Clasele de resturi ℤₙ la pedagogic: tablele

O educatoare care rotește echipele grădiniței prin centrele de activitate nu numără zilele una câte una: îi ajunge restul împărțirii la numărul centrelor. Cu resturile se fac adunări și înmulțiri, strânse apoi în două table. Elevii de la pedagogic întâlnesc ℤₙ în clasa a XI-a: aici construiesc mulțimea, tabla adunării și tabla înmulțirii și învață ce se citește din ele. Clasele de resturi stau în programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic), printre exemplele de structuri.

Situația de pornire

În grupa mare a unei grădinițe, educatoarea a amenajat șase centre de activitate, numerotate de la 0 la 5: Bibliotecă (0), Artă (1), Construcții (2), Știință (3), Joc de rol (4), Nisip și apă (5). Cei 22 de copii lucrează în șase echipe. În prima zi a modulului, numită ziua 0, fiecare echipă stă la un centru, iar în fiecare zi de grădiniță următoare trece la centrul cu numărul următor; de la centrul 5 se întoarce la centrul 0.

Echipa	Centrul din ziua 0	Copii în echipă (copii)
Albinuțele	Bibliotecă (0)	4
Buburuzele	Artă (1)	4
Fluturașii	Construcții (2)	3
Greierașii	Știință (3)	4
Iepurașii	Joc de rol (4)	4
Pisicuțele	Nisip și apă (5)	3

Lecția deschisă pentru părinți e în ziua 17 a modulului, iar educatoarea vrea să știe dinainte cine va fi la centrul de știință, unde pregătește materiale în plus. Din luna următoare, ar vrea să mute echipele câte două centre pe zi.

Întrebare: la ce centru va fi fiecare echipă în ziua 17 și va mai trece fiecare echipă prin toate cele șase centre dacă rotația sare câte două centre pe zi?

De la situație la model

După 6 zile, fiecare echipă se întoarce la centrul de la care a pornit. Contează deci doar restul împărțirii numărului de zile la 6: 17 zile mută echipele la fel ca 5 zile, fiindcă $17 = 2 \cdot 6 + 5$ . Toate numerele care dau același rest la împărțirea cu 6 au același efect și le tratezi ca pe un singur obiect.

În situație	În matematică
numărul centrului, de la 0 la 5	o clasă din $Z_{6}$ : $\hat{0}, \hat{1}, \dots, \hat{5}$
17 zile de rotație au același efect ca 5 zile	$17 = \hat{5}$ în $Z_{6}$
centrul de pornire, mutat cu $d$ zile	adunarea claselor: $\overset{c}{^} + \hat{d}$
rotația cu câte 2 centre pe zi, timp de $d$ zile	înmulțirea claselor: $\hat{2} \cdot \hat{d}$
o echipă care stă pe loc	elementul $\hat{0}$ al adunării

Ce este o clasă de resturi?

Fie $n \geq 2$ un număr natural. Clasa de resturi a întregului $a$ modulo $n$ este mulțimea tuturor întregilor care dau la împărțirea cu $n$ același rest ca $a$ ; se notează $\overset{a}{^}$ . În $Z_{6}$ , clasa $\hat{5}$ conține numerele $\dots, - 7, - 1, 5, 11, 17, 23, \dots$ , care diferă între ele prin multipli de 6. Restul e mereu între $0$ și $n - 1$ , deci există exact $n$ clase. Mulțimea lor este $Z_{n} = {\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1}$ .

La un număr negativ, restul se ia tot între $0$ și $n - 1$ . Pentru $- 4$ și $n = 6$ scrii $- 4 = (- 1) \cdot 6 + 2$ , deci $- 4 = \hat{2}$ : patru zile înapoi duc echipa la același centru ca două zile înainte.

Cum aduni și cum înmulțești două clase?

