ${\lim }_{x\to 1}f(x)=6$. b) Calculați ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$. c) Calculați ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$.”

Rezolvare. a) $1$ aparține domeniului, deci înlocuiești: ${\lim }_{x\to 1}f(x)=6\cdot 1^2+5\ln 1=6+0=6$. b) ${\lim }_{x\to 0^{+}}6x^2=0$ și ${\lim }_{x\to 0^{+}}5\ln x=5\cdot (-\infty )=-\infty$, deci ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=0+(-\infty )=-\infty$. c) ${\lim }_{x\to +\infty }6x^2=+\infty$ și ${\lim }_{x\to +\infty }5\ln x=+\infty$, deci ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=(+\infty )+(+\infty )=+\infty$: nu există nicio diferență de două valori infinite, deci nu e nevoie de rescriere.

Capcană. Cine înlocuiește direct $x=0$ în b) scrie $6\cdot 0+5\ln 0$, adică „5 ori ceva fără sens”. Zero nu aparține domeniului, iar răspunsul se citește din tabel, nu din înlocuire.

Verificare. Pentru $x=0,001$, $6x^2=0,000006$ și $5\ln x\approx -34,5$, deci $f(0,001)\approx -34,5$; pentru $x=10^{-9}$ obții aproximativ $-103,6$: valorile coboară fără oprire.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Cu tabelul din fișă, scrie: ${\lim }_{x\to -\infty }{x}^3$, ${\lim }_{x\to +\infty }\sqrt[3]{x}$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x$ și ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x$.

2. Calculează prin înlocuire: a) ${\lim }_{x\to 3}(2x^2-7x+11)$; b) ${\lim }_{x\to 5}\frac{4x-3}{x+2}$; c) ${\lim }_{x\to 0}(7-5e^x)$.

3. Calculează: a) ${\lim }_{x\to +\infty }(9x-2x^2)$; b) ${\lim }_{x\to -\infty }(x^3+9x)$; c) ${\lim }_{x\to +\infty }\left(6+\frac{15}{x^2}\right)$.

4. Calculează: a) ${\lim }_{x\to 0^{+}}\left(\frac{5}{x}+3\right)$; b) ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{-2}{x}$; c) ${\lim }_{x\to 0^{-}}\left(e^x+\frac{3}{x}\right)$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Un electrician alege un cablu de cupru de 80 m. Rezistența lui, în ohmi, este $R(S)=\frac{0,0175\cdot 80}{S}=\frac{1,4}{S}$, unde $S$ este secțiunea în mm² și 0,0175 ohmi·mm² pe metru este rezistivitatea cuprului; tabelul dă câteva valori.

a) Calculează $R(2,5)$. b) Spre ce valoare se îndreaptă $R$ când $S$ crește tot mai mult? c) Ce se întâmplă cu $R$ când $S\to 0^{+}$ și ce înseamnă pentru un cablu foarte subțire?

6. (Problemă aplicată.) Pe un șantier, plasa de protecție a schelei preia presiunea vântului $w(v)=0,613v^2$ pascali, unde $v$ este viteza vântului în m/s. a) Calculează $w(20)$, în pascali și în kN/m² (1 kN/m² = 1 000 Pa). b) Calculează ${\lim }_{v\to 0^{+}}w(v)$. c) Ce spune ${\lim }_{v\to +\infty }w(v)$ despre formulă, dacă schela se calculează la vântul de 27 m/s al zonei?

7. (Problemă aplicată.) Într-o livadă, reziduul unui tratament scade după formula $r(t)=2,4e^{-0,21t}$ mg/kg, la $t$ zile de la stropit. a) Calculează ${\lim }_{t\to 0}r(t)$. b) Calculează ${\lim }_{t\to +\infty }r(t)$. c) Limita legală e 0,5 mg/kg; după câte zile întregi de la stropit poți recolta?

8. (Problemă aplicată.) O cuvă cubică pentru un reactiv are volumul $V$ litri; latura ei, în decimetri, este $a(V)=\sqrt[3]{V}$. a) Calculează $a(1000)$. b) Calculează ${\lim }_{V\to +\infty }a(V)$ și ${\lim }_{V\to 0^{+}}a(V)$. c) Ce volum are o cuvă cu latura de 6 dm?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{13x+7}{x}$. Calculați ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(3x-8)e^x$. Arătați că ${\lim }_{x\to 0}f(x)=-8$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x^3-2\ln x$. Arătați că ${\lim }_{x\to 1}f(x)=5$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x+9}{x^2+11}$. Arătați că ${\lim }_{x\to +\infty }xf(x)=4$.

Răspunsuri și verificări

1. $-\infty$; $+\infty$; $-\infty$; $0$. Verificare: pentru $x=-1000$, $(-1000{)}^3=-1000000000$, deci valorile negative cresc în modul.

2. a) $2\cdot 9-21+11=8$. b) $\frac{4\cdot 5-3}{5+2}=\frac{17}{7}$. c) $7-5e^0=2$. Verificare: pentru $x=0,001$, $7-5e^{0,001}\approx 1,995$, aproape de 2.

