Câte clase are ℤₙ?

Exact n: restul împărțirii la n poate fi 0, 1, …, n - 1. Numerele 5, 11 și 17 sunt toate în clasa 5 din ℤ₆, deci clasele sunt mulțimi de numere, nu numere.

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Clasele de resturi și tablele lor

Cum construiesc tabla înmulțirii în ℤₙ?

Scrii clasele $\hat{0}, \dots, n - 1$ pe prima linie și pe prima coloană, apoi în fiecare căsuță produsul reprezentanților, redus la $n$ . În $Z_{6}$ , linia lui $\hat{2}$ e $\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}, \hat{0}, \hat{2}, \hat{4}$ , iar $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ . Proba: tabla e simetrică față de diagonală, fiindcă înmulțirea claselor e comutativă, iar fiecare căsuță conține o clasă între $\hat{0}$ și $n - 1$ .

Clasa de resturi $\overset{a}{^}$ modulo $n$ conține toți întregii care dau la împărțirea cu $n$ același rest ca $a$ . Mulțimea $Z_{n}$ are $n$ clase, $\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1$ . La un număr negativ restul se ia tot între 0 și $n - 1$ : $- 4 = (- 1) \cdot 6 + 2$ , deci în $Z_{6}$ , $- 4 = \hat{2}$ .

Se adună și se înmulțește pe reprezentanți, apoi se ia restul: $\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b$ , $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ . Poți reduce numerele mari înainte de calcul. Șase centre de activitate prin care se rotesc echipele unei grădinițe se socotesc în $Z_{6}$ : 17 zile mută echipele ca 5 zile.

Din tabla adunării citești opusul, unde apare $\hat{0}$ pe linie; din simetria față de diagonală, comutativitatea. În tabla înmulțirii lui $Z_{6}$ , liniile lui $\hat{1}$ și $\hat{5}$ conțin toate clasele, iar $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ .

Clasele de resturi sunt în programa de examen M_pedagogic, dar nu au apărut în probele 2013–2026. Greșeala tipică: folosești câtul împărțirii în loc de rest.

De reținut

$\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b$ , $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ , cu restul între 0 și $n - 1$
opusul: $- \overset{a}{^} = n - a$ ; în tabla adunării, unde apare $\hat{0}$
în tabla înmulțirii, un $\hat{0}$ cu factori nenuli apare doar când $n$ e compus

Greșeala tipică

Se folosește câtul în loc de rest: 17 zile la 6 centre dau câtul 2 și restul 5; mutarea e de 5 centre, nu de 2.

Exerciții din această mini-lecție

Ce clasă din $Z_{9}$ conține numărul 43?
- a) $\hat{7}$
- b) $\hat{4}$
- c) $\hat{1}$
- d) $\hat{0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\hat{7}$

$43 = 4 \cdot 9 + 7$ , deci restul e 7 și clasa e $\hat{7}$ . Varianta $\hat{4}$ e câtul, nu restul, $\hat{1}$ ar fi restul la 7, iar $\hat{0}$ ar cere un multiplu de 9.
În $Z_{8}$ , cât este $\hat{6} \cdot \hat{5}$ ?
- a) $\hat{3}$
- b) $\hat{6}$
- c) $\hat{1}$
- d) $\hat{0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\hat{6}$

$6 \cdot 5 = 30 = 3 \cdot 8 + 6$ , deci $\hat{6} \cdot \hat{5} = \hat{6}$ . Varianta $\hat{3}$ e suma $\hat{6} + \hat{5} = 11 = \hat{3}$ , iar $\hat{0}$ ar însemna că 30 se împarte la 8.
Șase echipe se rotesc prin șase centre de activitate, câte $k$ centre pe zi. Pentru ce $k$ trece fiecare echipă prin toate centrele?
- a) $k = 2$
- b) $k = 3$
- c) $k = 5$
- d) $k = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $k = 5$

Echipa care pornește de la $\hat{0}$ e după $d$ zile la $\hat{k} \cdot \hat{d}$ . Linia lui $\hat{5}$ din tabla înmulțirii lui $Z_{6}$ conține toate clasele; liniile lui $\hat{2}$ și $\hat{4}$ au doar trei clase, iar a lui $\hat{3}$ doar două.

Întrebări conexe

Cum aflu clasa unui număr negativ?

Scrii numărul ca $q \cdot n + r$ , cu restul $r$ între 0 și $n - 1$ . Pentru $- 15$ în $Z_{7}$ : $- 15 = (- 3) \cdot 7 + 6$ , deci clasa e $\hat{6}$ , nu $\hat{1}$ . Restul nu poate fi negativ, așa că alegi câtul mai mic, $- 3$ , nu $- 2$ .

De unde citesc opusul unei clase?

Din tabla adunării: pe linia lui $\overset{a}{^}$ cauți căsuța cu $\hat{0}$ , iar coloana ei dă opusul. În $Z_{6}$ , opusul lui $\hat{2}$ e $\hat{4}$ , fiindcă $2 + 4 = 6$ .

De ce pot reduce numerele mari înainte de calcul?

Fiindcă rezultatul nu depinde de reprezentant: în $Z_{6}$ , $13 \cdot 10 = 130$ și $1 \cdot 4 = 4$ dau amândouă restul 4. Reduci întâi fiecare factor la $n$ și lucrezi apoi cu numere mici, fără să schimbi clasa rezultatului.

Ce înseamnă un $\hat{0}$ în interiorul tablei înmulțirii?

Că două clase nenule au produsul nul, ca $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ în $Z_{6}$ . Pentru rotația prin centre, asta arată că un pas de 2 centre pe zi nu trece prin toate cele șase centre.

Câte clase are $Z_{n}$ ?

Exact $n$ : restul împărțirii la $n$ poate fi $0, 1, \dots, n - 1$ . Numerele 5, 11 și 17 sunt toate în clasa $\hat{5}$ din $Z_{6}$ , deci clasele sunt mulțimi de numere, nu numere.

Oamenii mai întreabă și: tabla inmultirii claselor de resturi · tabla adunarii in z6 si opusul unei clase · clasa unui numar negativ modulo n · ce citesti din tabla lui zn