Operațiile se fac pe reprezentanți, apoi se ia restul: $\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b, \overset{a}{^} \cdot \hat{b} = a \cdot b .$ Rezultatul nu depinde de reprezentantul ales. În $Z_{6}$ , $13 = \hat{1}$ și $10 = \hat{4}$ ; produsul $13 \cdot 10 = 130 = 21 \cdot 6 + 4$ și produsul $1 \cdot 4 = 4$ dau amândouă $\hat{4}$ . De aceea poți reduce la $n$ înainte de calcul, ca să lucrezi cu numere mici.

Cum arată tablele lui $Z_{6}$ ?

Tabla adunării are pe linia lui $\overset{a}{^}$ și coloana lui $\hat{b}$ clasa $\overset{a}{^} + \hat{b}$ :

$+$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$
$\hat{1}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$	$\hat{0}$
$\hat{2}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$
$\hat{3}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$
$\hat{4}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$
$\hat{5}$	$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$

Tabla înmulțirii are în aceeași căsuță clasa $\overset{a}{^} \cdot \hat{b}$ :

$\cdot$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$
$\hat{1}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$
$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$
$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$
$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{4}$	$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{4}$	$\hat{2}$
$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{5}$	$\hat{4}$	$\hat{3}$	$\hat{2}$	$\hat{1}$

Ce citești din cele două table?

În tabla adunării, fiecare clasă apare o singură dată pe fiecare linie și pe fiecare coloană. Prin urmare, ecuația $\overset{a}{^} + x = \hat{b}$ are o singură soluție, iar pe fiecare linie găsești exact un $\hat{0}$ : coloana lui dă opusul, clasa care adunată cu $\overset{a}{^}$ dă $\hat{0}$ . Astfel $- \hat{2} = \hat{4}$ și $- \hat{3} = \hat{3}$ ; în general, $- \overset{a}{^} = n - a$ pentru $a \neq = 0$ . Ambele table sunt simetrice față de diagonala care pleacă din colțul stânga sus, fiindcă $\overset{a}{^} + \hat{b} = \hat{b} + \overset{a}{^}$ și $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \overset{a}{^}$ .

Tabla înmulțirii se poartă altfel. Liniile lui $\hat{1}$ și $\hat{5}$ conțin toate clasele, dar linia lui $\hat{2}$ are doar $\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}$ , iar linia lui $\hat{3}$ doar $\hat{0}$ și $\hat{3}$ . Apar produse nule cu factori nenuli: $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ și $\hat{3} \cdot \hat{4} = \hat{0}$ . În mulțimile de numere ℤ, ℚ, ℝ așa ceva nu se întâmplă.

Metoda pas cu pas

Fixează $n$ și scrie clasele $\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1$ , în aceeași ordine, pe prima linie și pe prima coloană a tablei. Un număr dat din afara listei îl înlocuiești cu restul lui la $n$ , luat între $0$ și $n - 1$ , și la numerele negative.
Completează fiecare căsuță: faci operația cu reprezentanții, apoi iei restul la $n$ . La adunare, fiecare linie e linia de deasupra mutată cu o poziție spre stânga; la înmulțire, fiecare căsuță a liniei lui $\overset{a}{^}$ e căsuța din stânga ei plus $\overset{a}{^}$ .
Verifică tabla: în tabla adunării fiecare clasă apare o dată pe fiecare linie și pe fiecare coloană; ambele table sunt simetrice față de diagonală; în tabla înmulțirii, linia și coloana lui $\hat{0}$ au numai $\hat{0}$ , iar linia lui $\hat{1}$ repetă capul tabelului.
Citește din tablă ce ți se cere: o sumă sau un produs, opusul (unde apare $\hat{0}$ pe linia adunării), liniile care conțin toate clasele și perechile de clase nenule cu produsul $\hat{0}$ . Un calcul lung îl reduci la $n$ după fiecare operație.