3. a) $x^2\left(\frac{9}{x}-2\right)$, deci $(+\infty )\cdot (-2)=-\infty$. b) Termenul $x^3$ decide: $-\infty$. c) $6+0=6$. Verificare: pentru $x=-1000$, $(-1000{)}^3+9\cdot (-1000)=-1000009000$, iar pentru $x=1000$, $6+\frac{15}{1000^2}=6,000015$.

4. a) $\frac{5}{0^{+}}+3=+\infty$. b) $\frac{-2}{0^{-}}=+\infty$, fiindcă minus pe minus dă plus. c) $e^0+\frac{3}{0^{-}}=1+(-\infty )=-\infty$. Verificare: pentru $x=0,001$, $\frac{5}{0,001}+3=5003$, iar pentru $x=-0,001$, $\frac{-2}{-0,001}=2000$ și $e^{-0,001}+\frac{3}{-0,001}\approx -2999$.

5. a) $R(2,5)=\frac{1,4}{2,5}=0,56$ ohmi, pentru o secțiune de 2,5 mm². b) ${\lim }_{S\to +\infty }\frac{1,4}{S}=0$: $R$ se îndreaptă spre 0 ohmi, fără să ajungă la 0. c) ${\lim }_{S\to 0^{+}}\frac{1,4}{S}=+\infty$: un conductor tot mai subțire are rezistență tot mai mare. Verificare: $0,5\cdot 2,8=1,4$, iar $16\cdot 0,0875=1,4$.

6. a) $w(20)=0,613\cdot 400=245,2$ Pa, adică 0,2452 kN/m². b) ${\lim }_{v\to 0^{+}}0,613v^2=0$ Pa. c) ${\lim }_{v\to +\infty }0,613v^2=+\infty$: formula nu are plafon, de aceea schela se calculează la vântul de calcul al zonei, cu $w(27)=0,613\cdot 729\approx 446,9$ Pa. Verificare: viteza dublă dă presiune de 4 ori mai mare, $4\cdot 245,2=980,8$, iar $0,613\cdot 1600=980,8$ Pa.

7. a) ${\lim }_{t\to 0}r(t)=2,4\cdot e^0=2,4$ mg/kg. b) Exponentul tinde la $-\infty$, deci ${\lim }_{t\to +\infty }r(t)=2,4\cdot 0=0$. c) $r(7)\approx 0,552$ și $r(8)\approx 0,447$: poți recolta după 8 zile. Verificare: $2,4\cdot e^{-1,68}\approx 0,447<0,5$.

8. a) $\sqrt[3]{1000}=10$ dm. b) ${\lim }_{V\to +\infty }a(V)={\lim }_{V\to +\infty }\sqrt[3]{V}=+\infty$ și ${\lim }_{V\to 0^{+}}a(V)={\lim }_{V\to 0^{+}}\sqrt[3]{V}=0$. c) $6^3=216$ litri. Verificare: $10^3=1000$ și $\sqrt[3]{216}=6$.

9. Rescrii $f(x)=\frac{13x+7}{x}=13+\frac{7}{x}$. Limita lui $\frac{7}{x}$ la $+\infty$ este 0. Deci ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=13+0=13$. Verificare: $\frac{13\cdot 1000+7}{1000}=13,007$.

10. Funcția este definită în 0, deci înlocuiești. ${\lim }_{x\to 0}f(x)=(3\cdot 0-8)\cdot e^0$. Rezultă $-8\cdot 1=-8$. Verificare: $(3\cdot 0,01-8)\cdot e^{0,01}\approx -8,05$.

11. Punctul 1 aparține domeniului $(0;+\infty )$, deci înlocuiești. ${\lim }_{x\to 1}f(x)=5\cdot 1^3-2\ln 1$. Cum $\ln 1=0$, rezultă $5-0=5$. Verificare: $5\cdot 1,001^3-2\ln 1,001\approx 5,013$.

12. Înmulțești: $xf(x)=\frac{4x^2+9x}{x^2+11}$. Împarți numărătorul și numitorul la $x^2$: $\frac{4+\frac{9}{x}}{1+\frac{11}{x^2}}$. Limita este $\frac{4+0}{1+0}=4$. Verificare: $\frac{1000\cdot (4\cdot 1000+9)}{1000^2+11}\approx 4,009$.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, tema a apărut în 14 din cele 83 de probe, toate la Subiectul al III-lea, problema 1: în 8 se cere chiar limita unei funcții uzuale, iar în 6 limita e un pas al ecuației asimptotei oblice, din lecția despre asimptote. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele funcției:

• Iunie 2013, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1a: funcția este un cât cu $x$ la numitor, iar limita se cere la $+\infty$; baremul probei dă 3 puncte pentru rescrierea ca $1+\frac{1}{x}$ și 2 puncte pentru limita ei, ambele din pasul 3 din Metodă.
• August 2014, Subiectul al III-lea, exercițiul 1a: funcția este diferența dintre un pătrat și logaritm, iar limita se cere în punctul 1; baremul probei dă 2 puncte pentru limita scrisă (pasul 1) și 3 puncte pentru înlocuirea în expresie (pasul 2).
• Proba specială din 2014, Subiectul al III-lea, exercițiul 1a: funcția se obține înmulțind un binom de gradul I cu $e^x$, iar limita se cere în punctul 0; baremul probei dă 2 puncte pentru limita scrisă (pasul 1) și 3 puncte pentru înlocuire (pasul 2).
• Proba specială din 2024, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: funcția este un cât de forma $\frac{x}{x^2+a}$, iar cerința este limita produsului $xf(x)$ la $+\infty$; baremul probei dă 3 puncte pentru rescrierea cu $x^2$ scos factor și 2 puncte pentru rezultat, ambele din pasul 3.

Exercițiile 9–12 exersează aceleași patru tipuri, cu numere proprii. Mai departe, limitele cu cazuri exceptate sunt în nedeterminările de tip 0/0, iar rezultatele din acest tabel se întorc în asimptotele graficului. Restul clasei e în traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Scrii „$\infty$” fără semn, sau cu semnul greșit → cum o prinzi: pune o valoare mare în funcție; $x^3$ la $-1000$ dă un număr negativ, deci limita este $-\infty$.
• Înlocuiești în afara domeniului, de exemplu $\ln 0$ sau $\frac{1}{0}$ → cum o prinzi: scrii domeniul înainte de a înlocui și treci la capătul $0^{+}$, cu tabelul.
• Amesteci $\ln (1+x)$ lângă 0 cu $\ln x$ lângă $0^{+}$ → cum o prinzi: calculezi mai întâi limita argumentului; la reclama din exemplul 2 el tinde la 1, nu la 0.
• Tratezi $\infty$ ca număr și scrii $\frac{\infty }{\infty }=1$ → cum o prinzi: $\frac{x+6}{x}$ dă 1, dar $\frac{2x}{x}$ dă 2, deci nu există o regulă „$\infty$ împărțit la $\infty$”.
• Reții un singur cost din două → cum o prinzi: la comanda lui Mirela, cea mai mare comandă din tabel are cel mai mic cost de comandare, dar un total cu 684,6 lei mai mare decât la 144 de găleți.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul limitelor funcțiilor uzuale se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 14 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

De ce nu comandă Mirela toată cererea anului, 2 400 de găleți, o singură dată?

La 2 400 de găleți costul de comandare este doar 45 lei, dar cel de stocare urcă la 8 640 lei, deci totalul este 8 685 lei. Asta înseamnă de aproape 7 ori mai mult decât cei 1 268,4 lei de la 144 de găleți. Limita spune același lucru: la comenzi mari costul de stocare domină.

Ce se schimbă dacă furnizorul cere 60 lei pe comandă, în loc de 45?

Costul de comandare devine $\frac{2400\cdot 60}{Q}=\frac{144000}{Q}$, iar limitele rămân aceleași: $+\infty$ lângă $0^{+}$ și 0 la $+\infty$, ca la 45 lei. Se schimbă valorile, nu comportarea: la $Q=144$ costul total ar fi $1000+518,4=1518,4$ lei pe an, cu 250 lei mai mult.

Cum verific la calculator că $\frac{108000}{Q}$ se îndreaptă spre 0?

Calculezi funcția pentru două valori mari ale lui $Q$. Pentru $Q=10000$ obții 10,8 lei, iar pentru $Q=1000000$ obții 0,108 lei: valoarea scade de 100 de ori când $Q$ crește de 100 de ori, deci merge spre 0, fără să-l atingă vreodată.

Ce înseamnă $+\infty$ în răspunsul lui Mirela, dacă o comandă nu poate depăși 2 400 de găleți?

Nu înseamnă un cost pe care îl plătește, ci felul în care se comportă formula: pe măsură ce $Q$ crește, costul de stocare depășește orice sumă dată. În depozit, comanda se oprește la cererea anului, deci limita folosește la citirea formulei, nu la o decizie de comandă.

La ce subiect din Bacalaureatul M3 apar limitele funcțiilor uzuale?

În probele din 2013–2026 apar la Subiectul al III-lea, problema 1, în 14 din cele 83 de probe. În 8 dintre ele se cere chiar limita unei funcții, iar în 6 limita este pasul dinaintea ecuației asimptotei oblice, pe care o lucrezi în lecția despre asimptote.

Când înlocuiesc și când caut în tabel?

Înlocuiești când punctul aparține domeniului, de exemplu $Q=144$ sau $\ln 1$. Cauți în tabel când punctul este un capăt al domeniului sau $\pm \infty$, cum e $0^{+}$ pentru $\ln x$ ori pentru $\frac{1}{x}$. Dacă nu ești sigur de domeniu, scrie-l întâi și verifică punctul.