Lecția despre tabla unei legi de compoziție arată cum se citește orice tablă, nu doar a lui $Z_{n}$ . Opusul și inversul unei clase și ecuațiile în $Z_{n}$ sunt în lecția despre ecuații în ℤₙ și elemente inversabile, iar structura de grup a adunării, în lecția despre grupul ℤₙ. Celelalte lecții ale clasei sunt în traseul de la pedagogic, clasa a XI-a.

Fișa de buzunar

$\overset{a}{^} = {a + k n ∣ k \in Z}, \overset{a}{^} + \hat{b} = a + b, \overset{a}{^} \cdot \hat{b} = a \cdot b, - \overset{a}{^} = n - a (a \neq = 0)$

Ce cauți	Unde îl găsești în tablă
suma sau produsul a două clase	căsuța de la intersecția liniei cu coloana
opusul lui $\overset{a}{^}$	coloana pe care apare $\hat{0}$ în linia lui $\overset{a}{^}$ , în tabla adunării
comutativitatea	simetria față de diagonala din stânga sus
clase nenule cu produsul $\hat{0}$	căsuțele cu $\hat{0}$ din afara liniei și coloanei lui $\hat{0}$ , în tabla înmulțirii
clasele care, înmulțite, ating toate clasele	liniile tablei înmulțirii care conțin fiecare clasă o dată

Proba se face pe alt drum: refaci calculul cu numerele întregi și iei restul abia la sfârșit.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Lecția deschisă de la grădiniță

Domeniu: gradinita.

Enunț. Reia rotația din situația de pornire: șase centre numerotate de la 0 la 5 și o mutare la centrul următor în fiecare zi. a) La ce centru e fiecare echipă în ziua 17? b) Dacă din luna următoare rotația sare câte două centre pe zi, prin câte centre trec Albinuțele, care pornesc de la Bibliotecă (0)?

Rezolvare. a) Pasul 1: $17 = 2 \cdot 6 + 5$ , deci $17 = \hat{5}$ în $Z_{6}$ . Pasul 4: echipa care a pornit de la centrul $\overset{c}{^}$ e în ziua 17 la $\overset{c}{^} + \hat{5}$ . Albinuțele ajung la $\hat{5}$ , Nisip și apă; Buburuzele la $\hat{1} + \hat{5} = \hat{0}$ , Bibliotecă; Fluturașii la $\hat{1}$ , Artă; Greierașii la $\hat{2}$ , Construcții; Iepurașii la $\hat{4} + \hat{5} = \hat{3}$ , Știință; Pisicuțele la $\hat{4}$ , Joc de rol. La centrul de știință vor fi deci Iepurașii, 4 copii. b) După $d$ zile, Albinuțele sunt la $\hat{2} \cdot \hat{d}$ . Linia lui $\hat{2}$ din tabla înmulțirii are numai $\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}$ : echipa trece doar prin Bibliotecă, Construcții și Joc de rol, adică prin 3 centre din 6.

Capcană. Cine împarte 17 la 6 și folosește câtul, 2, în loc de rest mută Greierașii de la Știință la $\hat{3} + \hat{2} = \hat{5}$ , Nisip și apă, iar materialele de știință ajung la altă echipă. Câtul spune de câte ori s-a încheiat rotația, iar mutarea o dă restul, 5.

Verificare. Pe alt drum, pentru Greierașii: după 12 zile, adică două rotații întregi, sunt din nou la Știință, iar în cele 5 zile rămase trec pe la Joc de rol, Nisip și apă, Bibliotecă, Artă și ajung la Construcții, adică la $\hat{2}$ .

Exemplul 2 — Rafturile bibliotecii școlii

Domeniu: biblioteca.

Enunț. Biblioteca școlii primește 12 colete a câte 25 de cărți. Bibliotecara le așază pe rafturi de câte 9 locuri și umple un raft înainte să înceapă altul. a) Câte cărți stau pe ultimul raft început? Află răspunsul în $Z_{9}$ , fără să calculezi întâi totalul. b) Câte cărți stau pe ultimul raft dacă mai vin 8 cărți donate de părinți?

Rezolvare. a) Pasul 1: $12 = 9 + 3$ și $25 = 2 \cdot 9 + 7$ , deci $12 = \hat{3}$ și $25 = \hat{7}$ . Pasul 4: $\hat{3} \cdot \hat{7} = 21 = \hat{3}$ , fiindcă $21 = 2 \cdot 9 + 3$ . Pe ultimul raft stau 3 cărți. b) Adaugi donația: $\hat{3} + \hat{8} = 11 = \hat{2}$ , deci pe ultimul raft rămân 2 cărți, iar raftul pe care stăteau cele 3 cărți s-a umplut.

Capcană. Cine citește $\hat{3}$ drept „3 rafturi” confundă restul cu câtul. Cele 300 de cărți ocupă 33 de rafturi pline, iar cele 3 cărți stau pe al 34-lea; bibliotecara care ar pregăti doar 3 rafturi n-ar avea unde să pună aproape toate cărțile.

Verificare. Pe alt drum, cu numere întregi: $12 \cdot 25 = 300 = 33 \cdot 9 + 3$ , iar $300 + 8 = 308 = 34 \cdot 9 + 2$ .

Exemplul 3 — Cercul cvintelor la ora de muzică

Domeniu: muzica.

Enunț. La pian, cele 12 sunete ale unei octave se repetă: numerotezi do = 0, do diez = 1, re = 2, re diez = 3, mi = 4, fa = 5, fa diez = 6, sol = 7, sol diez = 8, la = 9, la diez = 10, si = 11, apoi urmează din nou do. Urcarea cu $k$ semitonuri adaugă $\hat{k}$ în $Z_{12}$ . a) Profesoara urcă de la do de 5 ori câte o cvintă, adică de 5 ori câte 7 semitonuri. Pe ce sunet ajunge? b) Prin câte sunete diferite trece dacă urcă de la do din terță mare în terță mare, adică din 4 în 4 semitonuri?

Rezolvare. a) Pasul 4: cinci cvinte înseamnă $\hat{5} \cdot \hat{7} = 35 = 11$ , fiindcă $35 = 2 \cdot 12 + 11$ . Profesoara ajunge pe si. b) Linia lui $\hat{4}$ din tabla înmulțirii lui $Z_{12}$ este $\hat{0}, \hat{4}, \hat{8}, \hat{0}, \hat{4}, \hat{8}, \dots$ : după trei terțe mari, $\hat{3} \cdot \hat{4} = 12 = \hat{0}$ , se întoarce la do. Trece doar prin do, mi și sol diez, adică prin 3 sunete. Linia lui $\hat{7}$ , în schimb, conține toate cele 12 clase, deci cvintele trec prin toate sunetele înainte să revină la do.

Capcană. Cine adună numerele din enunț, $5 + 7 = 12$ , în loc să le înmulțească, obține $12 = \hat{0}$ și crede că ajunge din nou la do. Cinci cvinte înseamnă de cinci ori câte 7 semitonuri, adică o înmulțire.

Verificare. Pe alt drum, cvintă cu cvintă: do, sol, re, la, mi, si. Al cincilea pas ajunge pe si, sunetul cu numărul 11.

Exemplul 4 — Problema inversă: tabla ștearsă

Domeniu: scoala.

Enunț. După ora de matematică, pe tablă a rămas o bucată dintr-o tablă a înmulțirii în $Z_{n}$ . Restul s-a șters, dar se mai citesc două căsuțe: $\hat{7} \cdot \hat{8} = \hat{1}$ și $\hat{5} \cdot \hat{5} = \hat{3}$ . Profesoara vrea să refacă tabla pentru ora următoare, deci are nevoie de $n$ .

Rezolvare. Căsuța $\hat{7} \cdot \hat{8} = \hat{1}$ spune că $56$ și $1$ dau același rest la $n$ , adică $n$ divide $56 - 1 = 55$ . A doua căsuță spune că $n$ divide $25 - 3 = 22$ . Divizorii comuni ai lui 55 și 22 sunt 1 și 11, iar $n \geq 2$ , deci $n = 11$ . Clasa $\hat{8}$ există în $Z_{11}$ , fiindcă $8 \leq 10$ .

Capcană. Cine folosește doar prima căsuță poate alege $n = 55$ sau $n = 5$ . În $Z_{55}$ , $\hat{5} \cdot \hat{5} = 25$ , nu $\hat{3}$ , iar în $Z_{5}$ nu există clasele $\hat{7}$ și $\hat{8}$ cu numerele lor de pe tablă. Fiecare căsuță dă o condiție, iar $n$ trebuie să le îndeplinească pe amândouă.

Verificare. Pe alt drum, refaci în $Z_{11}$ cele două căsuțe: $56 = 5 \cdot 11 + 1$ și $25 = 2 \cdot 11 + 3$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie în $Z_{7}$ clasele numerelor $23$ , $40$ , $- 5$ și $- 15$ și spune care dintre ele sunt egale.

2. Construiește tabla adunării în $Z_{4}$ și scrie, citind din ea, opusul fiecărei clase.

3. Construiește tabla înmulțirii în $Z_{5}$ și spune care linii conțin toate clasele.

4. În $Z_{8}$ calculează $\hat{6} + \hat{6}$ , $\hat{4} \cdot \hat{7}$ , $\hat{6} \cdot \hat{4}$ și opusul lui $\hat{3}$ .

Nivelul 2 — situații

5. Revista școlii apare o dată pe lună. Lunile se numerotează de la ianuarie = 0 la decembrie = 11, iar primul număr al revistei a apărut în octombrie, luna 9. a) În ce lună apare numărul 30? b) Dar numărul 100? Calculează în $Z_{12}$ .

6. Un fular se croșetează după un model care se repetă din 8 în 8 rânduri. Bunica a folosit 3 gheme, iar fiecare ghem a ajuns pentru 27 de rânduri. a) Câte rânduri din ultima repetare a modelului sunt lucrate? Calculează în $Z_{8}$ . b) Câte rânduri mai trebuie croșetate ca fularul să se încheie cu o repetare întreagă?

7. La tombola serbării, biletele sunt numerotate de la 1 la 60, iar câștigă biletele al căror număr e în clasa $\hat{3}$ din $Z_{7}$ . a) Câte bilete câștigătoare sunt? b) Ana are biletele 38 și 45. Sunt câștigătoare? În ce clasă e suma numerelor lor? Dar produsul?

8. În catalogul unei clase sunt 26 de elevi, numerotați de la 0 la 25. În fiecare zi, 3 elevi udă florile, în ordinea catalogului, iar după elevul 25 se reia de la elevul 0. În ziua 0 udă florile elevii 0, 1 și 2. a) Ce elevi udă florile în ziua 9? b) În ce zi, după ziua 0, începe din nou elevul 0?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Folosind tabla înmulțirii lui $Z_{6}$ din lecție, scrie toate perechile de clase nenule care au produsul $\hat{0}$ și spune care linii conțin toate clasele.

10. (Sinteză.) În $Z_{10}$ calculează $(\hat{7} + \hat{8}) \cdot (\hat{9} \cdot \hat{4} + \hat{3})$ , reducând după fiecare operație, apoi verifică prin calculul în ℤ.

11. (Sinteză.) În $Z_{8}$ : a) câte perechi $(\overset{a}{^}, \hat{b})$ au $\overset{a}{^} + \hat{b} = \hat{3}$ ? b) Câte perechi de clase nenule au $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = \hat{0}$ ? Scrie-le.

12. (Sinteză.) Arată că suma tuturor claselor din $Z_{12}$ este $\hat{6}$ , iar suma tuturor claselor din $Z_{11}$ este $\hat{0}$ . Explică diferența grupând fiecare clasă cu opusul ei.

Răspunsuri și verificări

1. $23 = 3 \cdot 7 + 2$ dă $\hat{2}$ ; $40 = 5 \cdot 7 + 5$ dă $\hat{5}$ ; $- 5 = (- 1) \cdot 7 + 2$ dă $\hat{2}$ ; $- 15 = (- 3) \cdot 7 + 6$ dă $\hat{6}$ . Egale sunt clasele lui $23$ și $- 5$ . Verificare: $23 - (- 5) = 28 = 4 \cdot 7$ , un multiplu de 7.

2. Liniile tablei sunt $\hat{0} \hat{1} \hat{2} \hat{3}$ ; $\hat{1} \hat{2} \hat{3} \hat{0}$ ; $\hat{2} \hat{3} \hat{0} \hat{1}$ ; $\hat{3} \hat{0} \hat{1} \hat{2}$ . Opusele: $- \hat{0} = \hat{0}$ , $- \hat{1} = \hat{3}$ , $- \hat{2} = \hat{2}$ , $- \hat{3} = \hat{1}$ . Verificare: $1 + 3 = 4$ și $2 + 2 = 4$ dau restul 0 la 4.

3. Liniile tablei sunt $\hat{0} \hat{0} \hat{0} \hat{0} \hat{0}$ ; $\hat{0} \hat{1} \hat{2} \hat{3} \hat{4}$ ; $\hat{0} \hat{2} \hat{4} \hat{1} \hat{3}$ ; $\hat{0} \hat{3} \hat{1} \hat{4} \hat{2}$ ; $\hat{0} \hat{4} \hat{3} \hat{2} \hat{1}$ . Toate liniile, în afară de linia lui $\hat{0}$ , conțin toate clasele. Verificare: în $Z_{5}$ niciun produs de clase nenule nu e $\hat{0}$ , fiindcă 5 nu divide produsul a două numere de la 1 la 4.

4. $\hat{6} + \hat{6} = 12 = \hat{4}$ ; $\hat{4} \cdot \hat{7} = 28 = \hat{4}$ ; $\hat{6} \cdot \hat{4} = 24 = \hat{0}$ ; $- \hat{3} = \hat{5}$ . Verificare: $12 = 8 + 4$ , $28 = 3 \cdot 8 + 4$ , $24 = 3 \cdot 8$ și $3 + 5 = 8$ .

5. Numărul $k$ apare la $k - 1$ luni după primul. a) $\hat{9} + 29 = 38 = \hat{2}$ : martie. b) $\hat{9} + 99 = 108 = \hat{0}$ : ianuarie. Verificare: numărul 100 apare la 99 de luni după octombrie, adică după 8 ani și 3 luni, iar trei luni după octombrie e ianuarie; la fel, 29 de luni înseamnă 2 ani și 5 luni, iar cinci luni după octombrie e martie.

6. a) $27 = \hat{3}$ , deci $\hat{3} \cdot \hat{3} = \hat{9} = \hat{1}$ : din ultima repetare e lucrat 1 rând. b) Opusul lui $\hat{1}$ e $\hat{7}$ : mai trebuie 7 rânduri. Verificare: $3 \cdot 27 = 81 = 10 \cdot 8 + 1$ , iar $81 + 7 = 88 = 11 \cdot 8$ .

7. a) Biletele câștigătoare sunt 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, adică 9 bilete. b) $38 = 5 \cdot 7 + 3$ și $45 = 6 \cdot 7 + 3$ , deci ambele sunt câștigătoare. Suma e în clasa $\hat{3} + \hat{3} = \hat{6}$ , iar produsul în clasa $\hat{3} \cdot \hat{3} = \hat{9} = \hat{2}$ . Verificare: $38 + 45 = 83 = 11 \cdot 7 + 6$ și $38 \cdot 45 = 1710 = 244 \cdot 7 + 2$ .

8. a) În ziua 9 primul elev are numărul $\hat{3} \cdot \hat{9} = 27 = \hat{1}$ în $Z_{26}$ , deci udă florile elevii 1, 2 și 3. b) Elevul 0 începe din nou în ziua $d$ cu $\hat{3} \cdot \hat{d} = \hat{0}$ ; cum 3 și 26 nu au divizori comuni mai mari ca 1, $d$ e multiplu de 26, deci ziua 26. Verificare: în ziua 13 începe elevul $3 \cdot 13 - 26 = 13$ , nu elevul 0; abia în ziua 26 numărul $3 \cdot 26 = 78$ are restul 0 la 26.

9. Perechile de clase nenule cu produsul $\hat{0}$ sunt $(\hat{2}, \hat{3})$ , $(\hat{3}, \hat{2})$ , $(\hat{3}, \hat{4})$ și $(\hat{4}, \hat{3})$ . Liniile care conțin toate clasele sunt ale lui $\hat{1}$ și $\hat{5}$ . Verificare: $2 \cdot 3 = 6$ și $3 \cdot 4 = 12$ se împart la 6, iar linia lui $\hat{5}$ este $\hat{0}, \hat{5}, \hat{4}, \hat{3}, \hat{2}, \hat{1}$ .

10. Prima paranteză: $\hat{7} + \hat{8} = 15 = \hat{5}$ . A doua: $\hat{9} \cdot \hat{4} = 36 = \hat{6}$ , iar $\hat{6} + \hat{3} = \hat{9}$ . Produsul: $\hat{5} \cdot \hat{9} = 45 = \hat{5}$ . Verificare: în ℤ, $(7 + 8) \cdot (9 \cdot 4 + 3) = 15 \cdot 39 = 585$ , cu restul 5 la 10.

11. a) Pentru fiecare dintre cele 8 clase $\overset{a}{^}$ există o singură clasă $\hat{b} = \hat{3} - \overset{a}{^}$ , deci sunt 8 perechi. b) Perechile de clase nenule cu produsul $\hat{0}$ sunt $(\hat{2}, \hat{4})$ , $(\hat{4}, \hat{2})$ , $(\hat{4}, \hat{4})$ , $(\hat{4}, \hat{6})$ și $(\hat{6}, \hat{4})$ , adică 5. Verificare: $8$ , $16$ , $24$ se împart la 8, iar produsele celorlalte perechi de numere de la 1 la 7 nu se împart.

12. În $Z_{12}$ grupezi $\hat{1}$ cu $11$ , $\hat{2}$ cu $10$ , …, $\hat{5}$ cu $\hat{7}$ : fiecare pereche dă $\hat{0}$ . Rămân $\hat{0}$ și $\hat{6}$ , care e propriul opus, deci suma e $\hat{6}$ . În $Z_{11}$ perechile $\hat{1}$ cu $10$ , …, $\hat{5}$ cu $\hat{6}$ acoperă toate clasele nenule, deci suma e $\hat{0}$ . Verificare: $0 + 1 + \dots + 11 = 66 = 5 \cdot 12 + 6$ și $0 + 1 + \dots + 10 = 55 = 5 \cdot 11$ .

Așa vine la Bac M4

Tema e în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Programa M_pedagogic, după care se dă Bacalaureatul M4, are la clasa a XI-a un singur bloc de conținuturi, „Structuri algebrice”, iar ℤₙ apare acolo ca exemplu, alături de ℕ, ℤ, ℚ și ℝ.

Fiecare dintre cele 60 de probe oficiale 2013–2026 construiește Subiectul al II-lea pe o lege de compoziție: 59 pe mulțimea numerelor reale, una pe intervalul $(0, + \infty)$ . Între cele 360 de cerințe nu e niciuna cu clase de resturi, așa că lipsesc aici atât citările din probe, cât și modelele de cerință.

Exercițiile 9–12 (Sinteză.) nu imită probe și nu spun cum ar arăta o cerință reală; cer construirea și citirea tablelor și calculul cu resturi.

Greșeli care costă puncte

Folosești câtul împărțirii în loc de rest → echipa ajunge la alt centru, cum pățesc Greierașii în exemplul 1; cum o prinzi: refaci mutarea zi cu zi pentru restul rămas după rotațiile întregi.
Ștergi semnul unui număr negativ și scrii $- 5$ în $Z_{7}$ ca $\hat{5}$ → clasă greșită; cum o prinzi: scrii $- 5 = (- 1) \cdot 7 + 2$ , cu restul între 0 și 6, deci $\hat{2}$ .
Aduni în loc să înmulțești când o mutare se repetă → cinci cvinte devin $12$ ; cum o prinzi: o mutare repetată de $k$ ori e un produs, iar pe un caz mic numeri pas cu pas.
Crezi că un produs nul are un factor nul → în $Z_{6}$ ratezi $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ ; cum o prinzi: cauți $\hat{0}$ în interiorul tablei înmulțirii.
Scrii într-o tablă o clasă care nu există, ca $\hat{7}$ în $Z_{6}$ → tabla nu mai are aceleași clase pe margini și în interior; cum o prinzi: orice căsuță e între $\hat{0}$ și $n - 1$ .

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006). Noțiunea de clasă de resturi face parte din programa de examen a clasei a XI-a, unde ℤₙ apare ca exemplu de structură algebrică. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au alt plan-cadru (OMEC 4152/2026), iar lecția de față nu este scrisă pentru ei: din 2030, la profilul pedagogic, matematica poate fi aleasă doar la proba F, pe programa MAT_P8 (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă grădinița are doar cinci centre de activitate? Lucrezi în $Z_{5}$ în loc de $Z_{6}$ . Cele 17 zile dau atunci restul 2, fiindcă $17 = 3 \cdot 5 + 2$ , deci fiecare echipă e cu două centre mai departe decât în ziua 0. Iar rotația cu câte două centre pe zi trece prin toate cele cinci centre, pentru că linia lui $\hat{2}$ din tabla lui $Z_{5}$ conține toate clasele.

Cum aflu la ce centru era o echipă acum patru zile? Aduni opusul lui $\hat{4}$ , adică $\hat{2}$ în $Z_{6}$ , fiindcă $4 + 2 = 6$ . Iepurașii sunt în ziua 17 la Știință, $\hat{3}$ ; acum patru zile erau la $\hat{3} + \hat{2} = \hat{5}$ , Nisip și apă. Verifici înainte: din ziua 13, de la centrul 5, patru mutări duc la 0, 1, 2 și 3.

Ce rotație trece fiecare echipă prin toate centrele? O rotație cu $k$ centre pe zi trece prin toate dacă linia lui $\hat{k}$ din tabla înmulțirii lui $Z_{6}$ conține toate clasele. Asta se întâmplă doar pentru $k = 1$ și $k = 5$ . Cu 2 sau 4 centre pe zi echipa vede trei centre, iar cu 3 centre pe zi doar două.

De ce pot înlocui cele 17 zile cu 5 zile? Fiindcă după 6 zile fiecare echipă e din nou la centrul ei, iar 17 zile înseamnă două rotații întregi și încă 5 zile. Numerele 17 și 5 dau același rest la împărțirea cu 6, deci sunt în aceeași clasă, $\hat{5}$ . Orice alt număr din clasă, de pildă 29 sau 41, mută echipele la fel.

Poate apărea ℤₙ într-o cerință de la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? Poate, fiindcă programa de examen trece ℤₙ printre exemplele de structuri algebrice ale clasei a XI-a. În cele 60 de probe oficiale din 2013–2026 nu a apărut însă nicio cerință cu clase de resturi. Tablele și calculul cu resturi se repetă în exercițiile 9–12.